重难点16 矩形的性质与判定的综合九大重难点题型-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点16 矩形的性质与判定的综合 九大重难点题型 ▲知识点一：矩形的定义： ●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用. ▲知识点二：矩形的性质： ●●性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. ★1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. ★2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线. ★3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质. ★4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. ▲知识点三：直角三角形斜边上的中线 ★1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. ★3、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形. ▲知识点四：矩形的判定： ●矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. ◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 【题型1 利用矩形的性质求线段长】 【例题1】（2024•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证△AOB是等边三角形，可得∠BAC＝60°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∵AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴AB＝AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴BCAB＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式1-1】（2024秋•英德市期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据矩形的性质得出AC＝BD，AO＝CO，求出AC，再求出BD即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝CO， ∵AO＝3， ∴CO＝3， ∴AC＝3+3＝6， ∴BD＝AC＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的对角线互相平分且相等是解此题的关键． 【变式1-2】（2024秋•峰峰矿区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（　　） A．22 B．1 C．1 D．2 【分析】在Rt△ABE中可求得BE的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得BC＝BE，则可求得AD的长，则可求得DE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°， ∵AB＝2，∠ABE＝45°， ∴AE＝AB＝2， ∴BE2， ∵AD∥BC， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵EC平分∠BED， ∴∠BEC＝∠DEC， ∴∠BEC＝∠ECB， ∴BC＝BE＝2， ∴AD＝2， ∴DE＝AD﹣AE＝22， 故选：A． 【点评】本题主要考查矩形的性质，根据条件证得BC＝BE是解题的关键． 【变式1-3】（2024春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　） A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm 【分析】根据已知条件以及矩形性质证△ABE为等腰三角形得到AB＝AE，注意“长和宽分别为15cm和10cm”说明有2种情况，需要分类讨论． 【解答】解：如图，∵矩形ABCD中，BE是角平分线． ∴∠ABE＝∠EBC． ∵AD∥BC． ∴∠AEB＝∠EBC． ∴∠AEB＝∠ABE ∴AB＝AE． 当AB＝15cm时：则AE＝15cm，不满足题意． 当AB＝10cm时：AE＝10cm，则DE＝5cm． 故选：B． 【点评】此题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质．注意出现角平分线，出现平行线时，一般出现等腰三角形，需注意等腰三角形相等边的不同． 【变式1-4】（2024秋•鄠邑区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于 　 ． 【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12，可求得OA＝OD，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP求得答案． 【解答】解：连接PO， ∵矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝5×12＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC13， ∴S△AODS矩形ABCD＝15，OA＝ODAC， ∴S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PFOA（PE+PF）（PE+PF）＝15， ∴PE+PF， 故答案案为：． 【点评】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质及三角形的面积公式是解题的关键． 【变式1-5】（2024春•丹阳市期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED． （1）判断△BEC的形状，并说明理由； （2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长． 【分析】（1）利用矩形的性质和角平分线平分角，推出∠BEC＝∠BCE，即可得到BE＝BC，即可得出结论； （2）易得△BAE为等腰直角三角形，求出AE，BE的长，即可得出AD的长，利用DE＝AD﹣AE，进行求解即可． 【解答】解：（1）△BEC是等腰三角形，理由如下： ∵矩形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠BCE＝∠DEC， ∵EC平分∠BED， ∴∠BEC＝∠DEC， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BE＝BC， ∴△BEC是等腰三角形； （2）∵矩形ABCD， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝1，BC＝AD， ∵∠ABE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴AE＝AB＝1， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键． 【题型二 利用矩形的性质求角度】 【例题2】（2024秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（　　） A．45° B．30° C．15° D．60° 【分析】长方形内角为90°，已知∠BAF＝60°，所以可以得到∠DAF，又因为AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出． 【解答】解：在长方形ABCD中，∠BAD＝90° ∵∠BAF＝60° ∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30° 又AE平分∠DAF 所以∠DAE∠DAF＝15° 故选：C． 【点评】运用了长方形的四个角都是直角以及角平分线的概念即可解决． 解题技巧提炼 矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利用等腰三角形的性质. 【变式2-1】（2024秋•南关区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．67.5° 【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定、性质，由BO＝BE，∠OBE的度数，然后即可计算出∠BOE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD，AB＝CD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠BAE＝∠BEA＝45°， ∴AB＝BE， ∴AC＝2CD， ∴BD＝2AB， ∴BO＝BE， ∴∠BOE＝∠BEO， ∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB， ∴△AOD≌△COB（SAS）， ∴∠OAD＝∠OBC＝30°， ∴∠OBE＝30°， ∴∠BOE＝∠BEO75°， 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式2-2】（2024秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（　　） A．45° B．30° C．15° D．60° 【分析】长方形内角为90°，已知∠BAF＝60°，所以可以得到∠DAF，又因为AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出． 【解答】解：在长方形ABCD中，∠BAD＝90° ∵∠BAF＝60° ∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30° 又AE平分∠DAF 所以∠DAE∠DAF＝15° 故选：C． 【点评】运用了长方形的四个角都是直角以及角平分线的概念即可解决． 【变式2-3】（2024秋•永寿县校级期中）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，且AE平分∠BAC，若AE＝CE，则∠AEB的度数为　 　． 【分析】先证明∠BAE＝∠CAE＝∠ACE，再进一步的利用三角形的内角和定理可得答案． 【解答】解：在矩形ABCD中，点E在边BC上， ∴∠B＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∵AE＝CE，AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠ACE，∠BAE＝∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE， ∴3∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝90°﹣30°＝60°； 故答案为：60°． 【点评】本题考查矩形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式2-4】（2024秋•南山区期末）如图，长方形ABCD中，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠BCE＝20°，则∠ACB的度数为　 　． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC＝2∠F，从而得到∠ACG＝2∠F，根据两直线平行，内错角相等可得∠ECB＝∠F，再求出∠ACB＝3∠F，从而得解． 【解答】解：在△AGF中，∠AGC＝∠F+∠GAF＝2∠F， ∵∠ACG＝∠AGC， ∴∠ACG＝2∠F， ∵AD∥BC， ∴∠ECB＝∠F， ∴∠ACB＝∠ACG+∠BCE＝3∠F， ∴∠ACB＝3∠ECB＝60°； 故答案为：60°． 【点评】本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解题的关键． 【变式2-5】（2024秋•秦都区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若∠AOD＝120°，求∠CDE的度数． 【分析】由矩形的性质得出OC＝OD，得出∠ODC＝∠OCD＝60°，由直角三角形的性质求出∠ODE＝30°，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠AOD＝120°， ∴∠DOE＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∴， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝30°， ∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝60°﹣30°＝30°； ∴∠CDE的度数为30°． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【题型三 利用矩形的性质求周长和面积】 【例题3】如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（　　） A．22 B．24 C．26 D．28 【分析】直接利用勾股定理得出DC的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE的长，进而得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC， ∵ED＝5，EC＝3， ∴DC4， 则AB＝4， ∵AE平分∠BAD交BC于点E， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE＝4， ∴BC=BE+EC＝4+3=7 ∴长方形的面积为：4×7＝28． 故选：D． 【点评】此题主要考查了矩形的性质以及角平分线的定义，正确得出AB＝BE是解题关键． 解题技巧提炼 求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用. 【变式3-1】（2024秋•锦江区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD中，可得BD＝10，推出OD＝OA＝OB＝5，因为E．F分别是AO．AD中点，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC， 在Rt△BAD中，∵BD10， ∴OD＝OA＝OB＝5， ∵E．F分别是AO，AD中点， ∴EFOD，AE，AF＝4， ∴△AEF的周长为9， 故选：D． 【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型． 【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是　 ． 【分析】根据题意和矩形的性质，可以得到AC的长，然后根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理，可以得到AB和BC的长，从而可以求得矩形ABCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4， ∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝30°， ∴AB＝2，BC2， ∴矩形ABCD的面积是：2×24， 故答案为：4． 【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式3-3】（2024秋•南海区校级月考）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE＝3，AF＝5，则矩形ABCD的周长为　 ． 【分析】连接CF，根据线段垂直平分线的性质得到CF＝AF＝5，OA＝OC，再证明△AOF≌△COE（AAS）得到CE＝AF＝5，进而可求出AD，DF的长，再利用勾股定理求出CD的长即可得到答案． 【解答】解：如图所示，连接CF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AF∥CE， ∴∠OAF＝∠OCE，∠OFA＝∠OEC， ∵对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F， ∴CF＝AF＝5，OA＝OC， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴CE＝AF＝5， ∴AD＝BC＝CE+BF＝5+3＝8， ∴DF＝3， ∴CD4， ∴矩形ABCD的周长为AD+CD+AB+BC＝8+8+4+4＝24， 故答案为：24． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是相关性质的应用． 【变式3-4】（2024秋•兴庆区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为 　　 ． 【分析】过点P作GH分别交AD、BC于点G、H，证明S四边形GPFD＝S四边形EPHB，从而S四边形GPFDS四边形EPHB，即S△DPF＝S△PEB，求出S△DPF的值即可求出整个阴影部分的面积． 【解答】解：过点P作GH分别交AD、BC于点G、H， 由矩形性质可知， S△ADC＝S△ABC，S△PFC＝S△PHC，S△AGP＝S△AEP， ∴S△ADC﹣S△PFC﹣S△AGP＝S△ABC﹣S△PHC﹣S△AEP， 即S四边形GPFD＝S四边形EPHB， ∴S四边形GPFDS四边形EPHB，即S△DPF＝S△PEB． ∵GP＝AE＝2，PF＝9， ∴S△DPF9＝S△PEB． 即图中阴影面积为S△DPF+S△PEB＝9+9＝18． 故答案为：18． 【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质定理是解题关键． 【变式3-5】（2024春•双柏县期中）已知，矩形一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm和5cm,求矩形的周长． 【分析】根据已知条件画出草图，然后分情况求得对应的矩形的长和宽后即可求得答案． 【解答】解：如图，由已知条件画出草图如下： 矩形ABCD中，AE平分∠BAD， 则∠B=∠BAD=90°， 那么∠BAE=45°，∠AEB=∠BAE=45°， 故AB=BE， ①若AB=BE=3cm,CE=5cm, 则BC=3+5=8（cm）， 此时矩形ABCD的周长为2×（3+8）=22（cm）； ②若AB=BE=5cm,CE=3cm, 则BC=3+5=8（cm）， 此时矩形ABCD的周长为2×（5+8）=26（cm）； 综上，矩形的周长为22cm或26cm. 【点评】本题考查矩形的性质及等腰直角三角形的性质，结合已知条件画出草图是解题的关键． 【变式3-6】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF． （1）求证：AE＝CF； （2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF； （2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝6，AC＝2OA＝12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC6，即可得出矩形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， 在△AOE和△COF中，， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝6， ∴AC＝2OA＝12， 在Rt△ABC中，BC6， ∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝6×636． 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键． 【题型四 利用矩形的性质证明】 【例题4】（2024秋•金台区期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF，求证：AF＝DE． 【分析】利用矩形的性质证得△ABF≌△DCE（SAS），从而证得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴AF＝DE． 【点评】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解矩形的对边相等，四个角都是直角． 【变式4-1】（2024秋•华安县校级期末）如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD． 求证：AO＝BO． 【分析】首先根据矩形的性质得到∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，利用角之间的数量关系得到∠AOD＝∠BOC，利用AAS证明△AOD≌△BOC，即可得到AO＝OB． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC﹣∠DOC＝∠BOD﹣∠DOC， ∴∠AOD＝∠BOC， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（AAS）， ∴AO＝OB． 【点评】本题主要考查了矩形的性质的知识，解答本题的关键是证明△AOD≌△BOC，此题难度不大． 【变式4-2】（2024•槐荫区二模）如图，四边形ABCD是矩形，点F在线段BA的延长线上，点E在线段AB的延长线上，CF＝DE．求证：AF＝BE． 