课时梯级训练(6) 等差数列的前n项和公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(6)　等差数列的前n项和公式 1．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A． B． C．－ D．－ B　解析：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S10，得＝，所以5a3＝5(a3＋a8)，所以a8＝0，公差d＝＝－，所以a1＝a5－4d＝1－4×(－)＝，故选B. 2．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则公差d＝(　　) A． B． C．1 D．2 C　解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S9＝＝27，a1＋a9＝2a5，所以a5＝3. 又因为a10＝8，所以d＝＝1. 3．明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，Sn和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为(　　) A．35 B．32 C．29 D．26 A　解析：根据题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为－3的等差数列，设长子的岁数为a1，则207＝9a1＋×(－3)，解得a1＝35. 4．在等差数列{an}中，a1＝－2 024，其前n项和为Sn，若－＝4，则S2 025＝(　　) A．2 024 B．0 C．－2 024 D．2 025 B　解析：设等差数列{an}的公差为d， 则S10＝10a1＋d，S6＝6a1＋d，则－＝2d＝4，即d＝2， 所以S2 025＝2 025×(－2 024)＋×2＝0. 5．(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则(　　) A．a1＝1 B．d＝－ C．a2＋a12＝10 D．S10＝40 ACD　解析：设等差数列{an}的公差为d，则由已知得S7＝， 即21＝，解得a1＝1，故A正确． 又a7＝a1＋6d，所以d＝，故B错误． 由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10，故C正确． S10＝10a1＋d＝10＋×＝40，故D正确． 6．已知数列{an}前n项和为Sn，且Sn＝n2，则an＝________． 答案：2n－1，n∈N＋　解析：当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2且n∈N＋时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 而a1＝2×1－1＝1，即a1也满足上式， ∴an＝2n－1，n∈N＋. 7．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔10 min发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是60 km/h，则这个车队当天一共行驶了________千米． 答案：3 450　解析：由题意知，第一辆车行程为(19－14)×60＝300(km)， 且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走×60＝10(km)， 这15辆车的行驶路程可以看作首项为300，公差为－10的等差数列， 则15辆车的行驶路程之和为S15＝300×15＋×(－10)＝3 450 (km). 8．已知等差数列{an}满足a3＝6，前7项和为S7＝49. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)由S7＝＝7a4＝49，得a4＝7，∵a3＝6， ∴该等差数列的公差d＝a4－a3＝7－6＝1， ∴an＝a3＋(n－3)·1＝6＋n－3＝n＋3. (2)Sn＝＝＝. 9．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－3n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{an}是等差数列． (1)解：当n＝1时，a1＝S1＝1－3＝－2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－3n－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4， 令n＝1，a1＝－2满足an＝2n－4，所以an＝2n－4. (2)证明：由(1)知，an＋1－an＝2(n＋1)－4－(2n－4)＝2， 所以数列{an}是首项为－2，公差为2的等差数列． 10．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S7＝35，a8＝13，则(　　) A．an＝3n－11 B．an＝2n－3 C．Sn＝n2－n D．Sn＝n2－2n BD　解析：设等差数列{an}的公差为d， 因为S7＝35，a8＝13，所以即解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝－1＋2(n－1)＝2n－3， Sn＝na1＋d＝－n＋n2－n＝n2－2n.故选BD. 11．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1 200元．他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元．这次募捐活动一共进行的天数为(　　) A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 A　解析：设他们每天收到的捐款形成数列{an}， 则由题可得{an}是首项为10，公差为10的等差数列， 令Sn＝10n＋×10＝1 200，解得n＝－16(舍去)或n＝15， 所以这次募捐活动一共进行的天数为15天． 12．《周髀算经》是中国十部古算经之一，其中记载有：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，二十蔀为一遂……若32个人的年龄(都为整数)依次成等差数列，他们的年龄之和恰好为“一遂”，其中年龄最小者不超过30岁，则年龄最大者为________岁． 答案：94　解析：根据题意可知这32个人年龄之和为19×4×20＝1 520， 设年纪最小者年龄为n，年纪最大者年龄为m， 则×32＝1 520，即n＋m＝95， 设32个人的年龄形成的等差数列的首项为n，公差为d，则n，m，d∈N＋， 则32n＋d＝1 520，即2n＋31d＝95，解得2n＝95－31d. 因为1≤n≤30，所以2≤2n≤60，则2≤95－31d≤60， 解得1≤d≤3，所以d＝2或d＝3，当d＝2时，2n＝95－31×2＝33，解得n＝∉N＋(舍去)，当d＝3时，2n＝95－31×3＝2，解得n＝1， 则m＝95－1＝94. 13．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，n∈N＋，则a1－a2＋a3－a4＋…＋a2 019－a2 020＋a2 021－a2 022＋a2 023－a2 024＋a2 025＝________． 答案：2 025　解析：根据数列{an}的前n项和Sn＝n2，n∈N＋， 当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 当n＝1时也适合上式， 故an＝2n－1，则{an}是等差数列，公差为d＝2， 故a1－a2＋a3－a4＋…＋a2 019－a2 020＋a2 021－a2 022＋a2 023－a2 024＋a2 025＝a1＋1 012d＝2 025. 14．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在常数k，使得数列为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0，由a2a4＝65，a1＋a5＝18， 得 解得 所以an＝1＋4(n－1)＝4n－3. (2)由(1)得Sn＝n＝n(2n－1)， 假设存在常数k，使得数列为等差数列， 则，，成等差数列，所以2＝＋， 即2＝＋，解得k＝1， 可得＝＝n， 当n≥2时，n－(n－1)＝为常数， 所以数列为等差数列， 故存在常数k＝1，使得数列为等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$