清单03 图形的平移与旋转（考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）

清单03 图形的平移与旋转 （11个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 清单02 图形的旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 清单03 中心对称 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1)连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2)将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图 5. 中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【考点题型一】生活中的平移现象（） 【例1】（23-24八年级下·山西晋中·期中）下列运动现象属于平移的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·广东佛山·期中）下列生活现象中，属于平移的是（    ） A．汽车轮胎在地上滚动 B．对折一张纸 C．拉开抽屉 D．时钟上分针的运动 【变式1-2】（22-23八年级下·安徽宿州·期中）下列运动属于平移的是（    ） A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 B．随风飘动的树叶在空中的运动 C．投篮时篮球的运动 D．急刹车时汽车在地面上直线滑动 【变式1-3】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，由图形通过平移可以得到的图形是（    ） A．B．C．D． 【考点题型二】利用平移的性质求解（） 【例2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将沿方向平移得到对应的．若，则的长是（　　） A．3 B．4 C．2 D．1 【变式2-1】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将沿的方向平移得到，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将沿射线方向平移得到，点，，的对应点分别为，，，若，，则的长为 ． 【变式2-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿若点到的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分面积为 ． 【变式2-5】（23-24八年级下·江西九江·期中）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ． 【考点题型三】点坐标平移的变化（） 【例3】（24-25八年级上·浙江·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【变式3-1】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23八年级下·重庆忠县·期中）已知点向左平移1个单位长度得到点，则的值为 ． 【变式3-4】（23-24七年级下·天津河东·期末）点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为 ． 【考点题型四】平移综合题(几何变换)（） 【例4】（22-23七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接．    (1)求C，D两点的坐标及四边形的面积； (2)点P是线段上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点M在y轴上，且点D在的外部，连接，若的面积与四边形的面积相等，求点M的坐标． 【变式4-1】（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，，现同时将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接． (1)写出点的坐标； (2)在线段上是否存在一点，使得，如果存在，试求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式4-2】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【考点题型五】根据旋转的性质求解（） 【例5】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点落在边上，，连接．则长为（　　） A． B． C．3 D．4 【考点题型六】坐标与旋转规律问题（） 【例6】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·山东日照·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2024次得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24八年级下·河南郑州·开学考试）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为（3，0），点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点的坐标为 . 【考点题型七】旋转综合题（） 【例7】（24-25八年级下·全国·期中）（1）如图1，在中，，，点D，E在边上，．若，求的长． 小明的解题思路：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可证，最后在中可求得的长，即的长． ①请你写出与全等的证明过程； ②求出的长． （2）某公园有一块三角形空地（如图3），其中，．为了美化环境，蓄洪防涝，公园管理人员拟在中间挖出一个三角形人工湖，D，E是边上的点，要求，，求的长． 【变式7-1】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长． 【变式7-2】（23-24八年级下·江西吉安·期中）（1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）联想：如图③，在四边形中，，若，，则的长为______． 【变式7-3】（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，完成下列各题． ①线段的长 ；②求的度数． （2）如图2，是等腰直角内一点，连接，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当满足什么条件时，？请给出证明． 【变式7-4】（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【变式7-5】（22-23八年级下·辽宁本溪·期中）【探究】（1）如图1，在四边形中中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是　　　　　　．    【拓展】（2）如图2，已知是等腰直角三角形，．将三角板的角的顶点与点C重合，使这个角落在的内部，两边分别与斜边交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【实际应用】（3）如图2，在四边形中，，，若，则四边形的面积为__________． 【变式7-7】（22-23九年级上·湖北黄冈·阶段练习）在等腰中，，． (1)如图1，D，E是等腰斜边上两动点，且°，将绕点A逆时针旋转90°后，得到，连接． ①求证：； ②试判断、、三条线段之间的关系，并说明理由． (2)如图2，点D是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点A为直角顶点顺时针作等腰，当，时，直接写出的长． 【考点题型八】中心对称图形的识别（） 【例8】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）观察下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【变式8-2】（22-23八年级下·江苏扬州·期中）下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24八年级下·全国·期中）下列图例中，是中心对称图形的是（        ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【考点题型九】根据中心对称的性质求解（） 【例9】（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为 ．    【变式9-1】（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，△ABC与△DBE关于点B成中心对称，若∠A=90°，∠ADC=30°，DE=2，则AB的长为 ． 【变式9-2】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【考点题型十】点坐标关于原点对称（） 【例10】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24八年级下·福建三明·期中）平面直角坐标系中的点与点关于原点对称，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24八年级下·广东河源·期中）若点关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围 ． 【变式10-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则 ． 【考点题型十一】作图-平移，旋转和中心对称综合（） 【例11】（23-24八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出将向下平移6 个单位长度得到的； (2)请在图中画出和关于原点成中心对称的； (3)如图，是绕着点 P 顺时针旋转得到的，请直接写出点 P 的坐标． 【变式11-1】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，已知点． (1)将向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)将绕点顺时针旋转，画出所得的； (3)请求出以点所组成三角形的面积． 【变式11-2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)将沿x轴方向向左平移3个单位后得到，画出．并写出顶点的坐标． (2)将绕顺时针旋转后得到，画出．并写出顶点的坐标． 【变式11-3】（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标； (2)将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标； (3)求四边形的面积． 【变式11-4】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将绕原点O旋转得到，画出； (2)平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点P旋转可得到，请直接写出点P的坐标． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 图形的平移与旋转 （11个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 清单02 图形的旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 清单03 中心对称 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1)连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2)将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图 5. 中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【考点题型一】生活中的平移现象（） 【例1】（23-24八年级下·山西晋中·期中）下列运动现象属于平移的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移的定义“在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”逐项判断即可． 【详解】解：A，不属于平移，不合题意； B，属于平移，符合题意； C，不属于平移，不合题意； D，不属于平移，不合题意； 故选B． 【变式1-1】（23-24八年级下·广东佛山·期中）下列生活现象中，属于平移的是（    ） A．汽车轮胎在地上滚动 B．对折一张纸 C．拉开抽屉 D．时钟上分针的运动 【答案】C 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小，可得答案． 【详解】解：汽车轮胎在地上滚动，方向发生变化，不是平移运动； 对折一张纸，方向发生变化，不是平移运动； 拉开抽屉，是平移运动； 时钟上分针的运动，方向发生变化，不是平移运动； 故选：C． 【变式1-2】（22-23八年级下·安徽宿州·期中）下列运动属于平移的是（    ） A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 B．随风飘动的树叶在空中的运动 C．投篮时篮球的运动 D．急刹车时汽车在地面上直线滑动 【答案】D 【分析】根据平移沿直线运动且大小保持不变性质判断即可． 【详解】A. 冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡，有大小的变化， 故错误； B. 随风飘动的树叶在空中的运动，大小不变，担不是沿着直线移动， 故错误； C. 投篮时篮球的运动，不沿着直线运动， 故错误； D. 急刹车时汽车在地面上直线滑动，符合平移定义， 故正确； 故选D． 【点睛】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式1-3】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，由图形通过平移可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的特性，掌握平移只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小是解决问题的关键．根据平移的性质：只改变图形的位置，不改变形状及大小，逐项判断即可． 【详解】解：根据平移的性质，符合平移特性的是： 故选：B． 【考点题型二】利用平移的性质求解（） 【例2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将沿方向平移得到对应的．若，则的长是（　　） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到对应的， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式2-1】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将沿的方向平移得到，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质以及三角形的内角和性质，先由平移得出再结合三角形的内角和列式计算即可作答． 【详解】解：∵将沿的方向平移得到， ∴ 在中，， ∴ 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将沿射线方向平移得到，点，，的对应点分别为，，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据题意得出，再根据平移的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿射线方向平移得到， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿若点到的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查平移性质、全等三角形的性质、梯形面积公式，熟练掌握平移性质，得到是解答的关键． 根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形的面积，然后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移性质得，，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：30． 【变式2-5】（23-24八年级下·江西九江·期中）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，先根据平移的性质得到，，而，则四边形的周长，然后利用整体代入的方法计算即可．熟知平移的性质是关键． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， 的周长为， ， 四边形的周长 ． 故答案为：． 