1.4 数列在日常经济生活中的应用（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §4　数列在日常经济生活中的应用 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1. 掌握单利、复利的概念． 2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 原有本金 各计息周期内 P(1＋r)n P(1＋nr) 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 P(1＋r)n 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 复利 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：6 250　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　单利与复利 在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中我们银行又采用怎样的计息方式呢？ 1．单利与复利 (1)单利：单利的计算是仅在________上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期． 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(简称本利和)，则有 S＝______________． (2)复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前____________产生的利息也计算利息的计息方法，复利的计算公式是S＝____________. 2．零存整取与定期自动转存 (1)零存整取模型：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取．规定每次存入的钱不计复利，若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，那么到期整取时本利和为y＝nx＋x＝_________________元． (2)定期自动转存模型：储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．若储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，储户所得本利和为Q＝____________元 x[n＋] 复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息．单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列． 角度1　零存整取模型 [例1] 王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰. (1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？ (2)若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元) (1)设王先生每月存入A元，则有 A(1＋2.7‰)＋A(1＋2×2.7‰)＋…＋A(1＋36×2.7‰)＝20 000， 利用等差数列前n项和公式，得A(36＋36×2.7‰＋×2.7‰)＝20 000，解得A≈529(元). (2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元， 所以3年期教育储蓄每月至多存入≈555(元)， 这样，3年后的本息和为 555×(1＋2.7‰)＋555×(1＋2×2.7‰)＋…＋555×(1＋36×2.7‰) ＝555×(36＋36×2.7‰＋×2.7‰)≈20 978(元). 角度2　定期自动转存模型 [例2] 某家庭打算买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2024年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2032年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？ 设从2024年年初到2032年年初每年的本利和组成数列{an}，到2032年为止，把2024年末存款的本利和看作a1，则2031年末存款的本利和为a8， 则a1＝a(1＋p)， a2＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，…， a8＝a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)＝(1＋p)9－(1＋p). 所以这个家庭应取出的钱数为S8＝a1＋a2＋…＋a8＝a(1＋p)＋[a(1＋p)2＋a(1＋p)]＋…＋[a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)]＝[(1＋p)2－(1＋p)]＋[(1＋p)3－(1＋p)]＋…＋[(1＋p)9－(1＋p)]＝－(1＋p)＝(1＋p)10－(1＋p)2－(1＋p). 零存整取与定期转存的数列模型 (1)“零存整取模型”，存期为n，每一次存款到期后的利息构成等差数列，到期后每一次存款的本利和也构成等差数列． (2)“定期自动转存模型”，到期后每一次存款的本利和构成等比数列． [练1] 某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日都在银行中存入2 000元，连续存5年，有以下两种存款的方式： ①如果按5年期零存整取计，即每年存入a元，按a(1＋n·6.5%)计算本利和(n为年数)； ②如果按每年转存计，即每年存入a元，按(1＋5.7%)n·a计算本利和(n为年数). 请问用哪种存款的方式在第6年的7月1日到期的全部本利和较 高？(结果精确到1元，1.0576≈1.395) 若按第①种存款方式，则5年的零存整取本利和是 2 000×(1＋5×0.065)＋2 000×(1＋4×0.065)＋…＋2 000×(1＋0.065)＝11 950(元)； 若按第②种存款方式，则到期时本利和是 2 000×(1＋0.057)5＋2 000×(1＋0.057)4＋…＋2 000×(1＋0.057)≈2 000× ≈11 860(元). 所以第①种存款方式到期的全部本利和较高． 知识点二　分期付款模型 我们生活中买房到银行网点柜台办理贷款，服务人员问他是“等额本金还款”，还是“等额本息还款”，你知道这两种还款方式吗？ 分期付款模型 分期付款中，一般规定每次付款额相同，每期付款的时间间隔相同，每月利息按____计算，各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和． [例3] 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？付清全部贷款后，买这件家电实际花费多少钱？ 因为购买家电时支付150元，则欠款为1 000元，每月付50元，则需20次付清， 设每次交款数额依次构成数列{an}，则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，…， a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5，即第10个月应付款55.5元． 依次类推可知，{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列， 所以a1＋a2＋…＋a20＝×20＝1 105， 全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元). 所以分期付款的第10个月该交付55.5元，付清全部贷款后，买这件家电实际花费1 255元． 分期付款的计算方法 (1)做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn. (2)等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题． [练2] 某商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动．现计划某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率为r，则爱好者每期需要付款x＝______. 答案： 由题意得a(1＋r)n＝x＋x(1＋r)＋…＋x(1＋r)n－1， ∴a(1＋r)n＝， ∴x＝. ◎随堂演练 1．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(　　) A．na(1－b%) B．a(1－nb%) C．a[1－(b%)n] D．a(1－b%)n 依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推可知每年后的价值构成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列， 所以n年后这批设备的价值为a(1－b%)n. 2．一种预防流感病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降低64%，那么平均每月应降低成本(　　) A．20% B．32% C．40% D．50% 设成本为a，平均每月应降低成本x， 所以a(1－x)2＝(1－0.64)a，解得x＝0.4， 平均每月应降低成本40%. 3．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经过10，11，12三个月连续三次涨价回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是______． 答案：－1 设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a×90%·(1＋x)3＝a，∴1＋x＝，x＝－1. 4．小李向银行贷款14 760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是__________元． 设每年还款的钱数为x，由题意可知x[1＋(1＋0.25)1＋(1＋0.25)2＋(1＋0.25)3]＝14 760×(1＋0.25)4，所以x·＝14 760×1.254，解得x＝＝6 250. $$