6.4.1 平面几何中的向量方法&6.4.2 向量在物理中的应用举例

6.4　平面向量的应用 6．4.1　平面几何中的向量方法 6．4.2　向量在物理中的应用举例 学习目标 1.能用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题及其他实际问题． 2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． 知识点一　平面几何中的向量方法 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在平面几何中的应用 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A＝(xA，yA)，B＝(xB，yB). (1)证明线段平行或点共线，常用共线向量定理： a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0． (3)求解夹角问题，用夹角公式： cos θ＝＝(θ为a与b的夹角). (4)计算线段长度，常用模长公式： ||＝. [例1] 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：方法一　设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a， 所以·＝(b＋a)·(－a＋b)＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 方法二　如图，建立平面直角坐标系． 设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明． (2)坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明． [练1] (2024·聊城高一联考)正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos ∠DOE＝________． 答案：　解析：以O为原点，以OA，OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示． 由题意知，＝(1，)，＝(，1)，故cos ∠DOE＝＝＝. [例2] 试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和． 证明：如图， 在▱OACB中，设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝a－b. 所以2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2， 2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2， 所以OC2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2. 因为OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|， 所以OC2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2. 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解策略： (1)利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解； (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式|a|＝求解． [练2] 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b. 而||＝|a－b|＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝. 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2×＝6， ∴||＝，即AC＝. 知识点二　向量在物理中的应用举例 向量在物理中的应用 　(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2)向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积． [例3] 在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． 解：设ω表示风速，va表示有风时飞机的航行速度，vb表示无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示． 设||＝|va|，||＝|ω|，||＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°. 设||＝150，则||＝75(－). ∴||＝||＝||＝75，||＝75. 从而||＝150，∠CAD＝30°.∴|vb|＝150， 即没有风时飞机的航速为150 km/h，航向为北偏西60°. 利用向量法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题． (2)建立以向量为主体的数学模型． (3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型． (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题． [练3] 在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 解：如图， 设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江时的速度． ∵＋＝，∴四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，∴∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. [练4] 已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，求F1，F2分别对质点所做的功．(力的单位：N.位移单位：m) 解：设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s. ∵＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)， ∴W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J). 即力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J，－3 J． 1．知识清单 (1)平面向量在几何证明中的应用． (2)平面几何中的长度问题． (3)向量在物理中的应用举例． 2．方法归纳：转化法、数形结合法． 3．常见误区 (1)不能将几何问题转化为向量问题． (2)不能将物理问题转化为向量问题． ◎随堂演练 1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　) A．2 B． C．3 D． B　解析：因为BC的中点为D(，6)，所以＝(－，5)，所以||＝. 2．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC是(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 C　解析：(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形． 3．已知|F|＝10，在力F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　) A．7 B．10 C．14 D．70 D　解析：F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70. 4．一条河宽40 km，一船从A处出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________h． 答案：2.5　解析：∵合速度大小|v合|＝＝16(km/h)， ∴船到达B处所需的时间为＝2.5(h). [课时梯级训练(11)见P169] 学科网（北京）股份有限公司 $$