课时梯级训练(10) 等比数列的前n项和公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(10)　等比数列的前n项和公式 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且公比为3，则Sn与an的关系正确的是(　　) A．Sn＝an－1 B．Sn＝an－1 C．Sn＝3an－1 D．Sn＝an－ D　解析：因为等比数列{an}首项a1＝1，公比q＝3，所以an＝a1·qn－1＝3n－1， 所以Sn＝＝＝(3n－1)＝·3n－1－＝an－. 2．已知数列{an}是等比数列，若a1＝1，q＝2，Sn＝31，则n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　解析：由题意知Sn＝＝＝31，得n＝5.故选B. 3．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝3，S6＝9，则S10＝(　　) A．12 B．15 C．18 D．21 B　解析：设等比数列{an}的公比为q， 当q＝1时，由S2＝2a1＝3，S6＝6a1＝9，解得a1＝，则S10＝10×＝15； 当q≠1时，由S2＝3，S6＝9，得显然q2≠1，从而得＝3， 即＝3，得q4＋q2－2＝0， 即(q2－1)(q2＋2)＝0，解得q2＝1或q2＝－2，均不符合题意． 综上，S10＝15. 4．某公司开发新项目，今年用于该新项目的投入为10万元，计划以后每年用于该新项目的投入都会在上一年的基础上增加，若该公司计划对该项目的总投入不超过250万元，则按计划最多能连续投入的时间为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．9年 B．10年 C．11年 D．12年 A　解析：设该公司第n年用于该新项目的投入为an万元，则{an}是首项为10，公比为的等比数列， 由题可得≤250，即()n≤6，即n lg ≤lg 6，即n≤≈≈9.848. 因为n∈N＋，所以n的最大值是9. 5．(多选)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则(　　) A．q＝2 B．S9＝29－1 C．数列的前5项和为 D．6S3＝S9 ABC　解析：设等比数列{an}的公比为q，∵9S3＝S6， ∴9×＝， ∴9＝1＋q3，∴q＝2，∴S9＝＝29－1，故选项A，B正确． 6S3＝6×(23－1)≠S9，故选项D不正确． ∵是首项＝1，公比＝的等比数列， ∴{}的前5项和为＝，故选项C正确． 6．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”，则前6天两只老鼠一共穿城墙______尺. 答案：　解析：由题意可知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列， 则小老鼠前6天打洞之和为＝. 大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，2为公比的等比数列， 则大老鼠前6天打洞之和为＝63. 所以两只老鼠前6天打洞穿墙的厚度之和为＋63＝. 7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q<0，且a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则S2 025＝______. 答案：－1　解析：由an＋2＝an＋1＋2an得anq2＝anq＋2an， 对任意的n∈N＋，an≠0，则q2－q－2＝0，因为q<0，解得q＝－1，所以a1＝＝－1. 所以S2 025＝＝＝－1. 8．在等比数列{an}中， (1)已知a1＝－4，公比q＝，求前10项和S10； (2)已知a1＝1，ak＝243，q＝3，求前k项和Sk. 解：(1)根据等比数列的前n项和公式可得S10＝＝－. (2)根据等比数列的前n项和公式可得Sk＝＝364. 9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，S3＝－，S6＝－. (1)求等比数列{an}的通项公式； (2)求a＋a＋…＋a的值． 解：(1)由题意可知q≠1. 因为＝，所以÷＝， 即＝1＋q3＝，解得q＝－，所以an＝－1×(－)n－1＝－. (2)由(1)知an＝－，则a＝， 所以＝，且a＝1，所以数列{a}是以1为首项，为公比的等比数列， 所以a＋a＋…＋a＝＝－. 10．(多选)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列不成立的是(　　) A．若a3>0，则a2 025<0 B．若a4>0，则a2 024<0 C．若a3>0，则a2 025>0 D．若a4>0，则S2 024>0 ABD　解析：根据等比数列的定义，等比数列的奇数项同号，偶数项同号，故AB均不成立，C成立． 对选项D，如an＝(－)n，a4＝>0，但S2 024＝<0，故D不成立． 11．(多选)如图给出的是一道典型的数学无字证明问题，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是(　　) A．矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列 B．前9个矩形块中所填写的数字之和等于 C．面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为 D．记bn为除了前n块之外的矩形块面积之和，则bn＝ ABD　解析：对于A，由矩形块中所填数字可知所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；对于B，前9个矩形块中所填写的数字之和为S9＝＝，故B正确；对于C，面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为a9＝×()8＝，故C错误； 对于D，前n块矩形块面积之和为Sn＝＝1－()n，故bn＝1－[1－()n]＝，故D正确． 12．设等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，若S4＝2S2＋1，则a3＝__________． 答案：　解析：由等比数列{an}的公比为2，且S4＝2S2＋1， 可得＝2(a1＋2a1)＋1，整理得15a1＝2×3a1＋1，解得a1＝， 所以a3＝a1q2＝×22＝. 13．现取长度为2的线段MN的中点M1，以MM1为直径作半圆，该半圆的面积为S1(图1)，再取线段M1N的中点M2，以M1M2为直径作半圆，所得半圆的面积之和为S2(图2)，再取线段M2N的中点M3，以M2M3为直径作半圆，所得半圆的面积之和为S3，以此类推Sn＝__________． 答案：(1－)　解析：因为长度为2的线段MN的中点为M1，所以MM1＝1，以MM1为直径作半圆，设半圆的面积为a1，所以a1＝π·()2＝π·＝， 第二次操作得到半圆的面积为a2＝()2＝， 第三次操作得到半圆的面积为a3＝·()2＝， 显然有＝＝，故通过规律可发现数列{an}是等比数列， 所以Sn＝＝(1－). 14．某市2023年共有一万辆燃油型公交车．现计划于2024年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1)该市在2030年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？ 解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在2030年应该投入的电力型公交车为a7＝a1·q6＝128×1.56＝1 458(辆). (2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，依题意，得>， 于是Sn＝>5 000，即1.5n>，则有n≈7.5，因此n≥8. 所以到2031年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. 15．如图，有边长为1的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列． (1)求这一系列正方形的面积所构成的数列，并证明它是一个等比数列； (2)从原始的正方形开始，到第9次构成新正方形时，共有10个正方形，求这10个正方形面积的和； (3)如果把这一过程无限制地延续下去，你能否预测一下，全部正方形面积相加“最终”会达到多少？ 解：(1)原正方形面积为a1＝1，由题意新正方形面积依次为a2＝()2＝，…，an＝()n－1，故数列为1，，，…，()n－1， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列． (2)由(1)知an＝()n－1，所以这10个正方形面积的和S10＝＝. (3)因为Sn＝＝2(1－)，当n趋向正无穷时，趋向0， 所以Sn无限接近于2，故全部正方形面积相加“最终”会达到2. 学科网（北京）股份有限公司 $$