课时梯级训练(15) 离散型随机变量及其分布列（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(15)　离散型随机变量及其分布列 1．(2024·沧州高二阶段检测)下列变量中，不是随机变量的是(　　) A．一射击手射击一次命中的环数 B．标准状态下，水沸腾时的温度 C．抛掷两颗骰子，所得点数之和 D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 B　解析：因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以不是随机变量. 故选B. 2．随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋X有且只有一个零点的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：由题意知解得b＝. 因为f(x)＝x2＋2x＋X有且只有一个零点，所以Δ＝4－4X＝0，解得X＝1，所以P(X＝1)＝. 3．(2024·深圳高二期中)甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用X表示甲的得分，则{X＝3}表示(　　) A．甲赢三场 B．甲赢一场、输两场 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次 D　解析：由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，所以X＝3可以分成两种情况，即3＋0＋0或1＋1＋1，即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次．故选D. 4．(2024·滁州高二期中)若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当P(X<a)＝0.7时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) C　解析：由随机变量X的分布列知， P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.4，P(X<2)＝0.7， 则当P(X<a)＝0.7时，实数a的取值范围是(1，2]. 5．(2024·沧州一中高二检测)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为(　　) A．第一枚为5点，第二枚为1点 B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点 C．第一枚为6点，第二枚为1点 D．第一枚为4点，第二枚为1点 C　解析：抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，所以“X>4”即“X＝5”，表示试验的结果为第一枚为6点，第二枚为1点，故选C. 6．(2024·石家庄高二阶段模拟)一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大值为________． 答案：4　解析：由于不能打开的钥匙会扔掉，故扔掉4把打不开的钥匙后，第5把钥匙就是能开锁的钥匙，故X的最大值为4. 7．(2024·南昌高二期末)某高校在今年的自主招生考试中制定了如下规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成． (1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率； (2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为X，求X的分布列． 解：(1)考生从6道备选试题中一次性抽取3道题所包含的样本点总数为C＝20，考生甲能通过笔试进入面试所包含的样本点个数为C＋CC＝16， 所以考生甲能通过笔试进入面试的概率为＝. (2)随机变量X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 8．(2024·盐城高二期中)随机变量ξ的分布列如表所示，且m＋2n＝1.2，则n＝(　　) ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A.－0.2 B．0.4 C．0.2 D．0 B　解析：依题意m＋n＋0.1＋0.1＝1，又m＋2n＝1.2，解得n＝0.4，m＝0.4. 故选B. 9．(多选)(2024·肇庆高二期中)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的有(　　) A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 ABD　解析：因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A选项正确；由分布列知P(X≥2)＝0.4＋0.2＋0.1＝0.7，P(X≥3)＝0.2＋0.1＝0.3，P(X≤1)＝ 0.1＋0.2＝0.3，故BD选项正确，C选项错误. 故选ABD. 10．(2024·邯郸高二阶段检测)如图所示，A，B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2. 现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝______. 答案： 　解析：方法一(直接法)　由已知得，X的可能取值为7，8，9，10， ∵P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝， P(X＝9)＝＝， P(X＝10)＝＝， ∴X的概率分布列为 X 7 8 9 10 P ∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝＋＋＝. 方法二(间接法)　由已知得，X的可能取值为7，8，9，10， 故P(X≥8)与P(X＝7)是对立事件， 所以P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－＝. 11．(2024·临沂高二阶段检测)某企业有甲、乙两个研发小组，甲组研究新产品成功的概率为，乙组研究新产品成功的概率为，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求恰好有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利X万元的分布列． 解：(1)因为甲、乙两个研发小组研究新产品成功的概率分别为和，且相互独立， 所以恰好有一种新产品研发成功的概率 P＝×＋×＝. (2)根据题意，X的可能取值有－90，50，80，220. P(X＝－90)＝×＝， P(X＝80)＝×＝， P(X＝50)＝×＝， P(X＝220)＝×＝. 所以分布列为 X －90 80 50 220 P 12.(2024·德州高二月考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列． 解：(1)部件1，2都不需要调整的概率为(1－0.1)(1－0.2)＝0.72， 则部件1，2中至少有1个需要调整的概率为P＝1－0.72＝0.28. (2)由题意，X的可能取值为0，1，2，3，且部件1，2，3不需要调整的概率分别为1－0.1＝0.9，1－0.2＝0.8，1－0.2＝0.8，则 P(X＝0)＝0.9×0.8×0.8＝0.576， P(X＝1)＝0.1×0.8×0.8＋0.9×0.2×0.8＋0.9×0.8×0.2＝0.352， P(X＝2)＝0.1×0.2×0.8＋0.1×0.8×0.2＋0.9×0.2×0.2＝0.068， P(X＝3)＝0.1×0.2×0.2＝0.004， 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.576 0.352 0.068 0.004 13．(2024·珠海高二期中)某中学要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1.为了购买该品牌的粉笔，学校总务老师设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件Bi(i＝0, 1, 2). (1)求P(A|B0)，P(A|B1)，P(A|B2)； (2)随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列． 解：(1)由已知P(A|B0)＝1， P(A|B1)＝＝， P(A|B2)＝＝. (2)X可能的取值为0，1，2， 所以P(X＝0)＝0.7＋0.2×＋0.1×＝， P(X＝1)＝0.2×＋0.1×＝， P(X＝2)＝0.1×＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 学科网（北京）股份有限公司 $$