课时梯级训练(11) 等比数列前n项和的性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(11)　等比数列前n项和的性质 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ·3n－1，则a3＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．18 D　解析：因为a1＝S1＝3λ－1，a2＝S2－a1＝(9λ－1)－(3λ－1)＝6λ，a3＝S3－S2＝18λ， 所以(6λ)2＝18λ·(3λ－1)，解得λ＝1或λ＝0(舍去)，故a3＝18. 2．在等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a5＋a6＝4，则a9＋a10＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 D　解析：设等比数列{an}的公比为q，因为＝q4＝2，所以＝q4＝2， 则a9＋a10＝2(a5＋a6)＝2×4＝8. 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝(　　) A． B．43 C． D．41 A　解析：设S3＝x，则S6＝7x， 因为{an}为等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列． 因为＝＝6，所以S9－S6＝36x， 所以S9＝43x，故＝. 4．已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 A　解析：设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1·qn－1＝qn－1， 又由数列{an}的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则q＝＝2， 设等比数列{an}的各项之和为Sn. 则Sn＝21＋10＝，即2n－1＝31，解得n＝5. 5．(多选)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则(　　) A．a＋c＝0 B．b是数列{an}的公比 C．ac<0 D．{an}可能为常数列 ABC　解析：设等比数列{an}的公比为q. 当q＝1，Sn＝na1，显然是一次函数形式不是指数函数形式，故不满足，所以D错误； 当q≠1，Sn＝＝－·qn，所以c＝，a＝－，b＝q， 即a＋c＝0，ac＝－<0，所以ABC正确． 6．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝______. 答案：60　解析：由题知，S3＝4，S6－S3＝8， 因为数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列， 所以S9－S6＝16，S12－S9＝32， 所以S12＝S12－S9＋S9－S6＋S6－S3＋S3＝32＋16＋8＋4＝60. 7．已知等比数列{an}的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为______． 答案：2　解析：设等比数列{an}的公比为q，项数为n(n为偶数)， 由题意得a1＋a3＋…＋an－1＝85，a2＋a4＋…＋an＝170， 则a1q＋a3q＋…＋an－1q＝170，所以(a1＋a3＋…＋an－1)q＝170，解得q＝2. 8．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1－2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)∵Sn＝2n＋1－2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n； 当n＝1时，a1＝2满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)由(1)得，bn＝2n＋log2(2n)＝2n＋n， 则Tn＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(2n＋n) ＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋＝2n＋1＋－2. 9．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3.数列{Sn＋3}为等比数列，且S1，S3，S4－2S1成等差数列． (1)求数列{Sn}的通项公式； (2)若N≤≤M，求M－N的最小值． 解：(1)设等比数列{Sn＋3}的公比为q(q≠0).由a1＝3，得S1＋3＝6， ∴Sn＋3＝6×qn－1，即Sn＝6×qn－1－3. ∵S1，S3，S4－2S1成等差数列， ∴2S3＝S1＋S4－2S1，即12×q2－6＝6×q3－6，解得q＝2或q＝0(舍去)， ∴Sn＝6×2n－1－3. (2)由Sn＝6×2n－1－3，当n≥2时，Sn－1＝6×2n－2－3，两式相减得an＝3×2n－1，当n＝1时，a1＝3也满足上式，所以an＝3×2n－1. 设bn＝＝＝(－1)n·(2－)， 当n为奇数时，bn＝－2＋为递减数列，所以－2<bn≤－1； 当n为偶数时，bn＝2－为递增数列，所以≤bn<2， 所以M－N的最小值为4. 10．(多选)已知Sn是数列{an}的前n项和，S8＝17S4.下列结论正确的是(　　) A．若{an}是等差数列，则S12＝48S4 B．若{an}是等比数列，则S12＝273S4 C．若{an}是等差数列，则公差d>0 D．若{an}是等比数列，则公比是2或－2 AB　解析：若{an}是等差数列，设其公差为d，则S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，公差为16d， 由S12－S8＋S4＝2(S8－S4)，得S12＝3S8－3S4＝48S4，即A正确；当an＝0时显然符合题意，故C错误；若{an}是等比数列，设其公比为q(q≠－1)，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，公比为q4，由(S12－S8)·S4＝(S8－S4)2，得S12－S8＝，即S12＝S8＋256S4＝273S4，故B正确；当q＝－1时，S8＝17S4＝0也符合题意，故D错误． 11．(多选)已知一个等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P，Q，R，则下列等式不正确的是(　　) A．P＋Q＝R B．Q2＝PR C．(P＋Q)－R＝Q2 D．P2＋Q2＝P(Q＋R) ABC　解析：当q≠1时，P＝，Q＝，R＝； 当q＝1时，P＝na1，Q＝2na1，R＝3na1. 对于A，当q≠1时，P＋Q＝＋＝≠， 即P＋Q≠R，故A错误； 对于B，当q＝1时，Q2＝4n2a≠3n2a，即Q2≠PR，故B错误； 对于C，当q＝1时，(P＋Q)－R＝na1＋2na1－3na1＝0≠4n2a，即(P＋Q)－R≠Q2，故C错误； 对于D，当q≠1时， ∵P2＋Q2＝[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝(q4n－q2n－2qn＋2)， P(Q＋R)＝[＋]＝(q4n－q2n－2qn＋2)； 当q＝1时，P2＋Q2＝n2a＋4n2a＝5n2a，P(Q＋R)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，则P2＋Q2＝P(Q＋R)，故D正确． 12．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为______． 答案：24　解析：由正项等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn>0. 由已知S8－2S4＝6，可得S8－S4＝S4＋6. 由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2， 即a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋12≥2＋12＝2＋12＝24， 当且仅当S4＝，即S4＝6时，等号成立． 故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24. 13．在等比数列{an}中，前10项和是10，a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7－a8＋a9－a10＝5，则数列{an}的公比q＝______． 答案：　解析：由题意可得 得∵q＝＝＝＝＝， 由连比定理得q＝＝÷＝×＝. 14．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a7，a3，a1是等比数列{bn}从前到后的连续三项． (1)若a1＝4，求等差数列{an}的前10项的和S10； (2)若等比数列{bn}的前100项的和T100＝150，求b2＋b4＋b6＋…＋b100的值． 解：(1)因为a7＝a1＋6d，a3＝a1＋2d， 由a1·a7＝a，得a＋6a1d＝a＋4a1d＋4d2， ∵d≠0，∴a1＝2d，故d＝2，因此an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2， S10＝＝＝130. (2)由(1)知a1＝2d，∴a7＝8d，a3＝4d， ∴公比q＝＝， T100＝b1＋b3＋…＋b99＋b2＋b4＋…＋b100， 又b2＋b4＋…＋b100＝q(b1＋b3＋…＋b99)， ∴b2＋b4＋b6＋…＋b100＋(b2＋b4＋…＋b100)＝150， ∴b2＋b4＋b6＋…＋b100＝50. 15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ＋(n－1)·2n，又数列{bn}满足an·bn＝n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当λ为何值时，数列{bn}是等比数列，并求此时数列{bn}的前n项和Tn的取值范围． 解：(1)由Sn＝λ＋(n－1)·2n， 当n＝1时，S1＝a1＝λ； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n－1)·2n－(n－2)·2n－1＝n·2n－1， 而a1＝λ与1×21－1＝1不一定相等， 故数列{an}的通项公式为an＝ (2)由an·bn＝n，则bn＝数列{bn}为等比数列， 则首项为b1＝满足b1＝()1－1＝1，故λ＝1， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝2(1－)， 因为Tn＋1－Tn＝>0，所以Tn＝2(1－)是单调递增的， 故Tn<2且Tn≥1，即1≤Tn<2. 所以Tn的取值范围为[1，2). 学科网（北京）股份有限公司 $$