【考点题型三】点坐标平移的变化（） 【例3】（24-25八年级上·浙江·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； （2）解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 【变式3-1】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的平移，关于y轴对称的点的特点，首先根据点向右平移，横坐标增加3，纵坐标不变，得出平移的点的坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可. 【详解】解：将点向右平移3个单位长度得到点，即， ∴点关于y轴对称的点的坐标是． 故选：D． 【变式3-2】（23-24八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点A、的坐标确定出平移规律，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴平移规律为向右平移6个单位，向上平移4个单位， ∵， ∴点的坐标为， 故选：C． 【变式3-3】（22-23八年级下·重庆忠县·期中）已知点向左平移1个单位长度得到点，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移，平移中点的变化规律是：右移横坐标加，左移减；上移纵坐标加，下移减．根据点的坐标的平移规律可得，即可得的值． 【详解】解：点向左平移1个单位长度得到点， ， 解得：， 故答案为：4． 【变式3-4】（23-24七年级下·天津河东·期末）点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移；根据点坐标“右加左减、上加下减”的平移规律可得答案． 【详解】解：点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的横坐标为，纵坐标为，即， 故答案为：． 【考点题型四】平移综合题(几何变换)（） 【例4】（22-23七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接．    (1)求C，D两点的坐标及四边形的面积； (2)点P是线段上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点M在y轴上，且点D在的外部，连接，若的面积与四边形的面积相等，求点M的坐标． 【答案】(1)；四边形的面积为20； (2)不变，，理由见解析； (3)． 【分析】（1）根据条件确定A，B坐标，根据平移得到C，D两点的坐标；由A，B，C，D坐标确定四边形底和高，即可求面积； （2）过点作的平行线，根据平行线的性质可得； （3）设M坐标为，根据，列出方程求出m的值，即可确定M点坐标． 【详解】（1）解： 将点A，B分别向下平移4个单位，向左平移1个单位 故答案为：，四边形的面积为20； （2）由（1）中、，可得； 如下图所示，过点作 ，不发生变化；    （3）如下图所示，过作交于点F，设点 即 解得：，； 故答案为：．      【点睛】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式，关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化． 【变式4-1】（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，，现同时将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接． (1)写出点的坐标； (2)在线段上是否存在一点，使得，如果存在，试求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据几何图形在平面直角坐标系中各边长，各顶点与轴的关系，平移的性质即可求解； （2）根据题意，设，则，根据三角形的面积计算公式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴， ∵点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得对应点， ∴． （2）解：如图所示， ，设，则， ∴，， ∴，解得，， ∴点存在，且坐标为． 【点睛】本题主要考查图形与坐标，掌握几何图形的性质，平移的性质，三角形面积的计算方法是解题的关键． 【变式4-2】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)，3；， (2)秒 (3)见解析 【分析】 （1）利用平移变换的性质求解； （2）设秒后轴，构建方程求解； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【详解】（1） 解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，， 故答案为：，3；，； （2） 设秒后轴，则有， 解得，时，轴； （3） ①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ． ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ． 综上所述，与的关系为：或或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【考点题型五】根据旋转的性质求解（） 【例5】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：B 【变式5-1】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转变换，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解决此题的关键，根据平行线的性质得到，根据旋转变换的性质得出,利用等腰三角形的性质得出,进而计算即可得解． 【详解】解：， ， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ， 故选：． 【变式5-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点落在边上，，连接．则长为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理，根据旋转前后对应边相等、对应角相等，可得，， ，再用勾股定理解和即可． 【详解】解：由旋转知，， ， ， ， ， 故选：B． 【考点题型六】坐标与旋转规律问题（） 【例6】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 【变式6-1】（24-25九年级上·山东日照·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2024次得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．先求得旋转第2024次得到的菱形与第二次得到的菱形相同，如图，旋转第二次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，据此求解，即可得到的坐标． 【详解】解：∵， ∴旋转周期为6个， ， ∴旋转第2024次得到的菱形与第二次得到的菱形相同， 如图，旋转第二次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 点的坐标是． 故选：C． 【变式6-2】（23-24八年级下·河南郑州·开学考试）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征．根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和点重合，再判断第2024次属于循环中的第2次，最后即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如图所示： 由的坐标为可知：，， ， ，， 由旋转性质可知：， ，， ， 在与中： ， ， ，， 此时点对应坐标为， 当第二次旋转时，如图所示： 此时点对应点的坐标为． 当第3次旋转时，第3次的点对应点与点中心对称，故坐标为， 当第4次旋转时，第4次的点对应点与第1次旋转的点对应点中心对称，故坐标为， 当第5次旋转时，第5次的点对应点与第2次旋转的点对应点中心对称，故坐标为． 第6次旋转时，与点重合． 故前6次旋转，点对应点的坐标分别为：、、、、、． 由于， 故第2024次旋转时，点的对应点为． 故选：A． 【变式6-3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为（3，0），点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点的坐标为 . 【答案】（6058，1） 【分析】首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题． 【详解】解：第一次P1（5，2）， 第二次P2（8，1）， 第三次P3（10，1）， 第四次P4（13，2）， 第五次P5（17，2）， … 发现点P的位置4次一个循环， ∵2019÷4=504…3， P2019的纵坐标与P3相同为1，横坐标为12×504+10=6058， ∴P2019（6058，1）， 故答案为（6058，1）． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 【考点题型七】旋转综合题（） 【例7】（24-25八年级下·全国·期中）（1）如图1，在中，，，点D，E在边上，．若，求的长． 小明的解题思路：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可证，最后在中可求得的长，即的长． ①请你写出与全等的证明过程； ②求出的长． （2）某公园有一块三角形空地（如图3），其中，．为了美化环境，蓄洪防涝，公园管理人员拟在中间挖出一个三角形人工湖，D，E是边上的点，要求，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）的长为km 【分析】（1）①根据旋转的性质，三角形全等的判定解答即可； ②根据前面的证明，证明，利用勾股定理解答即可． （2）仿照（1）的思路，利用旋转思想，直角三角形的判定和性质，勾股定理，解方程解答即可． 【详解】解：（1）①证明：由旋转的性质，得 ∵， ∴， ∴， 即， ∴. 在和中， ∴. ②由（1）可知，， ∴. ∵，， ∴. 由旋转的性质，得， ∴. 在中，由勾股定理，得， ∴. （2）如图3，将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∴，. ∵，， ∴， 过点A作于点M， 则， ∴ ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 设. 在中，，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的长为km. 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键. 【变式7-1】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由即可证明； （2）证明（），勾股定理得到，在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可知，，， ∴， 即， ∴． （2）解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴在中，． 【变式7-2】（23-24八年级下·江西吉安·期中）（1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）联想：如图③，在四边形中，，若，，则的长为______． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）2 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）， 理由如下：连接， 由题意得： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， （2）， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）过点A作，使，连接， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式7-3】（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，完成下列各题． ①线段的长 ；②求的度数． （2）如图2，是等腰直角内一点，连接，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当满足什么条件时，？请给出证明． 【答案】（1）①4；②；（2）当时，，证明见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的性质与判定： （1）①根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，加上，则可判断为等边三角形，所以；②由为等边三角形得到，再利用旋转的性质得，然后根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形，，所以； （2）根据旋转的性质得，，， 则，进一步由勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵为等边三角形， ∴， ∵绕点B顺时针旋转后得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：4； ②由旋转的性质可得， 在中，，，， ∵，即， ∴为直角三角形，且， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）当时，，证明如下： ∵绕点顺时针旋转后得到， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴当满足时，． 【变式7-4】（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 【变式7-5】（22-23八年级下·辽宁本溪·期中）【探究】（1）如图1，在四边形中中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是　　　　　　．    【拓展】（2）如图2，已知是等腰直角三角形，．将三角板的角的顶点与点C重合，使这个角落在的内部，两边分别与斜边交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【实际应用】（3）如图2，在四边形中，，，若，则四边形的面积为__________． 【答案】（1）；（2）；理由见解析（3）12.5 【分析】（1）延长到点G，使，连接，先根据证明得，再证明可得，即可得出结论； （2）将绕点C逆时针旋转得，连接，可证，得，可证是直角三角形，即可得出结论； （3）过点A作垂足为M，作，交延长线于点N，先证，可得，再证，可得,由勾股定理可得长，再求四边形面积，即可求得结论． 【详解】（1）解：结论是：，理由如下： 延长到点G，使，连接， ， ， 在和中 ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 将绕点C逆时针旋转得，连接，   ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 在中，， ， ． （3）解：过点A作垂足为M，作，交延长线于点N，   ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 四边形面积=四边形面积=． 【点睛】本题考查的是三角形全等的综合题，主要涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形性质及判定、勾股定理等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式7-7】（22-23九年级上·湖北黄冈·阶段练习）在等腰中，，． (1)如图1，D，E是等腰斜边上两动点，且°，将绕点A逆时针旋转90°后，得到，连接． ①求证：； ②试判断、、三条线段之间的关系，并说明理由． (2)如图2，点D是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点A为直角顶点顺时针作等腰，当，时，直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；②；见解析 (2)或 【分析】（1）①根据旋转的性质即可进行解答；②根据旋转的性质可得，即可判定，可得，最后根据勾股定理即可得出结论； （2）分两种情况进行讨论即可，①当点D在线段上时，②当点D在的延长线上时． 【详解】（1）证明：①由旋转知，， ∴． ②解：； 理由：在中，， ∴， ∴，，，∠． ∴． 在中，， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：①当点D在线段上时，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． ②当点D在的延长线上时，连接，如图3所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，的值为 或 ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边和对应角相等． 【考点题型八】中心对称图形的识别（） 【例8】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能与本身重合的图形，这样的图形称为中心对称图形． 【详解】因为图A是中心对称图形，但不是轴对称图形，所以A符合题意； 因为图B不是中心对称图形，是轴对称图形，所以B不符合题意； 因为图C是中心对称图形，也是轴对称图形，所以C不符合题意； 因为图D不是中心对称图形，是轴对称图形，所以D不符合题意． 