课时梯级训练(42) 总体百分位数的估计（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(42)　总体百分位数的估计 1．对高一(6)班的第一学期数学成绩进行抽样调查得到样本数据：10，21，23，24，27，37，41，47，52，57，据此估计该班数学成绩的第75百分位数为(　　) A．47 B．42 C．24 D．35.5 A　解析：由题意，样本容量n＝10，则令i＝n×75%＝7.5，所以第75百分位数为第8个数据． 2．数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是(　　) A．[4.5，＋∞) B．[4.5，6.6) C．(4.5，＋∞) D．(4.5，6.6] A　解析：因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A. 3．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，则这组数据的75%分位数是(　　) A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 C　解析：数据3，4，5，5，6，7，7，8，9，10共10个，且10×75%＝7.5，所以75%分位数是第8个数，为8.故选C. 4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是(　　) A．32.5 mm B．33 mm C．33.5 mm D．34 mm A　解析：棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在35 mm以下的比例为85%＋10%＝95%，因此，90%分位数一定位于[30，35]内，由30＋5×＝32.5，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是32.5 mm. 5．下列数据是30个不同国家中每10 000名患某种疾病的男性的死亡人数： 1．5　3.2　5.2　5.6　5.6　7.1　8.7　9.2　10.0 11．2　13.2　13.7　13.8　14.5　15.2　15.7 16．5　18.8　19.2　23.9　27　27　28.9　28.9 33．1　33.8　34.8　40.6　41.6　50.1 这组数据的第70百分位数是________． 答案：27　解析：按从小到大排列此30个数据，30×70%＝21，则这组数据的第70百分位数是＝27. 6．高一级共840名同学参加了数学单元测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是85分，至少有________名学生的成绩大于或等于85分． 答案：168　解析：将840名学生的成绩按照由小到大的顺序排列，85分为第80百分位数，则至少有80%的人的成绩小于或等于85分．因此成绩大于或等于85分的学生至少占20%，人数为840×20%＝168.所以至少有168名学生的成绩大于或等于85分． 7．如图是某市2023年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，求这7天的日最高气温的第10百分位数和日最低气温的第80百分位数． 解：由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24，24.5，24.5，25，26，26，27， 因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据，为24 ℃. 把日最低气温按照从小到大排序，得12，12，13，14，15，16，17， 因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据，为16 ℃. 8．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在11月11日的网购金额，所得数据如下表： 网购金额(单位：千元) 人数 频率 [0，1) 16 0.08 [1，2) 24 0.12 [2，3) x p [3，4) y q [4，5) 16 0.08 [5，6] 14 0.07 合计 200 1.00 已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2. (1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)； (2)估计网购金额的25%分位数． 解：(1)根据题意有： 解得所以p＝0.40，q＝0.25. 补全频率分布直方图如图所示： (2)由(1)可知，网购金额不高于2千元的频率为 0．08＋0.12＝0.2， 网购金额不高于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6， 所以网购金额的25%分位数在[2，3)内， 则估计网购金额的25%分位数为 2＋×1＝2.125(千元). 9．(多选)某校高一(4)班第二次测试数学成绩累积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.没有人的成绩在30～40分这组内 B．第50百分位数位于60～70分这组内 C．第25百分位数位于40～50分这组内 D．第75百分位数位于70～80分这组内 ABC　解析：由题图知没有人的成绩在30～40分这组内；由40×25%＝10，取第10，11项数据的平均数，所以第25百分位数位于40～50分这组内；由40×50%＝20，取第20，21项数据的平均数，所以第50百分位数位于60～70分这组内；由40×75%＝30，取第30，31项数据的平均数，所以第75百分位数位于60～70分这组内． 10．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班、二班各10名同学的体温记录(从低到高)： 高三一班：36.1，36.2，m，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0(单位：℃)， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n，37.1(单位：℃) 若这两组数据的第25百分位数，第90百分位数都分别对应相等，则n－m为(　　) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 C　解析：由10×0.25＝2.5，可得第25百分位数分别为m和36.3，则m＝36.3； 由10×0.9＝9，可得第90百分位数分别为＝36.9和， 则＝36.9，解得n＝36.7，故n－m＝36.7－36.3＝0.4. 11．小明班上有15名女生，其身高(单位： cm)的第一四分位数为155，后来转走了一位身高为165 cm的女生，则班上女生身高的第一四分位数________．(填“变大”“变小”或“不变”) 答案：不变　解析：当班上有15人时，由15×25%＝3.75，知身高的第一四分位数为数据从小到大排列的第4项数据．当转走1人，剩下14人时，由14×25%＝3.5，知身高的第一四分位数为数据从小到大排列的第4项数据．所以班上女生身高的第一四分位数不变． 12．已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是__________． 答案：8.6　解析：将这30个数据从小到大排列后依次编号为a1，a2，…，a30，由30×60%＝18，所以30个数据的第60百分位数为＝8.2.又a18＝7.8，所以a19＝8.2×2－7.8＝8.6. 13．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为________秒． 答案：16.5　解析：设成绩的70%分位数的估计值为x.因为＝0.55，＝0.85，所以x∈[16，17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5. 14．某果园新采摘了一批雪梨，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克).将质量按照[120，140)，[140，160)，[160，180)，[180，200]进行分组，得到频率分布直方图，如图所示． (1)计算频率分布直方图中a的值，并估计这批雪梨的质量的第70百分位数； (2)该果园准备将这批雪梨分拣成两类销售给一家超市，每分拣1 000个雪梨，果园需要支付4元分拣费，质量不小于180克的雪梨的销售价格为3元/千克，质量小于180克的雪梨的销售价格为2元/千克．根据样本估计总体，估算果园销售10 000个雪梨的收入． 解：(1)由题意，得(0.016＋a＋0.01＋0.009)×20＝1，解得a＝0.015. 因为x<160的频率为(0.01＋0.015)×20＝0.5<0.7， x<180的频率为(0.01＋0.015＋0.016)×20＝0.82>0.7， 所以第70百分位数位于[160，180)之间． 设50个雪梨质量的第70百分位数的估计值为x， 则0.5＋(x－160)×0.016＝0.7，解得x＝172.5， 故估计这批雪梨的质量的第70百分位数为172.5克. (2)质量小于180克的雪梨的总质量约为(10 000×0.2×130＋10 000×0.3×150＋10 000×0.32×170)×＝1 254(千克)， 质量不小于180克的雪梨的总质量约为10 000×0.18×190×＝342(千克)， 估计销售收入为1 254×2＋342×3－40＝3 494(元). 15．某景点某天接待了1 250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人．为了提升服务质量，景点工作人员采用分层随机抽样的方法，从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，制成如下频率分布直方图： (1)求抽取的样本中，老年、中青年、少年的人数； (2)求频率分布直方图中a的值； (3)估计当天游客满意度分值的75%分位数． 解：(1)老年、中青年、少年的人数比为625∶500∶125＝5∶4∶1， 故抽取100人，样本中老年人数为100×＝50，中青年人数为100×＝40，少年人数为100×＝10. (2)由题意，可得(0.010＋0.025＋0.035＋a＋0.010)×10＝1，解得a＝0.020. (3)设当天游客满意度分值的75%分位数的估计值为x， 因为(0.010＋0.025＋0.035)×10＝0.7<0.75，(0.010＋0.025＋0.035＋0.020)×10＝0.9>0.75， 所以x位于区间[80，90)内， 所以(x－80)×0.020＝0.75－0.7，解得x＝82.5. 所以估计当天游客满意度分值的75%分位数为82.5. 学科网（北京）股份有限公司 $$