精品解析：江苏省苏南五市职业学校职教高考2025届高三下学期第二次调研性统测数学试题

2025年苏南五市职业学校职教高考第二次调研性统测 数学试卷 本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分.第I卷第1至2页，第II卷第2至4页.两卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，请务必将姓名､班级､学校等填写在答题卡上规定位置. 2.客观题作答须用2B铅笔把答题卡上相应题号对应选项的方框涂黑；主观题作答须用黑色水笔在答题卡规定的答题区域书写答案.答案不涂写在答题卡上无效. 第I卷（共40分） 一､单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上相应题号中正确答案的字母标号涂黑） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知集合 由， 可得， 故选：D. 2. 已知复数（为虚数单位，若为纯虚数，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的运算性质，列出式子计算得到答案. 【详解】已知复数，则， 因为是纯虚数，可得，可知， 所以， 故选：C. 3. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，及充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】因为向量， 若有，则， 所以，所以，即充分性成立； 若，则， 解得或，即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若变量x，y满足不等式组，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最小值即可. 【详解】依题意，不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中， 令，则表示斜率为1，纵截距为的平行直线系， 画直线，显然直线，平移直线到， 当直线与直线重合时，直线的纵截距最大，最小， 所以. 故选：C 5. 已知圆锥的高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合解直角三角形先求出底面半径和母线长，结合圆锥的表面积公式，即可求解. 【详解】 由题意，可得， 所以， 所以圆锥的表面积. 故选：A. 6. 若将函数的图像向右平移个单位，所得函数图像关于原点对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合辅助角公式和两角和的正弦公式，化简函数为正弦型函数，结合正弦型函数的图像变换规律，即可求解. 【详解】因为， 又将函数的图像向右平移个单位，所得函数图像关于原点对称， 令， 所以，即， 所以时，的最小正值是. 故选：C. 7. 某老师与参加会议的5名学生一起合影留念（6人站成一排），则老师站两端，且学生甲与学生乙不相邻的排法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 144 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合公式计算. 【详解】第一步，除了学生甲和学生乙以外的名学生排队，有种排法， 第二步，利用插空法，将学生甲和学生乙插入其他名学生排队产生的个空位， 排法有种， 第三步，将老师安排在队伍两端，有种排法， 所以共有种排法， 故选：C. 8. 设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性、即可求解. 【详解】由题意知，是上的奇函数，在上是减函数， 所以在上是减函数， 因为，所以， 所以当或时，； 当或时，， 因为， 所以或， 解得或， 即或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 9. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且为正三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合已知条件求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，联立两方程求得点的坐标，由为正三角形，则，结合已知条件列式即可求出a，b的值. 【详解】因为双曲线的离心率为，则在双曲线中， 所以双曲线的两条渐近线方程为， 因为抛物线的准线为，由， 解得或，不妨设， 因为为双曲线的右顶点，则设，且为正三角形， 所以，即 解得或（舍去），又，所以， 则双曲线的方程为. 故选：B. 10. 已知，直线，且，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的条件得到关于的等式，再结合均值不等式求解即可； 【详解】因为直线，且， 所以，解得； 所以， 所以， 当且仅当，即时取得等号； 故选：B 第II卷（共110分） 二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知角的终边与单位圆交于点，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合任意角三角函数的定义，可得，结合三角函数的诱导公式及余弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】因为角的终边与单位圆交于点， 所以， 所以. 故答案为：. 12. 设是等比数列的前项和，若，则__________. 【答案】90 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列片段和的性质，即可求解. 【详解】因为是等比数列的前项和，且， 所以, 所以， 所以. 故答案为：90. 13. 已知某地区中小学生的人数和近视率情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据比例算出抽取高中生的人数，再根据近视率求出抽取高中生的人数. 【详解】总人数为， 则抽取的人数为， 抽取的高中生人数为， 其中近视率由图可知为，故抽取高中生近视的人数为. 故答案为：20. 14. 已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，将圆的方程转化为标准方程，求出圆心坐标和半径，表示出四边形的面积，结合切线长公式和点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】 因为圆，即， 所以圆心坐标为，半径， 因为是圆的两条切线，是切点， 所以， 所以四边形的面积， 因为四边形的最小面积是2，即， 又， 所以当取得最小值2时，也取得最小值，此时， 即圆心到直线的距离为， 所以，解得， 又，所以. 