【分析】由矩形的性质得到AD＝BC，∠CBF＝∠DAE＝90°，根据HL定理证得Rt△BCF≌Rt△ADE，得到BF＝AE，即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠CBF＝∠DAE＝90°， 在Rt△BCF和Rt△ADE中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△ADE（HL）， ∴BF＝AE， ∴BF﹣AB＝AE﹣AB， 即 AF＝BE． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，综合运用相关知识是解决问题的关键． 【变式4-3】（2024春•姜堰区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在AB的延长线上找一点E，连接EC，使得EC＝AC． （1）求证：四边形BDCE是平行四边形； （2）若AB＝6，BC＝8，求点E到AC的距离． 【分析】（1）由矩形的性质得∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC，由BC⊥AE，EC＝AC，得AB＝EB，则DB＝EC，EB＝DC，即可证明四边形BDCE是平行四边形； （2）设点E到AC的距离是h，由勾股定理求得AC10，再由10h12×8＝S△AEC求出h的值即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC， ∴BC⊥AE， ∵EC＝AC， ∴DB＝EC，AB＝EB， ∴EB＝DC， ∴四边形BDCE是平行四边形． （2）解：设点E到AC的距离是h， ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10，AE＝2AB＝12， ∵AC•hAE•BC＝S△AEC， ∴10h12×8， 解得h， ∴点E到AC的距离为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求点到直线的距离等知识与方法，正确地列出表示△AEC面积的代数式是解题的关键． 【变式4-4】（2024春•南充期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F． （1）求证：AB＝DF． （2）若AB＝8，CE＝4，求BC的长． 【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△DFA即可得出结论； （2）根据（1）全等可知AE＝AD，根据矩形的性质，可知BC＝AD，∠B＝90°，设BC＝x，则AB2+BE2＝AE2，求解关于x的方程即可． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠FAD＝∠BEA． ∵DF⊥AE， ∴∠DFA＝90°＝∠B． 在△ABE和△DFA中， ， ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AB＝DF； （2）解：∵△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AE＝AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD，∠B＝90°， 设BC＝x， 则AB2+BE2＝AE2， ∴82+（x﹣4）2＝x2， 解得x＝10， ∴BC＝10． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明△ABE≌△DFA是解题的关键． 【变式4-5】（2024秋•南岸区校级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG． （1）求证：BG＝DG； （2）连接BD，求∠BDG的度数． 【分析】（1）由BF平分∠BAD，得∠DAF＝∠BAF＝45°，则∠F＝∠DAF＝45°，可证明DF＝DA＝BC，由CG⊥AF于点G，得∠GCF＝∠F＝45°，则∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG，即可证明△BCG≌△DFG，得BG＝DG； （2）由∠CBG＝∠FDG，推导出∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°，则∠GBD＝∠BDG＝45°． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝DA，BC∥DA，∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴∠BCF＝∠BCD＝90°， ∵BF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAF＝45°， ∴∠F＝∠DAF＝45°， ∴DF＝DA， ∴BC＝DF， ∵CG⊥AF于点G， ∴∠CGF＝90°， ∴∠GCF＝∠F＝45°， ∴∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG， 在△BCG和△DFG中， ， ∴△BCG≌△DFG（SAS）， ∴BG＝DG． （2）解：∵△BCG≌△DFG， ∴∠CBG＝∠FDG， ∴∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CBG+∠BDG＝∠CBD+∠FDG+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°， ∵∠GBD＝∠BDG， ∴∠BDG＝45°， ∴∠BDG的度数是45． 【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明△BCG≌△DFG是解题的关键． 【题型五 直角三角形斜边上的中线的性质】 【例题5】（2024秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝MEBC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，进而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得MN． 【解答】（1）证明：连接EM、DM， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中点， ∴DMBC，EMBC， ∴DM＝EM， ∵N是DE的中点， ∴MN⊥ED； （2）解：在Rt△DBC中，M是BC的中点， ∴DMBC＝BM， ∴∠DBM＝∠BDM， 同理∠MEC＝∠MCE， ∵∠ECB+∠DBC＝45°， ∴∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°， ∴∠EMD＝90°， ∵N是DE的中点，DE＝10， ∴MNDE＝5． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 【变式5-1】（2024•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE，则∠ACD＝（　　） A．15° B．30° C．22.5° D．45° 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BC＝2DE＝2，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，由AB＝2AC可求解∠ABC＝30°，然后根据同角的余角相等即可得出∠ACD＝∠ABC即可求解． 【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，DE， ∴BC＝2DE＝2， ∵AB＝4，AC＝2， ∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵∠ABC+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠ABC＝30°． 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，余角的性质，证明△ABC是直角三角形是解题的关键． 【变式5-2】（2024秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（　　） A．12 B．30 C．27 D．32 【分析】先根据直角三角形的性质求出DF与CF的长，再由等腰三角形的性质求出DE的长，根据勾股定理求出EF的长，进而可得出结论． 【解答】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F是AB的中点，AB＝26， ∴DF＝CFAB26＝13， ∴△CDF是等腰三角形． ∵点E是CD的中点，CD＝24， ∴EF⊥CD，DECD＝12． 在Rt△DEF中，DE5， ∴△DEF的周长为：DF+DE+EF＝13+12+5＝30． 故选：B． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【变式5-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为　 ． 【分析】根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC＝6；最后由等腰三角形ABC的两腰AB＝AC，求得AB＝6． 【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D， ∴△ADC是直角三角形； ∵E是AC的中点． ∴DEAC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）， 又∵DE＝3，AB＝AC， ∴AB＝6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【变式5-4】（2024•宁南县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10，则BF的长为 　 　． 【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度，结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BFCD． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10， ∵CD为中线， ∴CDAB＝5． ∵F为DE中点，BE＝BC， ∴点B是EC的中点， ∴BF是△CDE的中位线， ∴BFCD＝2.5． 故答案为：2.5． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【变式5-5】（2024秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE． （1）求证：∠AEC＝∠C； （2）求证：BD＝2AC； （3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出AE＝BE，再由等边对等角及三角形外角的性质即可证明； （2）根据（1）中结论及直角三角形斜边上的中线的性质即可证明； （3）根据直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD⊥AB， ∴△ABD为直角三角形． 又∵点E是BD的中点， ∴， 又∵， ∴AE＝BE， ∴∠B＝∠BAE． 又∵∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴∠AEC＝∠B+∠B＝2∠B． 又∵∠C＝2∠B， ∴∠AEC＝∠C． （2）证明：由（1）可得AE＝AC， 又∵， ∴， ∴BD＝2AC． （3）解：在Rt△ABD中， ∵AD＝5，BD＝2AE＝2×6.5＝13， ∴AB， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝12+6.5+6.5＝25． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理解三角形及等腰三角形的性质与判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【题型六 判断四边形是矩形】 【例题6】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 【分析】利用等腰△ADC“三合一”的性质证得DE⊥AC，同理得DF⊥BC，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证四边形DECF是矩形． 【解答】证明：如图， ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴AD＝CD， ∵DE是∠ADC的角平分线， ∴DE⊥AC． ∴∠DEC＝90°， 同理得∠CFD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定．此题是根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形推知四边形DECF是矩形的． 【变式6-1】（2024秋•莱西市期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故选：A． 【点评】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 【变式6-2】（2024秋•昌图县期末）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠BAD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意； D、∵∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴AD∥BC， 在Rt△ABD和Rt△BAC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． 【变式6-3】（2024秋•秦都区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB．求证：四边形ABCD是矩形． 【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明对角线相等即可． 【解答】证明：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OA，BD＝2OB． ∵OA＝OB， ∴AC＝BD． ∴四边形ABCD是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【变式6-4】（2024春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形． 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可得∠AFD＝∠BHC＝∠HGF＝∠HEF＝90°，由此可证四边形EFGH为矩形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°． ∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠EAB+∠EBA（∠DAB+∠ABC）180°＝90°． ∴∠AEB＝90°， 同理可得：∠AFD＝90°，∠BHC＝90°，∠DGC＝90°， ∵∠HGF＝∠DGC＝90°，∠HEF＝∠AEB＝90°， ∴∠AFD＝∠HGF＝∠HEF＝90°， ∴四边形EGFH是矩形． 【点评】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握三个角是直角的四边形是矩形． 【变式6-5】如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形． 【分析】首先推出∠BAC＝∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA＝∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC＝90°，可得平行四边形ABCD是矩形． 【解答】证明：∵MN∥PQ， ∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC， ∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ， ∴∠BAC∠MAC、∠DCA∠ACQ， 又∵∠MAC＝∠ACQ， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC， ∴∠BCA∠ACP、∠DAC∠NAC， 又∵∠ACP＝∠NAC， ∴∠BCA＝∠DAC， ∴AD∥CB， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD平行四边形， ∵∠BAC∠MAC，∠ACB∠ACP， 又∵∠MAC+∠ACP＝180°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【题型七 判断平行四边形是矩形】 【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形． 【分析】由平行四边形的性质得出∠AFC＝∠AEC＝90°，则∠FCE＝∠EAF＝90°，可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AE⊥CD，CF⊥AB， ∴∠AFC＝∠AEC＝90°， ∴∠FCE＝∠EAF＝90°， ∴四边形AFCE是矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【变式7-1】（2024•曹妃甸区模拟）已知四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是（　　） A．AC⊥BD B．∠ABC＝90° C．AC与BD互相平分 D．AB＝BC 【分析】四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，得四边形ABCD是平行四边形，又由AC＝BD，即可求得答案． 【解答】解：四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是AC与BD互相平分，理由如下： ∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 故选：C． 【点评】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质．掌握对角线相等的平行四边形为矩形定理是解题的关键． 【变式7-2】（2024秋•双塔区校级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 【分析】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD， ∵DE＝AD， ∴BC＝DE， ∵BC∥AD， ∴BC∥DE， ∴四边形DBCE是平行四边形 A、∵AB＝BE时，AB＝CD， ∴BE＝CD， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意； B、∵CE⊥DE， ∴∠CED＝90°时， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠ADB＝90°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意； D、∵BE⊥AB，AB∥CD， ∴BE⊥CD， ∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式7-3】（2024秋•灵武市期末）如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 　 　． 【分析】根据对角线互相相等的平行四边形是矩形进行作答即可． 【解答】解：依题意，∵两组对边分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 则只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等的平行四边形为矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是关键． 【变式7-4】（2024春•南票区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE． 求证：四边形BECD是矩形． 【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形． 【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD． ∵四边形ABED是平行四边形， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴BE＝CD， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴▱BECD是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【变式7-5】（2023秋•宽城区校级期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，E是AD边上的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由． 【分析】（1）利用ASA得到△AEF≌△DEC，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）由AF与BD平行且相等，得到四边形AFBD为平行四边形，再由AB＝AC，BD＝CD，利用三线合一得到AD垂直于BC，即∠ADB为直角，即可得证． 【解答】（1）证明：∵E是AD边上的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， ∴△AEF≌△DEC（ASA）， ∴AF＝CD， ∵D是BC边上的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD， ∴四边形AFBD是平行四边形； （2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形， 理由：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴平行四边形AFBD是矩形． