课后提升练(11) 函数的应用(二) 数学建模活动：生长规律的描述（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

课后提升练(十一)　函数的应用(二)　数学建模活动：生长规律的描述 [对应学生用书P139] 1．如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是(　　) A．　　　　　　　　 B． C．－1 D．－1 D　解析：设月平均增长率为x，1月份的产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝，故x＝－1. 2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　) A．300只 B．400只 C．600只 D．700只 A　解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得， 100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时， y＝100log2(7＋1)＝300. 3．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机的价格平均每次降低的百分率是(　　) A．10% B．15% C．18% D．20% D　解析：由题意，可设平均每次价格降低的百分率为x，则有2 000(1－x)2＝1 280， 解得x＝0.2或x＝1.8(舍去)，故D正确． 4．长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，面积最大．此时x＝________，面积S＝________． 1　　解析：由题意得，0＜＜3，即0＜x＜6， 所以S＝(4＋x) ＝－(x2－2x－24)＝－(x－1)2(0＜x＜6). 故当x＝1时，S取得最大值. 5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是______(lg 2≈0.301 0). 4　解析：设至少要洗x次，则≤， ∴x≥≈3.322，所以需4次． 6．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27，则车速为________km/h时，汽车的耗油量最少． 35　解析：Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27 ＝0.0025(v2－70v)＋4.27 ＝0.0025[(v－35)2－352]＋4.27 ＝0.0025(v－35)2＋1.2075. 故v＝35 km/h时，耗油量最少． 7．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2 000元． (1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额； (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解：设该店月利润余额为L，则由题设得： L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000.① 由销量图易得：Q＝ 代入①式化简得 L＝ (1)当14≤P≤20时，Lmax＝450(元)， 此时P＝19.5(元)； 当20<P≤26时，Lmax＝(元)，此时P＝(元). 故当P＝19.5(元)时，月利润余额最大，为450元． (2)设可在n年后脱贫，依题意有 12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20. 即最早可望在20年后脱贫． 8．渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x应小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值． 解：(1)根据题意知，空闲率是，故y关于x的函数关系式是y＝kx·，0<x<m. (2)由(1)知，y＝kx·＝－x2＋kx ＝－＋，0<x<m. 则当x＝时，ymax＝.所以，鱼群年增长量的最大值为. 9．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： R(x)＝其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解：(1)设每月产量为x台，则总成本为(20 000＋100x)元，从而 f(x)＝ (2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000， ∴当x＝300时，f(x)有最大值25 000； 当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数． f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000. ∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元． 10．某品牌的笔记本电脑成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格可降为(　　) A．2 400元 B．900元 C．300元 D．3 600元 A　解析：12年后的价格为y＝8 100×＝2 400(元). 11．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) D　解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1).函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象． 12．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有(　　) A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45 C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30 A　解析：设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元，则 y＝xQ－P＝x－＝x2＋(a－5)x－1 000，其中x∈(0，＋∞). 由题意知当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40. ∴整理得 解得a＝45，b＝－30. 13．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L．欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为____________． [60，100]　解析：设每小时的油耗(所需要的汽油量)为y， 由题意可得y＝， 当x＝120时，y＝11.5， ∴11.5＝，解得k＝100， ∴y＝ ∵每小时的油耗不超过9 L， ∴≤9， 即x2－145x＋4500≤0，解得45≤x≤100， 又60≤x≤120，可得60≤x≤100， 每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为[60，100]. 14．某公司为了应对全球性金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工200人，每人每年可创利润10万元．根据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.1万元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.12万元． 为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的70%.为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年2万元的生活费．设公司裁员人数为x，公司一年获得的纯收入为y万元．(注：年纯收入＝年利润－被裁员工的生活费) (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 解：(1)当0<x≤200×20%时，y＝(200－x)(10＋0.1x)－2x， 即y＝－0.1x2＋8x＋2 000，(0<x≤40)， 当200×20%<x≤200×(1－70%)时， y＝(200－x)(10＋0.12x)－2x＝－0.12x2＋12x＋2 000，(40<x≤60). ∴y与x的函数关系式为： y＝ (2)当0<x≤40，x∈N时，y＝－0.1x2＋8x＋2 000＝－0.1(x－40)2＋2 160， ∴x＝40时，ymax＝2 160； 当40<x≤60，x∈N时，y＝－0.12x2＋12x＋2 000＝－0.12(x－50)2＋2 300， ∴x＝50时，ymax＝2 300. 由于2 160<2 300，∴当x＝50时，公司获利最大． 故为了获得最大的经济效益，该公司应裁员50人． 15．设在海拔x m处大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y＝Cekx，其中C，k是常量．已知某地某日在海平面的大气压强为1.01×105 Pa，1 000 m高空的大气压强为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强(结果保留3个有效数字). 解：将x＝0，y＝1.01×105，x＝1 000，y＝0.90×105分别代入y＝Cekx，得 即 将C＝1.01×105代入0.90×105＝Ce1 000k，得 0．90×105＝1.01×105e1 000k，即0.9＝1.01e1 000k. 两边取以e为底的对数(自然对数)， 得k＝ln ≈－1.15×10－4， 所以y＝1.01×105×e－1.15×10－4x 将x＝600代入，得y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600≈0.943×105. 故在600 m高空的大气压强约为0.943×105Pa. 学科网（北京）股份有限公司 $$