7.4.1 第1课时 二项分布（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

随机变量及其分布 7．4　二项分布与超几何分布 7．4.1　二项分布 第1课时　二项分布 第七章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 可能 重复 相互独立 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.通过具体实例，了解n重伯努利试验，掌握二项分布． 2．能利用二项分布概率模型解决简单的实际问题． 知识点一　n重伯努利试验 “三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率p1＝0.3，同时，有n个水平相同的人组成智囊团也在研究项目M，他们各自独立解决项目M的概率都是0.1. 1．现在李某单独研究项目M，且智囊团由2个人组成，也同时研究项目M，试比较李某和智囊团解决项目M的概率； 2．现在李某单独研究项目M，且智囊团由5个人组成，也同时研究项目M，试比较李某和智囊团解决项目M的概率； 3．智囊团至少有几人才能使他们解决项目M 的概率大于李某独自解决项目M的概率； 4．上述试验有什么特征？ n重伯努利试验 (1)伯努利试验：我们把只包含两个____结果的试验叫做伯努利试验． (2)n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地____进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (3) n重伯努利试验的特征： ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果________． “重复”意味着各次试验成功的概率相同． [例1] 判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． (1)因为硬币的质地不同，所以试验的条件不同，所以不是n重伯努利试验． (2)某人射击且击中的概率是稳定的且结果只有两种可能，因此是n重伯努利试验． (3)每次抽取试验的结果有三种可能，因此不是 n重伯努利试验． n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下重复进行； (2)每次试验相互独立，互不影响； (3)每次试验都只有两种结果(每种结果发生的概率稳定)，即事件发生或不发生. [练1] (多选)下列事件不是n重伯努利试验的是(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两名运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次 ABC A选项，C选项是互斥事件；B选项是相互独立事件；D选项是n重伯努利试验． 知识点二　二项分布 1．王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从怎样的分布？ 2．如果王明做5道单选题，每道题都随机选1个答案，那么他做对的题数服从怎样的分布？为什么？ 3．如果王明做5道单选题，其中2道题会做，其余3道题均随机选1个答案，那么他做对的题数服从怎样的分布？ 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝_____________，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作______________． Cpk(1－p)n－k X～B(n，p) [例2] 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答) (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1， 由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－()3＝. (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则 P(A2)＝C×()2＝， P(B2)＝C××(1－)＝， 由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝. [变式探究1] 题目条件不变，求两人各射击2次，甲、乙均击中目标1次的概率． 记“甲击中目标1次”为事件A3， “乙击中目标1次”为事件B3， 则P(A3)＝C××＝， P(B3)＝C××＝， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为 P(A3B3)＝×＝. [变式探究2] 题目条件不变，求两人各射击两次，甲未击中、乙击中2次的概率． 记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4， 则P(A4)＝C(1－)2＝， P(B4)＝C()2＝， 所以甲未击中，乙击中目标2次的概率为 P(A4B4)＝×＝. 利用二项分布求概率的三个步骤 (1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆． (3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算． [练2] (2024·重庆高二期中)若某射击手每次射击击中目标的概率为p(0<p<1)，每次射击的结果相互独立．在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的，则p的值为(　　) A． B． C． D． D 因为射击手每次射击击中目标的概率为p，且每次射击的结果相互独立， 所以由题可得Cp3(1－p)5＝Cp5(1－p)3，即(1－p)2＝p2，解得p＝或p＝(舍去)，故选D. 综合应用　二项分布的简单应用 [例3] (2024·唐山高二月考)某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列及数学期望． 由已知得，每位参加保险人员选择A社区的概率为， 4名人员选择A社区即4次独立重复试验， 即X～B(4，)，X的可能取值为0，1，2，3，4， 所以P(X＝0)＝C×()4＝， P(X＝1)＝C×()×()3＝， P(X＝2)＝C×()2×()2＝， P(X＝3)＝C×()3×()＝， P(X＝4)＝C×()4＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P E(X)＝4×＝. 二项分布问题的两个关注点 (1)对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一． (2)重复性，即试验是独立重复地进行了n次． [练3] (2024·北京延庆高二期中)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均命中的概率为. (1)求甲投球2次，命中1次的概率； (2)若乙投球3次，设命中的次数为X，求X的分布列． (1)设“甲投球一次命中”为事件A，则P(A)＝，P()＝， 故甲投球2次命中1次的概率为P＝P(A)P()＋P()·P(A)＝×＋×＝. (2) 设“乙投球一次命中”为事件B. 由题意得P(B)P(B)＝p·p＝， 解得p＝， 所以P(B)＝，P()＝. 由题意得X服从B(3，)，则P(X＝0)＝C·()0×()3＝，P(X＝1)＝C()1×()2＝，P(X＝2)＝C()2×()1＝，P(X＝ 3)＝C()3×()0＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1．知识清单 (1)n重伯努利试验的概念及特征． (2)二项分布的概念及表示． 2．方法归纳：数学建模、数据分析． 3．常见误区：二项分布的判断错误． ◎随堂演练 1．(2024·德州高二检测)某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次(各次测试互不影响)，那么其中恰有1次通过的概率是(　　) A． B． C． D． ∵某人通过普通话二级测试的概率是，他连续测试3次，∴其中恰有1次通过的概率是p＝C()·(1－)2＝.故选C. 2．(2024·济宁高二期中)某试验每次成功的概率为p(0＜p＜1)，现重复进行10次该试验，则恰好有3次试验未成功的概率为(　　) A．Cp3(1－p)7 B．Cp7(1－p)3 C．Cp4(1－p)6 D．Cp6(1－p)4 由题意可知，重复进行10次该试验，恰好有3次试验未成功，说明7次成功，3次未成功，所以所求概率为Cp7(1－p)3.故选B. 3．(2024·广州高二期末)已知随机变量X～B(4, )，则P(X≥1)的值为(　　) A． B． C． D． 因为随机变量X～B(4, )，则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C()0(1－)4＝. 故选A. 4．(2024·淮安高二阶段练习)甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局两胜制，则甲最终获胜的概率为______． 答案：0.648　 若比赛2局，则甲最终获胜的概率为0.6×0.6＝0.36， 若比赛3局，甲最终获胜，则前两局甲赢一局，输一局，第三局获胜，故概率为C0.6×0.4×0.6＝0.288， 故若采用三局两胜制，则甲最终获胜的概率为0.36＋0.288＝0.648. $$