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【题型八 利用矩形的性质解决折叠问题】 【例题8】（2024春•三台县月考）如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（　　） A．57° B．58° C．59° D．60° 【分析】由矩形的性质得∠ABC＝90°，AD∥BC，则∠AFB＝∠DAF，由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，所以∠AFB′＝∠DAF，由AB'∥BD，∠B′AM＝∠1＝26°，则∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，所以∠DAF＝32°，即可求得∠BAF＝∠B′AF＝58°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF， 由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB， ∴∠AFB′＝∠DAF， ∵AB'∥BD， ∴∠B′AM＝∠1＝26°， ∴∠AMB′＝90°﹣∠B′AM＝64°， ∴∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°， ∴∠DAF＝32°， ∴∠BAF＝∠B′AF＝∠B′AM+∠DAF＝26°+32°＝58°， 故选：B． 【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，根据翻折的性质和平行线的性质证明∠AFB′＝∠DAF是解题的关键． 【变式8-1】（2024秋•金山区期末）如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝　 　度． 【分析】利用翻折不变性求出∠DED1即可解决问题； 【解答】解：由翻折不变性可知， ∠AED＝∠AED1＝76°， ∴∠DED1＝152°， ∴∠CED1＝180°﹣152°＝28°， 故答案为：28． 【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及直角三角形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键 【变式8-2】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，结果发现F点恰好是DC的中点，若BC＝2，则AB的长 . 【分析】连接EF，由折叠性质得AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB，则∠EGF＝90°，易证EG＝DE，由矩形的性质得AB＝CD，∠C＝∠D＝90°，推出∠EGF＝∠D＝90°，由HL证得Rt△EGF≌Rt△EDF，得出FG＝FD，求得CF＝DF＝FGCDAB，BF＝BG+FGAB，由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2，即可得出结果． 【解答】解：连接EF，如图所示： 由折叠性质得：AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB， ∴∠EGF＝90°， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴EG＝DE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠C＝∠D＝90°， ∴∠EGF＝∠D＝90°， 在Rt△EGF与Rt△EDF中，， ∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）， ∴FG＝FD， ∵F点恰好是DC的中点， ∴CF＝DF＝FGCDAB， ∴BF＝BG+FG＝ABABAB， 在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2， 即：（2）2+（AB）2＝（AB）2， 解得：AB＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式8-3】（2024春•沙河口区期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则DE的值为（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【分析】连接BE，由折叠可知，DE＝BE，CD＝BG＝4，CF＝GF，∠DEF＝∠BEF，∠D＝∠G＝90°，由AD∥BC可得∠DEF＝∠BFE，进而得到∠BFE＝∠BEF，则BE＝BF＝DE，设CF＝GF＝x，则BF＝8﹣x，Rt△BFG中，利用勾定理建立方程，求解即可． 【解答】解：如图，连接BE， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝8， ∴AB＝CD＝4，∠D＝90°，AD∥BC， 由折叠可知，DE＝BE，CD＝BG＝4，CF＝GF，∠DEF＝∠BEF，∠D＝∠G＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴BE＝BF＝DE， 设CF＝GF＝x，则BF＝BC﹣CF＝8﹣x， 在Rt△BFG中，GF2+BG2＝BF2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴DE＝BF＝8﹣x＝5． 故选：D． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．再解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 【变式8-4】（2024春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长． 【分析】由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设CD与BE交于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8， 由翻折的性质得：△ABP≌△EBP， ∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8， 在△ODP和△OEG中，， ∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP＝OG，PD＝GE， ∴DG＝EP， ∴AP＝EP＝DG， 设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x， ∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x， 在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2， 即62+（8﹣x）2＝（x+2）2， 解得：x＝4.8， ∴AP＝4.8． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式8-5】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF． （1）求证：△PDE≌△CDF； （2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长． 【分析】（1）根据ASA证明两个三角形全等即可； （2）如图，过点E作EG⊥BC于G，由勾股定理计算FG＝3，设CF＝x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2，列方程可解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD， 由折叠得：AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°， ∴PD＝CD， ∵∠PDF＝∠ADC， ∴∠PDE＝∠CDF， 在△PDE和△CDF中， ， ∴△PDE≌△CDF（ASA）； （2）解：如图，过点E作EG⊥BC于G， ∴∠EGF＝90°，EG＝CD＝4， 在Rt△EGF中，由勾股定理得：FG3， 设CF＝x， 由（1）知：PE＝AE＝BG＝x， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， 由折叠得：∠BFE＝∠DFE， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF＝x+3， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2， ∴x2+42＝（x+3）2， ∴x， ∴BC＝2x+33（cm）． 【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题关键． 【题型九 矩形的性质与判定的综合运用】 【例题9】（2024春•长垣市期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据矩形的判定与性质进行逐一判断即可． 【解答】解：∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝∠A＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABED是矩形，故②正确； ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴DC＝BC，故①正确； ∵BD≠CD， ∴点E不是BC的中点，故③错误； ∵BE＝AD＝2，BC＝CD＝5， ∴CE＝BC﹣BE＝3， ∴DE＝AB4，故④正确， ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握矩形的性质是解题关键． 【变式9-1】如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【分析】连接OE，由AC，BD互相平分得出四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线性质推出AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，再由勾股定理即可得出结果． 【解答】解：连接OE，如图所示： ∵2AB＝BC＝4， ∴AB＝2， ∵AC，BD互相平分， ∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形， ∵以AC为斜边作Rt△ACE， ∴OE＝OA＝OCAC， ∵BE⊥DE， ∴OE＝OB＝ODBD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°， ∴BD2， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式9-2】（2024春•怀宁县期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　） A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5 【分析】先由勾股定理求出AB＝5，再证四边形CEMF是矩形，得EF＝CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM＝2.4，即可得出答案． 