4.5 增长速度的比较（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4．5　增长速度的比较 课程标准 学科素养 1.理解平均变化率在判断函数增长中的应用． 2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义及三种函数模型的性质的比较． 3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题． 通过对增长速度的比较的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P33] 函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2)上的平均变化率为＝，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，也可理解为：自变量每增加一个单位，函数值将增加个单位，因此可以用平均变化率来比较函数值变化的快慢． 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　) A．在[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化率 D．以上都不对 A　解析：由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在[x0，x1]上的平均变化率． 2．(教材改编)如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 B　解析：＝＝＝－1. 1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上． 2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢． 3．存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<xn<ax． 1．当x增大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　) A．y＝10x B．y＝lg x C．y＝x10 D．y＝10x D　解析：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x增大时，函数y＝10x增长速度最快． 2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1 B　解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3. [对应学生用书P34] 已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率： (1)[1，3]；(2)[1，2]；(3)[1，1.1]；(4)[1，1.001]. 解：(1)因为＝＝4，所以f(x)在区间[1，3]上的平均变化率是4； (2)因为＝＝3，所以f(x)在区间[1，2]上的平均变化率是3； (3)因为＝＝2.1，所以f(x)在区间[1，1.1]上的平均变化率是2.1； (4)因为＝＝2.001，所以f(x)在区间[1，1.001]上的平均变化率是2.001. 平均变化率的求法 (1)计算函数值的改变量Δf＝f(x2)－f(x1). (2)计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率＝. [训练1]　求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率． 解：∵＝＝12.3，∴函数在区间[2，2.1]上的平均变化率是12.3. 已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x，h(x)＝log2x在区间[a，a＋1](a>1)上的平均变化率，并比较它们的大小． 解：＝＝2a，＝＝1， ＝＝log2， ∵a>1，∴2a>21>1，log2<log2＝1， 因此在区间[a，a＋1]上f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 由此可知，f(x)在区间[a，a＋1]上增长的最快，h(x)增长的最慢． 1．当自变量每增加1个单位，区间长不变的条件下，端点值之和越大，函数值增加越快． 2．自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快． [训练2]　已知函数g(x)＝2x＋3，h(x)＝3x－2，判断g(2)与h(2)的大小，并求出使得h(2＋Δx)>g(2＋Δx)成立的Δx的取值范围． 解：g(2)＝7，h(2)＝4，∴g(2)>h(2). 因为h(2＋Δx)>g(2＋Δx)，所以2(2＋Δx)＋3>3(2＋Δx)－2，∴Δx<3. 研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln (x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况． 解：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过了函数y＝ln (x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5e－2＝x2－1的x0，当x＞x0时，ln (x＋1)＜x2－1＜0.5ex－2. 不同的函数增长模型描述增长速度的差异 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律． [训练3]　三个变量y1，y2，y3随着自变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4 则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(　　) A．y1，y2，y3　　　　　　　 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2 C　解析：通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律． [对应学生用书P36] 1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是(　　) A．y＝x2　　　　　 B．y＝log2 x C．y＝2x D．y＝2x 答案：D 2．以下四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x>0，xn>logax C．对任意的x>0，ax>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax 答案：D 3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则下列函数中与x，y的函数关系最接近的是(其中a，b为待定系数)(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝ax2＋b D．y＝a＋ 答案：B 4．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2 x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案． 答案：乙，甲，丙 5．在同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x在(0，＋∞)上的图象，并比较x＋5与2x的大小． 解：函数y＝x＋5与y＝2x的图象如图所示． 当0<x<3时，x＋5>2x； 当x＝3时，x＋5＝2x； 当x>3时，x＋5<2x. 学科网（北京）股份有限公司 $$