7.3.1 复数的三角表示式（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

7.3*　复数的三角表示 7．3.1　复数的三角表示式 学习目标 通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． 　　　　　　　　　　　　　　　知识点　复数的三角表示式 1．复数的三角表示式 一般地，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cos_θ＋isin_θ)的形式．其中r是复数的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． (1)r≥0. (2)cos θ与isin θ之间用“＋”号连接． (3)余弦在前，正弦在后． 2．辐角主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg_z，即0≤arg z<2π. 复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． 辐角θ是指以x轴非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在的射线(起点为O)为终边的角，显然辐角有无数个．而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因此一个复数的辐角主值只有一个，且θ＝2kπ＋arg z，k∈Z. 3．三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模和辐角的主值分别相等． 角度1　复数三角表示式的特点 [例1] 下列复数是不是三角形式？若不是，把它们转化为三角形式． (1)z1＝cos 60°＋isin 30°； (2)z2＝2(cos －isin )； (3)z3＝－sin θ＋icos θ. 解：(1)由“角相同”知，不是三角形式． z1＝cos 60°＋isin 30°＝＋i， 模r＝＝，cos θ＝， 与z1对应的点在第一象限，所以取θ＝. 即z1＝cos 60°＋isin 30°＝(cos ＋isin ). (2)由“加号连”知，不是三角形式． 复平面上的点Z2(2cos ，－2sin )在第四象限， 不需要改变三角函数名称， 可用诱导公式“2π－”或“－”变换到第四象限． 所以z2＝2(cos －isin )＝2[cos (－)＋isin (－)] 或z2＝2(cos －isin )＝2[cos (2π－)＋isin (2π－)]＝2(cos ＋isin )， 考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一． (3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限． 所以z3＝－sin θ＋icos θ＝cos (＋θ)＋isin (＋θ). 复数三角形式的判断依据和变形步骤 (1)判断依据：三角形式的结构特征，模非负，角相同，余弦前，加号连． (2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在的象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． [练1] 下列复数是不是三角形式？若不是，把它们转化为三角形式． (1)z1＝2(cos ＋isin )； (2)z2＝(cos －isin )； (3)z3＝－2(cos θ＋isin θ). 解：(1)z1＝2(cos ＋isin )符合三角形式的结构特征，是三角形式． (2)由“加号连”知，不是三角形式． ∵z2＝(cos －isin )＝－－i， ∴模r＝，cos θ＝－. 复数z2对应的点在第三象限，取θ＝， 即z2＝(cos －isin )＝(cos ＋isin ). (3)由“模非负”知，不是三角形式． 复平面上的点Z3(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限． 所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos (π＋θ)＋isin (π＋θ)]. 角度2　复数的代数形式化为三角形式 [例2] 画出下列复数对应的向量，指出它们的模和辐角的主值，并把这些复数转化为三角形式： (1)3i；(2)－10；(3)2－2i；(4)－1＋i. 解：(1)复数3i对应的向量如图1所示，则模r＝3，对应的点在y轴的正半轴上， 所以arg(3i)＝. 所以3i＝3(cos ＋isin ). (2)复数－10对应的向量如图2所示， 则模r＝10，对应的点在x轴的负半轴上，所以arg(－10)＝π. 所以－10＝10(cos π＋isin π). (3)复数2－2i对应的向量如图3所示， 则模r＝＝2，对应的点在第四象限，cos θ＝，所以arg(2－2i)＝. 所以2－2i＝2(cos ＋isin ) 或2－2i＝2[cos (－)＋isin (－)]. (4)复数－1＋i对应的向量如图4所示， 则模r＝＝2，对应的点在第二象限，cos θ＝－， 所以arg(－1＋i)＝. 所以－1＋i＝2(cos ＋isin ). 复数的代数形式化成三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)确定辐角的终边所在的象限． (3)根据象限求出辐角(常取它的主值). (4)写出复数的三角形式． [练2] 把下列复数转化为三角形式： (1)1；(2)－2i；(3)－i； (4)－2(sin ＋icos ). 解：(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)＝0， 所以1＝cos 0＋isin 0. (2)r＝2，对应的点在y轴的负半轴上， 所以arg(－2i)＝， 所以－2i＝2(cos ＋isin ). (3)r＝2，对应的点在第四象限，且cos θ＝， 所以取θ＝－， 所以－i＝2[cos (－)＋isin (－)]. (4)－2(sin ＋icos )＝－＋i，r＝2，对应的点在第二象限，且cos θ＝－，所以θ＝， 所以－2(sin ＋icos )＝2(cos ＋isin ). 角度3　复数的三角形式化为代数形式 [例3] 分别指出下列复数的模和一个辐角，并把这些复数转化为代数形式： (1)10(cos ＋isin )； (2)14(cos ＋isin )； (3)2(cos 45°－isin 45°). 解：(1)模r＝10，一个辐角θ＝， 所以10(cos ＋isin )＝10cos ＋(10sin )i＝10×＋10×i＝5＋5i. (2)模r＝14，一个辐角θ＝， 所以14(cos ＋isin )＝14cos ＋(14sin )i＝14×(－)＋14×i＝－7＋7i. (3)模r＝2，2(cos 45°－isin 45°)＝2[cos (－45°)＋isin (－45°)]，所以一个辐角θ＝－45°， 2(cos 45°－isin 45°)＝2cos 45°－2isin 45° ＝2×－2×i＝－i. 将复数的三角形式化为代数形式的思路 将复数的三角形式转化为代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．,\s\do4(　,)) [练3] 把下列复数化为代数形式： (1)z1＝3(cos ＋isin )； (2)z2＝2[cos (－)＋isin (－)]； (3)z3＝5(cos 135°＋isin 135°). 解：(1)z1＝3(cos ＋isin )＝3×＋3×i＝＋i. (2)z2＝2[cos (－)＋isin (－)]＝2×0＋2×(－1)i＝－2i. (3)z3＝5(cos 135°＋isin 135°)＝5×(－)＋5×i＝－＋i. 1．知识清单 (1)复数的三角形式． (2)辐角主值． (3)三角形式与代数形式互化． 2．方法归纳：转化与化归思想，数形结合思想． 3．常见误区：对复数三角形式概念理解不到位，弄错辐角主值． ◎随堂演练 1．若a<0，则a的三角形式为(　　) A．a(cos 0＋isin 0) B．a(cos π＋isin π) C．－a(cos π＋isin π) D．－a(cos π－isin π) C　解析：因为a<0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a(cos π＋isin π). 2．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝________． 答案：1＋i　解析：由题意知，z＝2(cos ＋isin )＝1＋i. 3．复数cos ＋isin 的辐角主值是________． 答案：　解析：原式＝cos (2π＋)＋isin (2π＋)＝cos ＋isin ，故其辐角主值为. 4．复数10(cos ＋isin )化为代数形式为____________. 答案：－5－5i　解析：10(cos ＋isin )＝10(－－i)＝－5－5i. 5．把下列复数表示成代数形式： (1)4(cos ＋isin )； (2)2(cos ＋isin ). 解：(1)4(cos ＋isin )＝4(－i)＝2－2i. (2)2(cos ＋isin )＝2(－i)＝－i. [课时梯级训练(20)见P189] 学科网（北京）股份有限公司 $$