模块复习课(4) 指数函数、对数函数与幂函数（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

[对应学生用书P109] [对应学生用书P109] 　指数式的运算要注意化简顺序，一般负指数转化成正指数，根式化为分数指数幂，若出现分式则要注意将分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． [训练1]　(1)化简： (2)求值：lg －lg ＋lg . 解：(1)原式＝ (2)(方法一)　原式＝lg －lg 4＋lg (7) ＝lg ＝lg ＝lg 10＝. (方法二)　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝. [训练2]　计算： (1) (2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316. 解：(1) ＝＋25－1＋3＝. (2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316 ＝log3[32×(33)2]＋(log23＋log22)－log23＋log43×log342＝log3[32×36]＋log22＋(log43)×(2log34) ＝log338＋1＋2＝8＋1＋2＝11. 1．函数图象判断问题要对常见函数，如一次函数，二次函数、正比例函数、反比例函数、指数函数、对数函数、形如y＝x＋的函数等的图象与性质，以及由此变换得到的函数图象与性质要做到非常熟练． 2．利用函数图象，由方程f(x)＝g(x)解的个数可以确定参数的取值范围，这时可转化为两函数y＝f(x)与y＝g(x) 图象交点个数问题． [训练3]　(1)函数f(x)＝则y＝f(x＋1)的图象大致是(　　) (2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______． (1)B　(2)(0.1)　解析：(1)作出f(x)＝的图象，如图①所示．再把f(x)的图象向左平移一个单位长度，可得到y＝f(x＋1)的图象． (2)作出函数f(x)＝的简图，如图②所示，方程f(x)＝k有两个不同的实根，也就是函数f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，所以0＜k＜1. [训练4]　若函数y＝2x＋1，y＝b，y＝－2x－1的图象两两无公共点，结合图象求b的取值范围为____________． [－1，1]　解析：如图． 当－1≤b≤1时，此三函数的图象无公共点． 指数式与对数式的大小比较是基本初等函数中的一类重要题目类型，其主要方法有以下三种： (1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解； (2)采用中间值的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间值如0，1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过观察函数的图象解决. [训练5]　比较下列各组数的大小： (1)0.65.1，5.10.6，log0.65.1； (2)log712，log812； (3) 解：(1)∵0<0.65.1<1，5.10.6>1，log0.65.1<0， ∴5.10.6>0.65.1>log0.65.1. (2)(方法一)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图象，由底数变化对图象位置的影响知，log712>log812. (方法二)＝＝＝log78>1. ∵log812>0，∴log712>log812. (3)∵0<<1， ∴b<c，故有a<b<c<d. [训练6]　下列各式错误的是(　　) A．30.8>30.7 B．log0.50.4>log0.50.6 C．0.75－0.1<0.750.1 D．lg 1.6>lg 1.4 C　解析：对于A选项，由于y＝3x在R上是增函数，且0.8>0.7，∴30.8>30.7，正确；对于B选项，由于y＝log0.5x在区间(0，＋∞)上是减函数，且0.6>0.4，∴log0.50.4>log0.50.6，正确；对于C选项，由于y＝0.75x在R上是减函数，且－0.1<0.1，∴0.75－0.1>0.750.1，错误；对于D选项，由于y＝lg x在区间(0，＋∞)上是增函数，且1.6>1.4，∴lg 1.6>lg 1.4，正确． 由于指数函数和对数函数的底数a影响了函数的单调性，因此涉及求单调区间、解不等式、求最值等问题时，常按“a>1”与“0<a<1”进行分类讨论. [训练7]　已知函数y＝在区间[1，3]上的最小值为，求a的值． 解：令t＝x2－3x＋3＝＋， 当x∈[1，3]时，t∈. ①若a>1，则ymin＝＝， 解得a＝，与a>1矛盾． ②若0<a<1，则ymin＝a3＝， 解得a＝，满足题意． 综合①②知，a＝. [训练8] 已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1). (1)若f(x)<2，求实数x的取值范围； (2)若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围. 解：(1)当a>1时，f(x)<2，得0<8－ax<a2， ∴－a<x<； 当0<a<1时，可知8－ax>a2，∴x<－a. 因此当a>1时，x的取值范围是(－a，)； 当0<a<1时，x的取值范围是(－∞，－a). (2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在区间[1，2]上是减函数， 由f(x)>1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1， 解得1<a<. 当0<a<1时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，由f(x)>1恒成立， 则f(x)min＝loga(8－a)>1，则8－a<a，∴a>4. 又0<a<1，故a不存在． 综上可知，实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$