课时梯级训练(14) 数学归纳法（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(14)　数学归纳法 1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋<2 B．1＋＋<2 C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3 B　解析：第一步应验证当n＝2时，此时不等式为1＋＋<2. 2．如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2也成立．设P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　) A．P(n)对所有的正整数n成立 B．P(n)对所有的正奇数n成立 C．P(n)对所有的正偶数n成立 D．P(n)对所有大于1的正整数n成立 C　解析：若命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立．又已知命题P(2)成立， 可推出P(4)，P(6)，P(8)，P(10)，P(12)，…均成立， 即P(n)对所有正偶数n都成立．故选C. 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，n∈N＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 D． C　解析：当n＝k时，等式左端为1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时，等式左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， ∴左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 4．已知f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k(k∈N＋)，则(　　) A．f(k＋1)－f(k)＝2k＋2 B．f(k＋1)－f(k)＝3k＋3 C．f(k＋1)－f(k)＝4k＋2 D．f(k＋1)－f(k)＝4k＋3 B　解析：由题得f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)， f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k，所以f(k＋1)－f(k)＝－k＋2k＋1＋2k＋2＝3k＋3. 5．在数列{an}中，a1＝1，Sn表示其前n项和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3的值，猜想Sn等于(　　) A． B． C． D．1－ B　解析：由题意可知2Sn＋1＝2S1＋Sn.当n＝1时，S2＝， 当n＝2时，2S3＝2S1＋S2＝，S3＝. S1，S2，S3分别为1＝，＝，＝. 猜想当n≥1时，Sn＝. 6．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则f(n)中共有______项． 答案：n2－n＋1　解析：因为f(n)＝＋＋＋…＋，我们观察f(n)解析式的组成特点，是由，，，…，组成， 其中每一项的分母为n，n＋1，n＋2，…，n2组成等差数列，且首项为n，公差为1，最后一项为n2， 所以它的项数为n2－n＋1，即f(n)的项数为n2－n＋1. 7．用数学归纳法证明“cos x·cos 2x·…·cos (2n－1x)＝(n∈N＋)”时，当n＝k＋1时，应证明的等式为________． 答案：cos x·cos 2x·…·cos (2k－1x)·cos (2kx)＝　解析：依题意，当n＝k＋1时，应证明的等式为cos x·cos 2x·…·cos (2k－1x)·cos (2kx)＝. 8．用数学归纳法证明：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2(n∈N＋). 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k时等式成立，即13＋23＋…＋k3＝(1＋2＋…＋k)2， 则当n＝k＋1时， 右边＝[1＋2＋…＋k＋(k＋1)]2＝(1＋2＋…＋k)2＋2(1＋2＋…＋k)(k＋1)＋(k＋1)2＝13＋23＋…＋k3＋k(k＋1)2＋(k＋1)2＝13＋23＋…＋k3＋(k＋1)3＝左边，等式成立， 综上，对一切正整数n，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2. 9．设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n∈N＋. (1)求a2，a3的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)利用数学归纳法证明上述猜想． (1)解：因为数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n∈N＋， 所以当n＝1时，a2＝a－2×1×a1＋2＝9－6＋2＝5， 当n＝2时，a3＝a－2×2×a2＋2＝25－20＋2＝7. 由此猜想数列{an}的通项公式为an＝2n＋1. (2)证明：用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，a1＝2×1＋1＝3，成立； ②假设当n＝k，k∈N＋时成立，即ak＝2k＋1， 则当n＝k＋1时， ak＋1＝a－2kak＋2＝(2k＋1)2－2k(2k＋1)＋2＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，成立， 由①②，得an＝2n＋1. 10．(多选)如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立．则下列结论正确的是(　　) A．若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正整数都成立 B．若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有正偶数都成立 C．若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正奇数都成立 D．若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有自然数都成立 BC　解析：由题意可知，若p(n)对n＝1成立，则p(n)对n＝1，3，5，7，…所有正奇数都成立；若p(n)对n＝2成立，则p(n)对n＝2，4，6，8，…所有正偶数都成立． 11．以下四个命题，其中满足“假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，则当n＝k＋1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的是(　　) A．2n>2n＋1(n≥2) B．2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥1) C．凸n边形的内角和为f(n)＝(n－2)π(n≥3) D．凸n边形的对角线条数为g(n)＝(n≥4) AB　解析：对于A，假设当n＝k时命题成立，即2k>2k＋1，则当n＝k＋1时有2·2k＝2k＋1>4k＋2＝2k＋2＋2k＝2(k＋1)＋2k>2(k＋1)＋1，故当n＝k＋1时命题也成立，当n＝2时有4>5，故当n为给定的初始值时命题不成立，故满足条件； 对于B，假设当n＝k时命题成立，即2＋4＋6＋…＋2k＝k2＋k＋2，则当n＝k＋1时有2＋4＋6＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2＋2(k＋1)＝k2＋2k＋1＋k＋3＝(k＋1)2＋(k＋1)＋2，故当n＝k＋1时命题也成立，当n＝1时，等号左边为2，右边为1＋1＋2＝4，2≠4，所以当n＝1时命题不成立，故满足条件； 对于C，假设当n＝k时命题成立，即f(k)＝(k－2)π，则当n＝k＋1时有f(k＋1)＝f(k)＋π＝(k－1)π，故当n＝k＋1时命题也成立，当n＝3时内角和为π，命题成立，故不满足条件； 对于D，假设当n＝k时命题成立，即g(k)＝，则当n＝k＋1时有g(k＋1)＝g(k)＋k－1＝＋k－1＝≠，故当n＝k＋1时命题不成立，故不满足条件． 综上可知，满足条件的选项为AB. 12．用数学归纳法证明42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除的第二步中，当n＝k＋1时，为使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2可变形为________． 答案：13×42k－1＋3(42k－1＋3k＋1)　解析：假设当n＝k时命题成立，则42k－1＋3k＋1能被13整除． 当n＝k＋1时，42k＋1＋3k＋2＝16·42k－1＋3·3k＋1＝13·42k－1＋3·42k－1＋3·3k＋1＝13·42k－1＋3·(42k－1＋3k＋1). 13．在用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n>1，n∈N＋)的过程中，从n＝k到n＝k＋1时，左边需要增加的代数式是 . 答案：－　解析：当n＝k时，等式左边为＋＋…＋， 当n＝k＋1时，等式左边为＋＋＋…＋＋＋， 据此可得，左边需要增加的代数式是＋－＝－. 14．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋). 证明：①当n＝2时，＋＝>，命题成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，＋＋＋…＋>成立， 则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＋ ＝＋＋＋＋…＋＋＋－ >＋＋－， 又＋－＝>0， 所以＋＋＋…＋>， 所以当n＝k＋1时命题成立． 综上，对于任意的n≥2，n∈N＋，不等式都成立． 15．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：n3＋5n(n∈N＋)能被哪些自然数整除？ 解：当n＝1时，原式＝6，当n＝2时，原式＝18，当n＝3时，原式＝42，当n＝4时，原式＝84，这些数都可以被6整除，所以猜想：n3＋5n可以被6整除，那么也可被1，2，3整除； 证明：①当n＝1时，13＋5×1＝6，命题显然成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时，k3＋5k能被6整除． 则当n＝k＋1(k∈N＋)时，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6， 其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除， 由假设知k3＋5k能被6整除， 故k3＋5k，3k(k＋1)，6分别能被6整除， 所以当n＝k＋1时，命题也成立． 综上，对任意的n∈N＋，n3＋5n可以被6整除，即n3＋5n(n∈N＋)能被1，2，3，6整除． 学科网（北京）股份有限公司 $$