【解答】解：连接CM，如图所示： ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEMF是矩形， ∴EF＝CM， ∵点P是EF的中点， ∴CPEF， 当CM⊥AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小， ∵△ABC的面积AB×CMAC×BC， ∴CM2.4， ∴CPEFCM＝1.2， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式9-3】（2024秋•茂南区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠ADB＝90°，再根据平行线的性质得∠DBE＝90°，然后根据AE⊥AD，可得∠DAE＝90°，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得AB，然后根据矩形的性质得BE＝AD＝3，AE＝BD＝2，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，∠ADB＝90°， ∵BE∥AD，AE⊥AD， ∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°， ∴四边形ADBE是矩形； （2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3， ∴． 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：． ∵四边形ADBE是矩形， ∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2． ∵， ∴． 【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 【变式9-4】（2024春•海珠区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．AC为对角线，E，F分别是AD，BC的中点，EF交对角线AC于点O． （1）求证：△AEO≌△CFO． （2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长． 【分析】（1）先由矩形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，进而得到∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，再由线段中点的定义得到AE＝CF，据此可证明△AEO≌△CFO（ASA）； （2）先由矩形的性质得到AD＝BC，∠ABC＝90°，AD∥BC，则，证明四边形ABFE是矩形，得到EF＝AB＝3，由全等三角形的性质得到EO＝FO，AO＝CO，再由直角三角形斜边中线的性质得到，则AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4，即AG的长为1或4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴， ∴AE＝CF， ∴△AEO≌△CFO（ASA）； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴， ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴， ∴AE＝BF， ∴四边形ABFE是矩形， ∴EF＝AB＝3， ∵△AEO≌△CFO， ∴EO＝FO，AO＝CO， ∴O为EF、AC中点 ∴． ∵∠EGF＝90°， ∴， ∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4， ∴AG的长为1或4． 【点评】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理： 【变式9-6】（2024春•惠州校级期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案； （2）根据已知得出∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长； （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF； （2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°， ∵CE＝12，CF＝5， ∴EF13， ∴OCEF； （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形， 理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1．（2024秋•顺德区期末）如图，点E在矩形ABCD的边AD上．若△EBC是等边三角形，则∠AEB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据平行线的性质和等边三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵△EBC是等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（2025•福田区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A．AB＝BE B． C．△ACE是等腰三角形 D． 【分析】由矩形形的性质可得AO＝COAC，AC＝BD，通过证明四边形DBEC是平线四边形，可得BD＝CE＝AC，得出OBCE，△ACE是等腰三角形，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，BO＝DOBD， ∵CE∥BD，DC∥BE， ∴四边形DBEC是平行四边形， ∴CE＝BD＝AC， ∴OBCE， ∴△ACE是等腰三角形， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 3．（2024•雁塔区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E在AC上，且AE＝BE，连接CD交BE于点F，若∠A＝25°，则∠DFE的度数（　　） A．65° B．70o C．75o D．80o 【分析】由直角三角形的性质可得CD＝AD，即可求解∠ACD＝25°，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求得∠BEC＝50°，再利用三角形外角的性质可求解． 【解答】解：∵D为AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CD＝AD， ∴∠ACD＝∠A＝25°， ∵AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝25°， ∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°， ∴∠DFE＝∠ACD+∠BEC＝25°+50°＝75°， 故选：C． 【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，求解∠ACD，∠BEC的度数是解题的关键． 4．（2024•秦都区校级一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【分析】连接CE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得AE＝CE，S△BOE＝S△COE＝5，由三角形的面积则可求得DE的长，得出AE的长，然后由勾股定理求得答案． 【解答】解：如图，连接CE， 由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线， ∴AE＝CE，S△AOE＝S△COE＝5， ∴S△ACE＝2S△COE＝10． ∴AE•CD＝10， ∵CD＝4， ∴AE＝EC＝5， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE3． 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 5．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．4 【分析】因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C＝90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积． 【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点， ∴DF∥BC， ∴∠C＝90°， ∴四边形BCDE是矩形． ∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2， ∴AB＝4， ∴AC2． ∴BE＝CD． ∴四边形BCDE的面积为：22． 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等． 6．（2024春•西安区校级月考）如图，平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，要想使四边形ABCD变成一个矩形，只需添加的一个条件是 　 　． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，且∠ADC＝90°，根据矩形的定义可证明四边形ABCD是矩形，于是得到问题的答案．另外，也可以由四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是矩形”证明四边形ABCD是矩形，则添加的条件可以是AC⊥BD． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 故答案为：∠ADC＝90°． 注：答案不唯一，如：AC⊥BD． 【点评】此题重点考查矩形的定义及矩形的判定定理等知识，正确理解平行四边形与矩形之间的一般与特殊的关系是解题的关键． 7．（2024春•抚顺期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF＝　 　． 【分析】根据∠ADC＝90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD＝OC，推出∠BDC＝∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案． 【解答】解：设∠ADF＝3x°，∠FDC＝2x°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴2x+3x＝90， x＝18°， 即∠FDC＝2x°＝36°， ∵DF⊥AC， ∴∠DMC＝90°， ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2OC，BD＝2OD，AC＝BD， ∴OD＝OC， ∴∠BDC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝54°﹣36°＝18°， 故答案为：18°． 【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理的应用，关键是求出∠BDC和∠CDF的度数，注意：矩形的对角线互相平分且相等． 8．（2024秋•秦都区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AD、BC上，连接BE、DF，且∠DFC＝∠EBC．求证：AE＝CF． 【分析】通过矩形ABCD得到AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，证明∠BEA＝∠DFC，则△ABE≌△CDF（AAS），即可求证． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC， ∴∠BEA＝∠EBC， ∵∠DFC＝∠EBC， ∴∠BEA＝∠DFC， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．（2024秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． 求证：四边形ADCE为矩形； 【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明； 【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD． ∴∠ADC＝90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN． ∴∠DAE＝90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC＝90°． ∴四边形ADCE为矩形． 【点评】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD． （1）求∠EDC的度数． （2）求证：BF＝AE． 【分析】（1）由角平分线的性质可得∠ABD＝∠DBC＝45°，可求∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，由直角三角形的性质可得∠C＝∠FBC＝30°，即可求解； （2）由直角三角形的性质可得BF＝AB，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝AE，可证BF＝AE． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝45°， ∵∠FBC＝2∠FBD． ∴∠FBD＝15°，∠FBC＝30°， ∵∠ABC＝90°，点F是AC中点， ∴AF＝BF＝CF， ∴∠C＝∠FBC＝30°， ∴∠EDC＝∠C+∠DBC＝75°； （2）∵∠C＝30°，∠ABC＝90°， ∴AC＝2AB， ∴AB＝AF＝BF， ∵AE∥BC， ∴∠E＝∠DBC＝45°＝∠ABD， ∴AB＝AE， ∴AE＝BF． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质是本题的关键． 11．（2024•东城区校级三模）如图，矩形ABCD，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E．过点D作DF⊥BE于F，G为AC中点，连接FG． （1）求证：BE＝AC． （2）若AB＝2，BC＝4，求FG的长． 【分析】（1）根据矩形的性质得出AB∥CD，根据平行四边形的判定得出四边形ABEC是平行四边形，即可得出答案； （2）连接BD，根据矩形的性质得出AC＝BD，求出G为BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得出GHBD即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∵AC∥BE， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴BE＝AC； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，G为AC的中点， ∴G为BD的中点，AC＝BD， ∵DF⊥BE，即∠DFB＝90°， ∴GFBD， ∵BD2， ∴GF． 【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键． 12．（2024秋•榆阳区期中）如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）若点E为AC的中点，求∠ABE的度数． 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AD＝BC，则BE＝BC，由等边对等角得到∠ECB＝∠CEB，则可证明∠FEB＝∠BCD＝90°，进而可证明平行四边形ABCD是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明△BCE是等边三角形，得到∠CBE＝60°，则∠ABE＝30°． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵BE＝AD， ∴BE＝BC， ∴∠ECB＝∠CEB， ∵∠FEC＝∠FCE， ∴∠FEC+∠CEB＝∠FCE+∠BCE， ∴∠BEF＝∠BCF， ∵EF⊥BE， ∴∠FEB＝∠BCD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵点E为AC的中点， ∴BE＝CE＝BC， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∴∠ABE＝30°． 【点评】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点16 矩形的性质与判定的综合 九大重难点题型 ▲知识点一：矩形的定义： ●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用. ▲知识点二：矩形的性质： ●●性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. ★1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. ★2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线. ★3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质. ★4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. ▲知识点三：直角三角形斜边上的中线 ★1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. ★3、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形. ▲知识点四：矩形的判定： ●矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. ◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 【题型1 利用矩形的性质求线段长】 【例题1】（2024•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【变式1-1】（2024秋•英德市期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（2024秋•峰峰矿区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（　　） A．22 B．1 C．1 D．2 【变式1-3】（2024春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　） A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm 【变式1-4】（2024秋•鄠邑区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于 　 ． 【变式1-5】（2024春•丹阳市期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED． （1）判断△BEC的形状，并说明理由； （2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长． 【题型二 利用矩形的性质求角度】 【例题2】（2024秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（　　） A．45° B．30° C．15° D．60° 解题技巧提炼 矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利用等腰三角形的性质. 【变式2-1】（2024秋•南关区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．67.5° 【变式2-2】（2024秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（　　） A．45° B．30° C．15° D．60° 【变式2-3】（2024秋•永寿县校级期中）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，且AE平分∠BAC，若AE＝CE，则∠AEB的度数为　 　． 【变式2-4】（2024秋•南山区期末）如图，长方形ABCD中，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠BCE＝20°，则∠ACB的度数为　 　． 【变式2-5】（2024秋•秦都区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若∠AOD＝120°，求∠CDE的度数． 【题型三 利用矩形的性质求周长和面积】 【例题3】如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（　　） A．22 B．24 C．26 D．28 解题技巧提炼 求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用. 【变式3-1】（2024秋•锦江区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是　 ． 【变式3-3】（2024秋•南海区校级月考）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE＝3，AF＝5，则矩形ABCD的周长为　 ． 【变式3-4】（2024秋•兴庆区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为 　　 ． 【变式3-5】（2024春•双柏县期中）已知，矩形一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm和5cm,求矩形的周长． 【变式3-6】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF． （1）求证：AE＝CF； （2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 【题型四 利用矩形的性质证明】 【例题4】（2024秋•金台区期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF，求证：AF＝DE． 【变式4-1】（2024秋•华安县校级期末）如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD． 求证：AO＝BO． 【变式4-2】（2024•槐荫区二模）如图，四边形ABCD是矩形，点F在线段BA的延长线上，点E在线段AB的延长线上，CF＝DE．求证：AF＝BE． 【变式4-3】（2024春•姜堰区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在AB的延长线上找一点E，连接EC，使得EC＝AC． （1）求证：四边形BDCE是平行四边形； （2）若AB＝6，BC＝8，求点E到AC的距离． 【变式4-4】（2024春•南充期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F． （1）求证：AB＝DF． （2）若AB＝8，CE＝4，求BC的长． 【变式4-5】（2024秋•南岸区校级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG． （1）求证：BG＝DG； （2）连接BD，求∠BDG的度数． 【题型五 直角三角形斜边上的中线的性质】 【例题5】（2024秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长． 【变式5-1】（2024•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE，则∠ACD＝（　　） A．15° B．30° C．22.5° D．45° 【变式5-2】（2024秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（　　） A．12 B．30 C．27 D．32 【变式5-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为　 ． 【变式5-4】（2024•宁南县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10，则BF的长为 　 　． 【变式5-5】（2024秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE． （1）求证：∠AEC＝∠C； （2）求证：BD＝2AC； （3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长． 【题型六 判断四边形是矩形】 【例题6】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 【变式6-1】（2024秋•莱西市期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【变式6-2】（2024秋•昌图县期末）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 【变式6-3】（2024秋•秦都区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB．求证：四边形ABCD是矩形． 【变式6-4】（2024春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形． 【变式6-5】如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形． 【题型七 判断平行四边形是矩形】 【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形． 【变式7-1】（2024•曹妃甸区模拟）已知四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是（　　） A．AC⊥BD B．∠ABC＝90° C．AC与BD互相平分 D．AB＝BC 【变式7-2】（2024秋•双塔区校级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 【变式7-3】（2024秋•灵武市期末）如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 　 　． 【变式7-4】（2024春•南票区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE． 求证：四边形BECD是矩形． 【变式7-5】（2023秋•宽城区校级期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，E是AD边上的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由． 【题型八 利用矩形的性质解决折叠问题】 【例题8】（2024春•三台县月考）如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（　　） A．57° B．58° C．59° D．60° 【变式8-1】（2024秋•金山区期末）如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝　 　度． 【变式8-2】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，结果发现F点恰好是DC的中点，若BC＝2，则AB的长 . 【变式8-3】（2024春•沙河口区期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则DE的值为（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【变式8-4】（2024春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长． 【变式8-5】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF． （1）求证：△PDE≌△CDF； （2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长． 【题型九 矩形的性质与判定的综合运用】 【例题9】（2024春•长垣市期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式9-1】如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【变式9-2】（2024春•怀宁县期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　） A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5 【变式9-3】（2024秋•茂南区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长． 【变式9-4】（2024春•海珠区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．AC为对角线，E，F分别是AD，BC的中点，EF交对角线AC于点O． （1）求证：△AEO≌△CFO． （2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长． 【变式9-6】（2024春•惠州校级期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 1．（2024秋•顺德区期末）如图，点E在矩形ABCD的边AD上．若△EBC是等边三角形，则∠AEB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．（2025•福田区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A．AB＝BE B． C．△ACE是等腰三角形 D． 3．（2024•雁塔区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E在AC上，且AE＝BE，连接CD交BE于点F，若∠A＝25°，则∠DFE的度数（　　） A．65° B．70o C．75o D．80o 4．（2024•秦都区校级一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 5．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．4 6．（2024春•西安区校级月考）如图，平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，要想使四边形ABCD变成一个矩形，只需添加的一个条件是 　 　． 7．（2024春•抚顺期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF＝　 　． 8．（2024秋•秦都区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AD、BC上，连接BE、DF，且∠DFC＝∠EBC．求证：AE＝CF． 9．（2024秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． 求证：四边形ADCE为矩形； 10．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD． （1）求∠EDC的度数． （2）求证：BF＝AE． 11．（2024•东城区校级三模）如图，矩形ABCD，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E．过点D作DF⊥BE于F，G为AC中点，连接FG． （1）求证：BE＝AC． （2）若AB＝2，BC＝4，求FG的长． 12．（2024秋•榆阳区期中）如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）若点E为AC的中点，求∠ABE的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$