课时梯级训练(7) 等差数列前n项和的性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(7)　等差数列前n项和的性质 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2n＝6，S3n＝12，则Sn的值为(　　) A．2 B．0 C．3 D．4 A　解析：因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且S2n＝6，S3n＝12，所以2(6－Sn)＝Sn＋(12－6)，解得Sn＝2. 2．已知数列{an}为等差数列，a2＝0，a4＝－2，则其前n项和Sn的最大值为(　　) A． B． C．1 D．0 C　解析：∵在等差数列{an}中，a2＝0，a4＝－2， ∴d＝＝＝－1， ∴an＝a2＋(n－2)d＝2－n. 令an≥0，且n∈N＋，解得n≤2， 令an＋1≤0，且n∈N＋，解得n≥1， ∴Sn的最大值为S1＝S2＝1. 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝19，S10＝10，则Sn的最大值为(　　) A． B．52 C．54 D．55 D　解析：设等差数列{an}的公差为d，则10×19＋d＝10，解得d＝－4， 故Sn＝19n＋×(－4)＝21n－2n2. 又函数y＝－2x2＋21x的对称轴为直线x＝，而n∈N＋， 故当n＝5时，Sn取得最大值S5＝55. 4．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 B　解析：设该数列奇数项和与偶数项和分别为S奇，S偶， ∴＝＝＝，∴＝，∴n＝10.故选B. 5．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋2a8＝a6，则下列结论正确的是(　　) A．a7＝0 B．S7最大 C．S5＝S9 D．S13＝0 AD　解析：因为a4＋2a8＝a6，所以a1＋3d＋2(a1＋7d)＝a1＋5d，得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正确．当a1<0时，d>0，则S6，S7最小，故B错误．因为a1＋6d＝0，所以a1＝－6d，所以Sn＝－6nd＋＝，对称轴为n＝，所以S5＝S8，故C错误．因为S13＝13a7＝0，故D正确． 6．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且＝，则＝__________． 答案：　解析：由等差数列的性质可知a3＋a9＝2a6， 则＝＝＝＝. 7．在等差数列{an}中，S4＝100，S8＝392，则a9＋a10＋a11＋a12＝______． 答案：484　解析：由等差数列“片段和”的性质有(S12－S8)＋S4＝2(S8－S4)， ∴S12－S8＝2(S8－S4)－S4＝2×(392－100)－100＝484. ∴a9＋a10＋a11＋a12＝484. 8．已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a6＝10. (1)求{an}的通项公式； (2)求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a6＝a2＋4d，所以10＝22＋4d， 所以d＝－3，a1＝a2－d＝25，所以an＝28－3n(n∈N＋). (2)因为{an}是等差数列， 所以a2，a4，a6，…，a20是首项为a2＝22，公差为－6的等差数列，共有10项，所以a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×22＋×(－6)＝－50. 9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－12，S5＝－50. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn的最小值． 解：(1)设数列{an}的公差为d，则解得 ∴an＝－14＋(n－1)×2＝2n－16. (2)Sn＝－14n＋×2＝n2－15n＝(n－)2－， 当且仅当n＝7或n＝8时，Sn取最小值，Sn的最小值为S7＝S8＝－56. 10．已知数列{an}是等差数列，若a9＋a12>0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn>0时，n的最大值为(　　) A．10 B．11 C．20 D．21 C　解析：由等差数列的性质可知，a9＋a12＝a11＋a10>0， 又∵a10·a11<0，∴a10和a11异号． ∵数列{an}的前n项和Sn有最大值， ∴数列{an}是递减的等差数列，即an－an－1＝d<0， ∴a10>0，a11<0，∴S21＝＝21a11<0，S20＝＝10(a9＋a12)>0， ∴当Sn>0时，n的最大值为20. 11．(多选)记Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，则(　　) A．S3，S6－S3，S9－S6成等差数列 B．，，成等差数列 C．S9＝2S6－S3 D．S9＝3(S6－S3) ABD　解析：∵(S6－S3)－S3＝(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3) ＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3d＋3d＋3d＝9d， (S9－S6)－(S6－S3)＝(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6) ＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d， ∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，故选项A正确； ∵Sn＝na1＋d，∴＝a1＋d， ∴＝a1＋d，＝a1＋d，＝a1＋4d， ∴2×＝＋， 即，，成等差数列，故选项B正确； ∵S9＋S3－2S6＝9a1＋36d＋3a1＋3d－2×(6a1＋15d)＝9d≠0， ∴S9＝2S6－S3不成立，故选项C错误； ∵S9－3(S6－S3)＝9a1＋36d－3×(6a1＋15d－3a1－3d)＝0， ∴S9＝3(S6－S3)成立，故选项D正确． 12．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N＋，都有＝，则＋＝______． 答案：　解析：＋＝＋＝＝＝， 由于＝＝＝＝＝. 13．已知等差数列{an}的首项为a1，前n项和为Sn，若－＝1，且Sn≥S5，则a1的取值范围为__________． 答案：[－10，－8]　解析：设等差数列{an}的公差为d， ∵Sn＝na1＋d，∴＝a1＋(n－1)·＝n＋(a1－)， ∴数列是以＝a1为首项，为公差的等差数列， ∴－＝＝1，解得d＝2. ∵Sn≥S5，∴解得－10≤a1≤－8， 即a1的取值范围为[－10，－8]. 14．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)，它的前n项和为Sn，且a3＝－25，S6＝－144. (1)求数列{an}的前n项和Sn的最小值． (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：(1)由2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)可知{an}是等差数列，设等差数列{an}的公差为d， 又a3＝－25，S6＝－144，则有 解得a1＝－29，d＝2， 所以{an}的前n项和Sn＝n2－30n，n∈N＋， 由二次函数性质可知，当n＝15时，Sn取最小值为－225， 所以数列{an}的前n项和Sn的最小值为－225. (2)由(1)知，an＝2n－31， 则当n≤15时，an<0，当n≥16时，an>0， 当n≤15时，Tn＝－Sn＝－n2＋30n， 当n≥16时，Tn＝－S15＋Sn－S15＝n2－30n＋450，n∈N＋， 综上，Tn＝ 15．若数列{an}满足an＋m＝an＋d(m∈N＋，d是不等于0的常数)对任意n∈N＋恒成立，则称{an}是周期为m，周期公差为d的“类周期等差数列”．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝4n＋1(n∈N＋). (1)求证：{an}是周期为2的“类周期等差数列”，并求a2，a2 025的值； (2)若数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N＋)，求{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由an＋an＋1＝4n＋1，an＋1＋an＋2＝4(n＋1)＋1，两式相减得an＋2－an＝4(n∈N＋)， 所以{an}是周期为2，周期公差为4的“类周期等差数列”， 由a1＋a2＝5，a1＝1，得a2＝4， 所以a2 025＝a2＋(2 025－2)×2＝4＋4 046＝4 050. (2)由bn＝an＋1－an，bn＋1＝an＋2－an＋1，得bn＋1＋bn＝an＋2－an＝4， 当n为偶数时，Tn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(bn－1＋bn)＝4·＝2n； 当n为奇数时，Tn＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(bn－1＋bn)＝3＋4·＝2n＋1. 综上所述，Tn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$