故选：A． 【变式8-1】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）观察下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 【变式8-2】（22-23八年级下·江苏扬州·期中）下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟记定义是解题关键． 根据轴对称图形的定义“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”、中心对称图形的定义“平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符题意； 故选：A 【变式8-3】（23-24八年级下·全国·期中）下列图例中，是中心对称图形的是（        ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义：在平面内把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：是轴对称图形；是中心对称图形； 故选： D． 【考点题型九】根据中心对称的性质求解（） 【例9】（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、中心对称图形的概念、勾股定理．根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理列式求出，根据中心对称图形的性质计算． 【详解】解：在中，， ， 由勾股定理得，，即， 解得，， 图形是一个中心对称图形，为对称中心， ， 故答案为：． 【变式9-1】（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，△ABC与△DBE关于点B成中心对称，若∠A=90°，∠ADC=30°，DE=2，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】由中心对称的性质推出，得到，，由锐角的正切求出AD的长，即可求出AB的长． 【详解】解：∵与关于点B成中心对称， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握中心对称的性质． 【变式9-2】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 【考点题型十】点坐标关于原点对称（） 【例10】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点的对称点的坐标．根据关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 故选：D． 【变式10-1】（23-24八年级下·福建三明·期中）平面直角坐标系中的点与点关于原点对称，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， ， 故选：B． 【变式10-2】（23-24八年级下·广东河源·期中）若点关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查的是关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称点的坐标的性质是解题的关键． 首先根据关于原点对称的点的坐标特点判断出A点在第三象限，再根据第三象限内的点的坐标符号可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点在第一象限， ∴点A在第三象限， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式10-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题的关键． 直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵坐标系中点，点关于原点中心对称， ∴，， 则． 故答案为：1． 【考点题型十一】作图-平移，旋转和中心对称综合（） 【例11】（23-24八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出将向下平移6 个单位长度得到的； (2)请在图中画出和关于原点成中心对称的； (3)如图，是绕着点 P 顺时针旋转得到的，请直接写出点 P 的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，旋转和中心对称： （1）根据所给平移方式得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （3）根据旋转中心为对应点连线的中垂线的交点进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 【变式11-1】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，已知点． (1)将向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)将绕点顺时针旋转，画出所得的； (3)请求出以点所组成三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了坐标系中的平移和旋转作图、利用网格求三角形的面积等知识，准确作图是关键． （1）利用平移方式得到对应点，顺次连接即可得到； （2）利用旋转方式得到对应点，顺次连接即可得到； （3）利用网格的特点进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，即为所求； （3）如图，顺次连接三个点得到， 由解图可知：． 【变式11-2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)将沿x轴方向向左平移3个单位后得到，画出．并写出顶点的坐标． (2)将绕顺时针旋转后得到，画出．并写出顶点的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到，，的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点即可． 【详解】（1）解：如图，为所作，点． （2）解：如图，为所作；． 【点睛】本题考查了作图平移和旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 【变式11-3】（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标； (2)将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)作图见解析，点坐标为 (2)作图见解析，坐标为 (3)10 【分析】本题主要考查了平移、旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （2）先作出点A、B、C旋转后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （3）采用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形，点坐标为； （2）解：如图，即为所求，坐标为； （3）如图， 四边形的面积为：， 即所求面积为10． 【变式11-4】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将绕原点O旋转得到，画出； (2)平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点P旋转可得到，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（2，－4） 【分析】本题考查了坐标的平移，中心对称，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键． （1）根据中心对称规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （3）根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点，借助中点坐标公式解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，其中心对称坐标分别为 画图如下： （2）解：根据题意，得，且平移，使点A的对应点的坐标为，得到平移规律是向右平移4个单位，向下平移8个单位，于是得到．画图如下： ． 则即为所求． （3）解：根据旋转作图，得，， 根据中点坐标公式，得， 同理可得，，它们的中点的坐标也为． ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$