精品解析：湖北省武汉市杨春湖实验学校2024-2025学年下学期3月八年级数学月考试卷

杨春湖实验学校2024-2025下学期三月质量检测 八年级数学试卷 全卷满分：120分 一、选择题（共10小题） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A选项，，故该选项不符合题意； B选项，符合最简二次根式的定义，故该选项符合题意； C选项，，故该选项不符合题意； D选项， ，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的除法，二次根式的化简，熟练掌握相应的运算规则是解题的关键．根据同类二次根式的概念、合并同类二次根式的法则、二次根式的混合运算顺序和法则及分母有理化逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B、，此选项计算错误； C、，此选项计算错误； D、，此选项计算正确； 故选：D． 4. 如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ） A. 2km B. 4km C. 10 km D. 14 km 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： 则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键． 5. 下列说法中不能推出是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A、C可借助勾股定理的逆定理判断；B、D可分别求出各个角的度数，根据有一个角是90°的三角形是直角三角形进行判断． 【详解】解：A．由可得，故能推出△ABC是直角三角形，不符合题意； B． ∵， 设则 ∵,即， 解得，故则， 能推出△ABC是直角三角形，不符合题意； C．∵， ∴， ∴，，即， 不能推出△ABC是直角三角形，符合题意； D．∵， ∴，即， 能推出△ABC是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理即可判断三角形是否为直角三角形；若已知角，则只要有一个角等于90°即可判断三角形是直角三角形． 6. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A 两条直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的对应边相等 C. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念．分别写出各个命题的逆命题，关键平行线的性质、全等三角形的判定定理、平方的性质、角平分线的性质判断即可． 【详解】解：A、两条直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两条直线平行，成立，本选项不符合题意； B、全等三角形的对应边相等逆命题是对应边相等的两个三角形全等，成立，本选项不符合题意； C、如果两个实数相等，那么它们的平方相等逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是不成立，本选项符合题意； D、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上逆命题是角平分线上的点到角的两边的距离相等，成立，本选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则（ ） A. 128 B. 72 C. 64 D. 59 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．连接，利用勾股定理可得，即，从而可得答案． 【详解】解：由题意可知：，，，， 连接， 在直角和中， ， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝ ＝ ＝4， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 10. 如图，四边形中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把绕点逆时针旋转得到，连接，作于，则，易得△ACE为等腰直角三角形，，结合旋转的性质求得，，，在中，，然后利用含角的直角三角形性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，把绕点逆时针旋转度，得到，连接，过点作延长线于点， 根据旋转可知：，，，， ∴， ∴， 根据四边形的内角和， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，， 在中，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查图形的旋转，四边形的内角和，直角三角形的性质和勾股定理．解题的关键是把绕点逆时针旋转得到，证明出． 二、填空题（共6小题） 11. 计算：________，________，________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，分母有理化，根据二次根式的性质、分母有理化的方法计算即可得出答案，掌握二次根式的性质，分母有理化的运算方法是解题的关键． 【详解】解：，，， 故答案为：． 12. 在实数范围内分解因式 = _________ 【答案】（x+）（x－） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解∶ =（x+）（x－） 故答案为∶ （x+）（x－）． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握是解题的关键． 13. 如图，在数轴上点A，B所表示的数分别是，1，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得，再由即可确定点D所表示的数． 【详解】解：如图：， ∴， ∴点D所表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理、实数与数轴的关系等知识点，正确运用勾股定理求出的长以及理解数轴上的点与实数的对应关系是解答本题的关键． 14. 长方体的长宽高分别是3、4、2，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从点爬到点，最短路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．蚂蚁从到有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可． 【详解】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是7和2， 则所走的最短线段； 第二种情况：如图2，把我们看到左面与底面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是5和4， 所以走的最短线段； 第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是3和6， 所以走的最短线段； ∵ ∴三种情况比较而言，第二种情况最短． 故答案为： 15. 已知a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，h为斜边上的高，有下列说法∶①能组成三角形；②能组成三角形；③能组成直角三角形；④能组成直角三角形；其中正确结论的序号是_________ 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可． 【详解】解：∵a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边， ∴， ∵h为斜边上的高， ∴，即， ①，即不能组成三角形，故①错误； ②因为，则不能组成三角形，故②错误； ③因为，则能组成直角三角形，故③正确； ④因，则能组成直角三角形，故④正确； 故答案为：③④． 16. 如图，在中，，，，分别是上的动点，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点作且使，连接，，证明，得进而可得，再由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点作且使，连接，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可得： ，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为， ∵，， ∴中，， ∴最小值为：， 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2）6 【解析】 【分析】（1）分别化简各项，再作加减法； （2）利用平方差公式展开，再计算． 【详解】解：（1） = =0； （2） = = =6 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，尤其注意平方差公式的运用． 18. 先化简，再求值∶，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算．先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 19. 如图，一根竹子高10尺，折断后竹子的顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少尺？ 【答案】折断处离地面的高度是尺． 【解析】 【分析】设折断处离地面的高度是尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解． 【详解】解：如图所示， 设杆子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：． 故折断处离地面的高度是尺． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用． 20. 把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． （1）求证：长方形各内角均为； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 21. 设正方形网格的每个小正方形的边长为1． （1）请在图1的正方形网格中画出长度为的线段： （2）请在图2中画出格点，使． （3）在第（2）的条件下，请直接写出点到的距离是________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了网格作图、勾股定理： （1）根据勾股定理作出图形即可求解； （2）根据勾股定理作出图形即可求解； （3）设点到的距离为，利用分割法及等面积法列出等式即可求解； 熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：由勾股定理得： 图中线段的长度为：， 如图所示，即为所求（答案不唯一）． 【小问2详解】 如图所示，即为所求（答案不唯一）． 【小问3详解】 设点到的距离为， 依题意得：， 解得：， 点到的距离是 故答案为：． 22. （1）【思想应用】已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析．小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示________，用含的代数式表________； ②据此写出的最小值________； （2）【类比应用】根据上述的方法，求出代数式的最小值； （3）【拓展应用】已知，，为正数，且，试运用构图法，直接写出的最小值________． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）①根据图形，运用勾股定理即可求解；②根据勾股定理，最短路径的运用即可求解； （2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解； （3）构造边长为1的正方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①根据题意，都是直角三角形，， ∴在中，，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； ②如图所示，过点所交延长线于点， ∴， 当点三点共线时，有最小值， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2），， 如图所示，，，，，设，则， ∴，， 当三点共线时，的值最小， ∴根据（1）中的证明可得，，， ∴在直角中，， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）∵，如图所示，作边长为1正方形，在边上截取长为的线段， ∴，，， 则， 当点四点共线时，线段最短， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 23. 已知是等腰直角三角形，， （1）如图1，是等腰直角三角形，点D在的延长线上，，连接，求证：； （2）如图2，点F是斜边上动点，点G是延长线上动点，总有，探究的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点H是一点，连接FH，若，，，直接写出的面积为____________（用m，n表示）． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由 （3） 【解析】 【分析】（1）设交于O，证明，得到，再由，可得，即可证明； （2）如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，先求出，由旋转的性质得，即可推出，再证明，得到，由勾股定理得到，即可得到； （3）如图所示，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则，进而证明三点共线，同理可证，由勾股定理得：，则， 求出，过点H作于Q，于P，利用角平分线的性质，即可推出，进而得到，则． 【小问1详解】 证明：设交于O， ∵都是等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，将绕点C顺时针旋转得到，连接， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴三点共线， 同理可证， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 过点H作于Q，于P， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图1，平行四边形的顶点、在轴上，点在轴，，，．若实数、、满足． （1）求点，，，的坐标． （2）如图2，连接，将绕点顺时针旋转，旋转得，轴正半轴上是否存在一点，能使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，，为内一点，连接、、，直接写出的最小值为________． 【答案】（1） （2）存在，，理由见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式，偶次方，绝对值的非负性，平行四边形的性质即可求解； （2）根据平行四边形的性质，勾股定理即可求解； （3）如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长到，使得，延长到，使得，连接，根据中位线可得，根据等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质可得，由此可得，在中根据三角形三边关系即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：存在，点，理由如下， 如图所示， 在中，， ∴， ∵点在的正半轴上， ∴当轴时，四边形是平行四边形，设与交于点， ∴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，，， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长到，使得，延长到，使得，连接， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，即， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点在线段上时，的值最小， ∵， ∴，且，，， ∵， ∴， ∴，即点三点共线， 在中，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理的运用，等边三角形的判定和性质，三角形的中位线，含角的直角三角形的性质，旋转的性质等知识的综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杨春湖实验学校2024-2025下学期三月质量检测 八年级数学试卷 全卷满分：120分 一、选择题（共10小题） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ） A. 2km B. 4km C. 10 km D. 14 km 5. 下列说法中不能推出是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两条直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的对应边相等 C. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 7. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则（ ） A. 128 B. 72 C. 64 D. 59 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 10. 如图，四边形中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 11. 计算：________，________，________． 12. 在实数范围内分解因式 = _________ 13. 如图，在数轴上点A，B所表示数分别是，1，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是________． 14. 长方体的长宽高分别是3、4、2，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从点爬到点，最短路径长为________． 15. 已知a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，h为斜边上的高，有下列说法∶①能组成三角形；②能组成三角形；③能组成直角三角形；④能组成直角三角形；其中正确结论的序号是_________ 16. 如图，在中，，，，分别是上动点，且，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共8小题） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值∶，其中． 19. 如图，一根竹子高10尺，折断后竹子的顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少尺？ 20. 把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． （1）求证：长方形各内角均为； （2）若，，求的长． 21. 设正方形网格的每个小正方形的边长为1． （1）请在图1的正方形网格中画出长度为的线段： （2）请在图2中画出格点，使． （3）在第（2）的条件下，请直接写出点到的距离是________． 22. （1）【思想应用】已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析．小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示________，用含的代数式表________； ②据此写出最小值________； （2）【类比应用】根据上述的方法，求出代数式的最小值； （3）【拓展应用】已知，，为正数，且，试运用构图法，直接写出最小值________． 23. 已知是等腰直角三角形，， （1）如图1，是等腰直角三角形，点D在的延长线上，，连接，求证：； （2）如图2，点F是斜边上动点，点G是延长线上动点，总有，探究的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点H是一点，连接FH，若，，，直接写出的面积为____________（用m，n表示）． 24. 如图1，平行四边形的顶点、在轴上，点在轴，，，．若实数、、满足． （1）求点，，，坐标． （2）如图2，连接，将绕点顺时针旋转，旋转得，轴正半轴上是否存在一点，能使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，，为内一点，连接、、，直接写出的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$