8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

立体几何初步 8．3　简单几何体的表面积与体积 8．3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 第八章 返回导航 数学 必修 第二册 A 学习目标 1．知道棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式． 2．能利用计算公式求几何体的表面积与体积，能用公式解决简单的实际问题． 返回导航 数学 必修 第二册 A 知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 观察棱柱、棱锥、棱台(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)的表面展开图，各几何体的表面积与展开图中的各部分平面图形的面积有何关系？ 返回导航 数学 必修 第二册 A 各个面 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A B 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 　 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A D 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 A 棱柱、棱锥、棱台的表面积 　多面体的表面积就是围成多面体_________的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积． [例1] (1)已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S­ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积． (2)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积． (1)因为四棱锥S­ABCD的各棱长均为5， 所以各侧面都是全等的正三角形． 设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SE⊥AB， 所以S侧＝4S△SAB＝4××AB×SE＝2×5×＝25， S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1). (2)如图，在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，过点B1作B1F⊥BC，垂足为F. 在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，故B1F＝＝2，所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12，故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48， 所以四棱台的表面积S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48. 求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤 (1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积． (2)求出底面的面积． (3)求和得到表面积． 注意：组合体的表面积应注意重合部分的处理． [练1]《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台体即今天的正四棱台．如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为(　　) A．64 B．48 C．12 D．4 设上底面为四边形ABCD，下底面为A′B′C′D′，取BC的中点E，B′C′的中点F，连接EF， 设上底面的中心为O，下底面的中心为O′，连接OO′，OE，O′F， 过点E作EH⊥O′F于点H，如图所示， 因为EF⊥B′C′，HF⊥B′C′， 所以∠EFH即为侧面与下底面夹角的平面角， 即tan ∠EFH＝. 又因为HF＝O′F－O′H＝O′F－OE＝4－2＝2， 所以tan ∠EFH＝＝，所以EH＝2， 所以EF＝＝＝2， 所以方亭的侧面积为4××(4＋8)×2＝48.故选B. (1)棱柱的底面面积为S，高为h，则V棱柱＝Sh. (2)棱锥的底面面积为S，高为h，则V棱锥＝Sh. (3)棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V棱台＝h(S′＋＋S). (1)棱锥的高是顶点到底面的距离，棱台的高是上、下底面的距离，要注意与侧面的高相区分． (2)在求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点． (3)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系 V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh. (4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积．根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积． [例2] (1)如图，某几何体的下半部分为正方体ABCD­A′B′C′D′，上半部分为正四棱锥S­ABCD.若几何体的高为5，棱AB＝2，求该几何体的体积． (2)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料 密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，求 制作该模型所需原料的质量． (1)由题意知V正方体＝23＝8， V四棱锥S­ABCD＝×22×(5－2)＝4， 所以该几何体的体积V＝V正方体＋V四棱锥S­ABCD＝12. (2)由条件知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3).又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g). 求几何体体积的常用方法 [练2] 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD­A1C1D1，且这个几何体的体积为10，则AA1＝________． 答案：3 由题意知V ABCD­A1C1D1＝VABCD­A1B1C1D1－VB­A1B1C1＝2×2×AA1－××2×2×AA1＝AA1＝10，所以AA1＝3. [练3] 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，截下一个棱锥C­A1DD1，求棱锥C­A1DD1的体积与剩余部分的体积之比． 设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h， 而三棱锥C­A1DD1的底面积为S，高为h， 故三棱锥C­A1DD1的体积为 ＝×S×h＝Sh， 余下部分体积为Sh－Sh＝Sh. 所以棱锥C­A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. 1．知识清单 (1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． (2)棱柱、棱锥、棱台的体积． 2．方法归纳：公式法、等积法、割补法． 3．常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚． ◎随堂演练 1．若侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 因为侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，所以S表＝a2＋3××(a)2＝a2. 2．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城(如图，等腰梯形的直棱柱体)，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈(1丈＝10尺)”，则该问题中“城”的体积等于(　　) A．3×105立方尺 B．6×105立方尺 C．6×106立方尺 D．3×106立方尺 依题意，该柱体的体积为×2 000＝3×106(立方尺). 3．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则此棱台的体积为________． 答案：6＋2 V台体＝(2＋4＋)×3＝×3×(6＋2)＝6＋2. $$