故答案为：2. 15. 现定义一种运算“”：对任意实数.设，若函数的图像与轴恰有三个公共点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求出函数的解析式，将函数的图像与轴恰有三个公共点的问题，转化为分段函数的图像与直线的交点的个数的问题，即可求解. 【详解】由题意得当，即时，解得或， 此时函数， 当，即时，函数， 即， 又函数的图像与轴恰有三个公共点， 即函数的图像与直线有三个交点， 作出函数的图像如图所示： 由图可知，当时，满足题意， 因为，， 所以， 即实数k的取值范围是. 故答案为：. 三､解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知关于的不等式恒成立. （1）求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合指数函数的单调性，及含参数的二次不等式恒成立问题，即可求解； （2）根据题意，结合对数函数的单调性，及含绝对值的不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 因为，即， 又指数函数在定义域实数集R上是单调增函数， 所以恒成立， 即恒成立， 所以，即， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为，即， 因为，所以函数在定义域上是增函数， 所以，即， 所以或， 解得或， 所以不等式解集为. 17. 若二次函数，满足是偶函数，最小值为，且. （1）求函数的解析式； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得函数对称轴为，继而求得函数的顶点坐标，可设函数解析式为顶点式，利用待定系数法，即可求解； （2）根据题意，可设，结合二次函数在区间恒成立问题，可得时，，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以函数对称轴为， 又因为最小值为，所以顶点为， 可设， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 令， 则对任意恒成立， 所以时，， 又， 所以函数的图像开口向上，对称轴为，在区间上单调递增， 所以当时，， 解得， 所以实数的取值范围是. 18. 一个袋中装有五个形状大小完全相同的球，球的编号分别为. （1）从袋中随机取出三个球，设事件取出球的最大编号为5，求事件A的概率； （2）先从袋中随机取出一个球，该球的编号为，将球放回袋中，再从袋中随机取出一个球，该球的编号为，设事件，求事件的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解； （2）根据题意，可先求出所有基本事件的总数，结合对立事件的概率的性质，即可求解. 【小问1详解】 由题意，需从编号为的4个求出再取2个， 所以， 即事件A的概率是； 【小问2详解】 由题意，可得所有基本事件共有个，事件， 满足事件的基本事件有共6个， 所以， 即事件的概率是. 19. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由； （2）若点在边上，且，求的面积. 【答案】（1）直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求得角，继而根据三角恒等变换可得角，即可判断三角形的形状； （2）利用余弦定理可求得，再利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 直角三角形； 理由： 由和正弦定理得： ， 所以， 因为为内角，所以； 又因为， 即， 化简得. 因为为内角，所以， 所以是直角三角形. 【小问2详解】 由（1）知：，，且是直角三角形， 设，则， 在中，， 即，解得， 所以. 20. 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出x与y之间的函数关系式； （2）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1），且 （2）存放天后出售可获得最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据总金额单价数量，构建二次函数模型写出解析式即可. （2）根据利润售价成本，构建二次函数模型，运用二次函数顶点式求最值即可. 【小问1详解】 由题意得，存放x天后，香菇的售价为每千克， 去掉每天的损耗，香菇的数量为， 所以y与x之间的函数关系式为， ，且. 【小问2详解】 设利润为W，则由（2）得， ， ，，且， 因此当时，且，所以， 所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润为元. 21. 已知数列的前项和为，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）数列的前项和为，求使的最小正整数的值； （3）设，数列的前项和为，求. 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列与的关系和等差数列的判定，结合等比数列的通项公式和单调性即可解得. （2）根据等差数列和等比数列的求和公式计算即可解得. （3）根据裂项相消法进行求和即可解得. 【小问1详解】 由题意， 即，又， 所以为公差为2，首项为3的等差数列，， 因为成等差数列，所以， 设的公比为，又因为，所以，解得或， 因为为递增数列，所以. 【小问2详解】 ， . 是增函数， ， 所以最小正整数的值为. 【小问3详解】 ， ，. 22. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）首先利用中位线定理证明线线平行，然后利用线面平行的判定定理证明即可. （2）利用体积相等即可得到点到平面的距离. 【小问1详解】 连结交于点，连结， 易知是的中点，又是的中点， 所以. 因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为是的中点，棱长为2， 所以， 又因为是的中点， 所以 又因为， 所以， 设点到平面的距离为，因为， 所以， 即， 解得， 即点到平面的距离为. 23. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点. ①求面积S的最大值； ②若，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）①3；②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的离心率可得，将已知点代入椭圆方程可得，两式联立方程组，即可求解. （2）根据题意，先求出右焦点坐标，易得直线的斜率不存在时，不符合题意，当直线的斜率存在时，表示出直线方程，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理，表示出面积，结合函数的单调性，即可求解；结合向量，易得， 继而得到，结合韦达定理，即可列出等式，化简求出k的值. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为， 所以，化简得， 因为点在椭圆上，所以， 所以，消元化简整理得， 解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）知椭圆的方程为， 所以， 所以右焦点， 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 所以此时点在直线l上，即三点共线， 故不能构成，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线斜率为，直线方程为， 设， 联立方程组，整理得， 所以， ①面积 ， 令，则，， 所以， 令，则此函数在时为单调增函数， 故当时，，此时面积S取得最大值，即， 即面积S的最大值为3； ②因为， 所以，可得， 所以，且，所以， 又， ， 所以，即， 化简整理得， 当时，直线与x轴重合，， 此时,所以，不符合题意； 当时，，即， 解得，所以直线斜率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年苏南五市职业学校职教高考第二次调研性统测 数学试卷 本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分.第I卷第1至2页，第II卷第2至4页.两卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，请务必将姓名､班级､学校等填写在答题卡上规定位置. 2.客观题作答须用2B铅笔把答题卡上相应题号对应选项的方框涂黑；主观题作答须用黑色水笔在答题卡规定的答题区域书写答案.答案不涂写在答题卡上无效. 第I卷（共40分） 一､单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上相应题号中正确答案的字母标号涂黑） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位，若为纯虚数，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若变量x，y满足不等式组，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知圆锥的高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若将函数的图像向右平移个单位，所得函数图像关于原点对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 7. 某老师与参加会议的5名学生一起合影留念（6人站成一排），则老师站两端，且学生甲与学生乙不相邻的排法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 144 D. 240 8. 设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且为正三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，直线，且，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 第II卷（共110分） 二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知角的终边与单位圆交于点，则__________. 12. 设是等比数列的前项和，若，则__________. 13. 已知某地区中小学生的人数和近视率情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为__________. 14. 已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则__________. 15. 现定义一种运算“”：对任意实数.设，若函数的图像与轴恰有三个公共点，则实数的取值范围是__________. 三､解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知关于的不等式恒成立. （1）求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 17. 若二次函数，满足是偶函数，最小值为，且. （1）求函数的解析式； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 18. 一个袋中装有五个形状大小完全相同的球，球的编号分别为. （1）从袋中随机取出三个球，设事件取出球的最大编号为5，求事件A的概率； （2）先从袋中随机取出一个球，该球的编号为，将球放回袋中，再从袋中随机取出一个球，该球的编号为，设事件，求事件的概率. 19. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由； （2）若点在边上，且，求的面积. 20. 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出x与y之间的函数关系式； （2）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 已知数列的前项和为，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）数列的前项和为，求使的最小正整数的值； （3）设，数列的前项和为，求. 22. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 23. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点. ①求面积S的最大值； ②若，求直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $