1.5 数学归纳法（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 *§5　数学归纳法 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明与正整数n有关的一些简单命题． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 k＋1 k(k∈N＋，k≥n0) 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点　数学归纳法 我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．那么，在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是 (1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)假设当n＝_______________时命题成立，证明当n＝______时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． (1)数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明． (2)应用数学归纳法时应注意： ①验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可． ②在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法． 角度1　用数学归纳法证明等式 [例1] 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋). ①当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2成立． 则当n＝k＋1时， 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)·[3(k＋1)＋1] ＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝(k＋1)(k2＋4k＋4) ＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立． 综上，可知对任意n∈N＋等式都成立． 用数学归纳法证明等式的方法 [练1] 用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N＋). (1)当n＝1时，左边＝＝＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋ ＝＋ ＝＝右边， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)和(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立． 角度2　归纳·猜想·证明 [例2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2). (1)计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． (1) S1＝a1＝－，S2＋＋2＝S2－S1，即S2＝－，S3＋＋2＝S3－S2，即S3＝－，S4＋＋2＝S4－S3，即S4＝－. 由此猜想Sn＝－(n∈N＋). (2) ①当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－，右边＝－＝－. 左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时，Sk＝－成立， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＋＋2＝Sk＋1－Sk，得＝－Sk－2＝－2＝＝＝－， ∴Sk＋1＝－＝－， ∴当n＝k＋1时，等式也成立． 综合①和②，对一切n∈N＋，Sn＝－成立． “归纳—猜想—证明”的一般环节 [练2] 设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n. (1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2nan}的前n项和Sn. (1)a2＝5，a3＝7. 猜想an＝2n＋1. 证明：当n＝1时，显然成立． 假设当n＝k(k∈N＋)时，ak＝2k＋1成立， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1， 故n＝k＋1时也成立． 则对任意的n∈N＋，都有an＝2n＋1. 综上可知，{an}的通项公式为an＝2n＋1. (2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n， 所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n，① 则2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.② 由①－②，得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1. 所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2. 角度3　用数学归纳法证明不等式 [例3] 已知{an}为等比数列且an＝2n－1，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，用数学归纳法证明：对任意的n∈N＋，不等式··…·>成立． 由已知条件可得bn＝2n(n∈N＋)， ∴所证不等式为··…·>. (1)当n＝1时，左边＝，右边＝，左边>右边， ∴不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即··…·>， ··…·>， 则当n＝k＋1时，··…··>·＝. 要证当n＝k＋1时，不等式成立，只需证≥， 即证≥， 由基本不等式，得＝ ≥成立， ∴≥成立． ∴当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)和(2)可知，对一切n∈N＋，不等式均成立． 用数学归纳法证明不等式的方法 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用． [练3] 已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N＋均有a≤an－an＋1成立． (1)求证：数列{an}中的任意一项都小于1； (2)探究an与的大小关系，并证明你的结论． (1) 由a≤an－an＋1，得an＋1≤an－a， ∵在数列{an}中，an>0，∴an＋1>0， ∴an－a>0，∴0<an<1. 故数列{an}中的任意一项都小于1. (2) 由(1)知，0<a1<1＝，那么a2≤a1－a＝－＋≤<，由此猜想an<. 下面用数学归纳法证明：当n≥2，且n∈N＋时猜想正确． ①当n＝2时已证； ②假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，有ak<成立，那么≤， ak＋1≤ak－a＝－＋<－＋＝－＝<＝. ∴当n＝k＋1时，猜想正确． 综上，对于一切n∈N＋，都有an<. ◎随堂演练 1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步需要证明(　　) A．1<2－ B．1＋<2－ C．1＋＋<2－ D．1＋＋＋<2－ 第一步需要验证当n＝2时，此时不等式为1＋＋<2－. 2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　) A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C.f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2，共有n2－n＋1项，且f(2)＝＋＋. 3．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设当n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________________________________． 答案：＋＋…＋＋＋>－ 观察不等式中各项的分母变化知，当n＝k＋1时，应证＋＋…＋＋＋>－. 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)，依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________． 答案：Sn＝ S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝. $$