精品解析：四川省职业学校职教高考联盟2024-2025学年高三下学期第四次全省模拟考试数学试题

2024—2025学年四川省职业学校职教商高考联盟 第四次全省模拟考试 数 学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1~2页，第Ⅱ卷3~4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（共60分） 注意事项： 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 2．第Ⅰ卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分． 一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与共线，则（    ） A. B. C. D. 5. 若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 7. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 函数是（ ） A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的奇函数 9. 已知函数的图像如图所示，则函数的图像为（ ） A. B. C. D. 10. 北京举办了举世瞩目的第届冬奥会，在冬奥会期间，某高校有中、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要，甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 11. 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 已知，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 9 13. 将函数的图像先向左平移个单位，再将所得图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，则（ ） A. B. 1 C. D. 14. 已知两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 第Ⅱ卷（共90分） 注意事项： 1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚． 2．第Ⅱ卷共2大题，11小题，共90分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 16. 在的二项展开式中，若各项系数和为，则___________． 17. 若向量满足，且，则向量与的夹角为___________． 18. 已知点是抛物线上的任意一点，则点到直线的最短距离为___________． 19. 在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为___________. 20. 已知函数若存在，使，则的取值范围是___________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 某市为了解中职学生参加公益劳动的情况，随机抽取了名中职学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）为进一步了解这名中职学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取3人．记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望． 22. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，设数列的前项和为，求． 23. 如图所示，已知为圆锥的三条母线，且． （1）证明：； （2）若圆锥侧面积为，为圆锥底面直径，且，求二面角的正切值． 24. 在中，角的对边分别为．已知． （1）求角； （2）若，判断的形状，并说明理由． 25. 已知函数． （1）若方程有两个正实数根分别为，且，求实数的值； （2）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围． 26. 已知点在抛物线上，点是抛物线上的动点，直线的斜率分别为，且，直线与抛物线在点处相切． （1）求直线的斜率； （2）设的外接圆圆心为，求证：直线与圆相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年四川省职业学校职教商高考联盟 第四次全省模拟考试 数 学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1~2页，第Ⅱ卷3~4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（共60分） 注意事项： 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 2．第Ⅰ卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分． 一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集的定义求解. 【详解】全集，集合，则. 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数诱导公式，进行求解即可. 【详解】. 故选：A. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及分式、根式函数的定义域求解. 【详解】函数的定义域为， 则函数的定义域为， 解得. 故选：A. 4. 已知向量与共线，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为共线， 所以，解得， 所以，， 所以. 故选：B. 5. 若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直的性质以及点斜式方程求解. 【详解】因为直线与斜率为4的直线垂直，所以直线的斜率为. 又因为直线过点，所以直线为， 整理得. 故选：A. 6. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值不等式求解即可解得. 【详解】由题，不等式， 则或， 解得或， 故不等式解集为或. 故选：C 7. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程即可求得其渐近线方程，从而得解. 【详解】对于双曲线， 令，得，即. 故选：B. 8. 函数是（ ） A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式和诱导公式进行化简，结合最小正周期公式和奇偶性的判定即可解得. 【详解】， 最小正周期，且为奇函数. 故选：D 9. 已知函数的图像如图所示，则函数的图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像分析判断即可解得. 【详解】由函数的图象保持轴上及右侧图像不变， 将右侧函数图像翻折到左侧，可得到的图像， 再将图像关于轴对称即可得到，即D选项. 故选：D. 10. 北京举办了举世瞩目的第届冬奥会，在冬奥会期间，某高校有中、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要，甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的计算，结合分步乘法计数原理即可解得. 【详解】由题，每一位志愿者只能去一个场馆， 每个场馆至少分配一位志愿者， 则共有种方法， 其中甲同学和乙同学去同一场馆的安排方法有种， 则甲同学和乙同学不能去同一场馆，所有不同的安排方法种数为种. 故选：A 11. 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的定义及充分条件和必要条件的判定即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得，解得 或 此时数列不一定是递增数列； 若数列为递增数列，则一定有，故必要性成立； 所以“是“数列是递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 12. 已知，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数的运算即可解得. 【详解】由题，， 则， 即， . 故选：D 13. 将函数的图像先向左平移个单位，再将所得图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的伸缩和平移变换规律得到的表达式即可求解. 【详解】函数的图像先向左平移个单位得到的图像， 再将所得图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的， 得到函数的图像， 所以. 故选：A. 14. 已知两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由直线与平面平行的性质以及点线面位置关系，依次分析选项，综合可得答案. 【详解】对于A，若，则或与异面，故A错误； 对于B，若，则或与相交，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则由线面平行性质定理可得，故D正确. 故选：D. 15. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到函数的周期，再根据周期求解. 【详解】已知，令，可得 ， 则，解得. 令，，解得. 在用代替，得到， 所以，所以函数偶函数. 在用代替,可得， 再用代替，则. 结合上述的两式可得， 化简可得.再用代替，则. 又因为，所以. 即函数的周期. 所以，. 即. 故选：B 第Ⅱ卷（共90分） 注意事项： 1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚． 2．第Ⅱ卷共2大题，11小题，共90分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 16. 在的二项展开式中，若各项系数和为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数和的性质即可解得. 【详解】由题，的二项展开式中各项式系数和为， 则令，可得， 解得. 故答案为： 17. 若向量满足，且，则向量与的夹角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的性质以及夹角的公式求解. 【详解】因为， 所以， 进而， 则， 因为，所以. 故答案为：. 18. 已知点是抛物线上的任意一点，则点到直线的最短距离为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式以及二次函数的最值求解. 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为. 所以当时，距离最短，最短距离为. 故答案为： 19. 在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将数列中的项按照由小到大的顺序排列，可知数列为等差数列，确定数列首项和公差，可求得，然后解不等式即可求解. 【详解】由题意可知，数能被，整除， 所以数列中的项按照从小到大的顺序排列依次为，，，，， 可知数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以， 由可得， 解得，所以，所以数列的项数为. 故答案为：. 20. 已知函数若存在，使，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，由题意及二次函数的对称性可知，结合指数函数的单调性再分类讨论即可求解. 【详解】作出函数的图像如图所示， 由题意，，且，则， 所以，所以， 当时，，此时； 当时，有，， ， 此时； 综上所述的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 某市为了解中职学生参加公益劳动的情况，随机抽取了名中职学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）为进一步了解这名中职学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取3人．记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图即可解得. （2）根据频率分布直方图结合分层抽样，写出分布列和期望即可解得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得： ， 解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知， 在内的学生有人， 在内的学生有人， 在内的学生有人， 又知用分层抽样抽取了人， 则在中抽取学生人， 现从这人中随机抽取3人，则的可能取值为， ，， ，， 其期望为. 22. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，设数列的前项和为，求． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，作差即可求解. （2）代入（1）的结果，利用错位相减法求和. 【小问1详解】 ∵ ① ∴② ①②得, 即， 当时，，此时， ∴数列是首项为公比为的等比数列，则. 【小问2详解】 ，， 23. 如图所示，已知为圆锥的三条母线，且． （1）证明：； （2）若圆锥侧面积为，为圆锥底面直径，且，求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面即可求解. （2）由已知条件求出母线长和底面半径，进而得到的长；取中点，连结连结，，可以证明即为二面角的平面角，再分别求出的长即可求解. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，， 因为，所以， 因为、均是圆锥的母线，所以， 所以， 又，、平面， 所以平面，又平面，所以. 【小问2详解】 设圆锥的母线长为，底面半径为，则，所以. 因为，所以； 因为为底面直径，为底面圆周上一点，又， 所以为等腰直角三角形，所以，且. 如图，取的中点，连结，，则，且， 因为，所以，所以 即为二面角的平面角. 因为，，为中点，所以. 因为为底面直径，为中点，所以底面，又底面， 所以，则， 即二面角的正切值为. 24. 在中，角的对边分别为．已知． （1）求角； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）. （2）直角三角形. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式求解. （2）根据正弦定理以及两角和、差的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 进而. 所以. 因为，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以. 进而. 因为，所以或. 当时， ，则. 当时，. 所以为直角三角形. 25. 已知函数． （1）若方程有两个正实数根分别为，且，求实数的值； （2）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）或. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理求解. （2）将关于的二次函数转变为的一次函数，再根据不等式求解. 【小问1详解】 方程有两个正实数根分别为，则， 因为，所以， 则， 化简得，解得或， 当时，，解得，满足题意， 当时，，解得，满足题意， 故或. 【小问2详解】 已知，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 整理可得，进一步变形为， 令，这是关于的一次函数， 要使在上恒成立，则， 由，解得或； 由，解得或， 取两者的交集，可得或. 26. 已知点在抛物线上，点是抛物线上的动点，直线的斜率分别为，且，直线与抛物线在点处相切． （1）求直线的斜率； （2）设的外接圆圆心为，求证：直线与圆相切． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知求出抛物线上的点，再由两点坐标求出斜率结合已知等量关系即可解得. （2）根据已知求出直线方程，再列出三角形各边中垂线方程求出圆心，根据圆心坐标求出斜率，结合直线与圆的位置关系即可解得. 【小问1详解】 由题，点在抛物线上， 则，解得，即， 点是抛物线上的动点，直线的斜率分别为， 则， ， 又知， 即，设直线的斜率为， 则. 【小问2详解】 证明：由题，直线与抛物线在点相切， 则对抛物线求导，将代入， 解得直线在点处的斜率为， 的外接圆圆心为的垂直平分线的交点， 线段中点分别为， 则线段中垂线方程为①， 线段中垂线方程为②， 联立①②消去，可得， 即，由（1）可知， 则，代入①可得：， 则外接圆圆心坐标为， 则直线斜率， 则，故直线直线，又为半径， 即直线与圆相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $