模块复习课(5) 统计与概率（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

[对应学生用书P111] [对应学生用书P112] 研究统计问题的基本思想方法就是从总体中抽取样本，用样本估计总体，因此选择适当的抽样方法抽取具有代表性的样本对整个统计问题起着至关重要的作用．本题审题的关键有两点，一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚；二是对样本的功能要审视准确． [训练1]　某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示： 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 小计 160 320 480 1 040 2 000 (1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？ (2)若要开一个25人的讨论单位发展和薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？ (3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？ 解：(1)按老年、中年、青年分层，用比例分配的分层抽样法抽取，分配比例为＝.故老年人、中年人、青年人分别抽取4人、12人、24人． (2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用比例分配的分层抽样法抽取．分配比例为＝， 故管理、技术开发、营销、生产分别抽取2人、4人、6人、13人． (3)用随机数表法： 对全部2 000人随机编号，号码是0001，0002，0003…2000.在随机数表中指定一个位置，按照指定的方向读数，把产生的随机数作为抽中的编号，与编号对应的20人就是要抽取的样本． [训练2]　某网站就观众对2016年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表： 喜欢程度 喜欢 一般 不喜欢 人数 560 240 200 现用样本量比例分配的分层随机抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n的样本．若从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5，求n的值． 解：由题可知，样本容量与总体容量之比为，则应从不喜欢小品的观众中抽取的人数为×200＝5，得n＝25.∴n的值为25. 样本的数字特征的关注点 (1)样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括平均数、众数、中位数、百分位数；另一类是反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差． (2)在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越强． [训练3]　一组数据4.3, 6.5, 7.8, 6.2, 9.6, 15.9, 7.6, 8.1, 10, 12.3, 11, 3，则它们的75%分位数是________． 10．5　解析：把数据从小到大排序，得3, 4.3, 6.2, 6.5, 7.6, 7.8, 8.1, 9.6, 10, 11, 12.3, 15.9，共有12个数． 因为12×75%＝9，所以75%分位数是第9项和第10项数据的平均数，即(10＋11)＝10.5. [训练4]　甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图： (1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． 解：(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． 甲＝＝13(分)， 乙＝＝13(分)， s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s＝[(13－13)2＋(14－13)3＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s>s可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩由低到高基本呈上升状态，而乙的成绩有升有降，变化幅度不大，较为稳定． 与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率之和等于1就可求出其他数据． (2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解． [训练5]　统计某校学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩分数分成六组：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，绘制频率分布直方图如图所示，若已知不低于140分的人数为110，则学生总数是(　　) A．800　　 B．900　　 C．1 200　　 D．1 000 D　解析：由频率分布直方图的性质得：10×(0.031＋0.020＋0.016×2＋n＋0.006)＝1， 解得n＝0.011， ∵不低于140分的频率为0.011×10＝0.11， ∴学生总数为＝1 000. 古典概型是一种最基本的概型，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式求出概率，列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏. [训练6]　一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果： (1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的． 分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率． 解：随机选取两个小球，记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能结果为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)，(7，6)，(8，7)，(9，8)，(10，9)共18种． (1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，共有可能结果90种． 因此，P(A)＝＝. (2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有10种可能，但(x，y)与(y，x)是一样的，共有可能结果100种． 因此，P(A)＝＝. [训练7]　现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛． (1)求C1被选中的概率； (2)求A1和B1不全被选中的概率． 解：(1)从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2). C1恰被选中有6个基本事件： (A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)， 因而C1被选中的概率P＝＝. (2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A1，B1全被选中”． 则事件由两个基本事件(A1，B1，C1)与(A1，B1，C2)组成， 所以P()＝＝. 由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝. 两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的．相互独立事件，同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的． [训练8]　甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是(　　) A． B． C． D．1 C　解析：记甲、乙通过听力测试分别为事件A、B， 则可得P(A)＝，P(B)＝， 两人中有且只有一人能通过为事件B＋A， 故所求的概率为P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P() ＝(1－)×＋×(1－)＝. [训练9]　某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： (1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码； (3)至少有一次抽到某一指定号码． 解：(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)∪(B)表示．由于事件A与B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P(A)十P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0. 05×(1－0.05)＋(1－0.05) ×0.05＝0.095. ( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB ) ∪(A)∪(B)表示．由于事件AB，A和B两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(AB)＋P(A)＋P(B)＝0.002 5＋0.095＝0.097 5. 学科网（北京）股份有限公司 $$