4.1.2 第2课时 指数函数性质的应用（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4.1.2　指数函数的性质与图象 第二课时　指数函数性质的应用 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 栏目索引 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 必备知识 自主学习 减函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 f(x)<g(x) f(x)<g(x) f(x)>g(x) 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 (m，k＋b) 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 关键能力 互动探究 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 谢谢观看！ 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 课程标准 学科素养 1.通过具体的指数函数，归纳总结指数函数的性质、单调性及特殊点． 2．会利用指数函数的性质和图象解决与指数函数有关的问题． 通过对指数函数性质的学习，进一步提升数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养． eq \a\vs4\al(知识点1　 指数函数的单调性) 当a>1时，函数y＝ax在R上为增函数； 当0<a<1时，函数y＝ax在R上为_________． 1．思考辨析 (1)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　) (2)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　) (3)若( eq \f(1,π) )a> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π))) eq \s\up12(b) ，则a>b .(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)× 2．(教材改编)已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是________． c>a>b　解析：∵y＝0.8x是减函数，∴0<b<a<1. 又∵c＝1.20.8>1，∴c>a>b. eq \a\vs4\al(知识点2　指数不等式) 对于形如af(x)>ag(x)(或af(x)<ag(x))的不等式， 当a>1时，转化为f(x)>g(x)(或_______________)； 当0<a<1时，转化为_______________ (或_______________). 1．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　) A．(－1，1)　　　　　 B．(－1，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) D　解析：∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0， ∴x<－1. 2．设23－2x＜0.53x－4，则x的取值范围是________． (－∞，1)　解析：∵0.53x－4＝( eq \f(1,2) )3x－4＝24－3x， ∴由23－2x＜24－3x，得3－2x＜4－3x，∴x＜1. eq \a\vs4\al(知识点3　指数函数恒过定点) 函数f(x)＝kag(x)＋b(k，a，b均为常数，且k≠0，a>0，且a≠1) 恒过定点____________ (满足g(m)＝0). 1．函数y＝ax－1－3的图象恒过定点坐标是(　　) A．(1，－3) B．(1，－2) C．(2，－3) D．(2，－2) B　解析：令x－1＝0，得x＝1， 此时y＝a0－3＝1－3＝－2， ∴函数y＝ax－1－3恒过定点(1，－2). 2．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≥1或a＝0)) 　解析：作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0. eq \a\vs4\al(探究一　比较大小) 比较下列各组数的大小： (1)1.82.2，1.83；(2)0.7－0.3，0.7－0.4；(3)1.90.4，0.92.4；(4)0.60.4，0.70.4. 解：(1)∵1.82.2，1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，又∵1.8>1， ∴函数y＝1.8x在R上为增函数． 故1.82.2<1.83. (2)∵函数y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4. (3)∵1.90.4>1.90＝1，0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4. (4)∵在y轴右侧函数y＝0.6x的图象在函数y＝0.7x的图象的下方，∴0.60.4<0.70.4. 三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可． (3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法).取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用指数函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图象比较大小． [训练1]　比较下列两组数的大小： (a－1)1.3与(a－1)2.4(a＞1且a≠2). 解：由于a＞1且a≠2，所以a－1＞0且a－1≠1， 若a－1＞1即a＞2，则y＝(a－1)x是增函数， ∴(a－1)1.3＜(a－1)2.4， 若0＜a－1＜1，即1＜a＜2，则y＝(a－1)x是减函数， ∴(a－1)1.3＞(a－1)2.4. eq \a\vs4\al(探究二　解简单的指数不等式) 解下列关于x的不等式： (1)( eq \f(1,2) )x＋5≤16； (2)a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1). 解：(1)∵( eq \f(1,2) )x＋5≤16，∴2－x－5≤24. ∴－x－5≤4，∴x≥－9. 故原不等式的解集为{x|x≥－9}． (2)当0<a<1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. 当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述， 当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}； 当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}． 解简单的指数不等式的一般方法 (1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的形式利用函数图象求解． [训练2]　若ax＋1>( eq \f(1,a) )5－3x(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 解：ax＋1>( eq \f(1,a) )5－3x⇔ax＋1>a3x－5， 当a>1时，可得x＋1>3x－5，∴x<3. 当0<a<1时，可得x＋1<3x－5，∴x>3. ∴当a>1时，x的取值范围为(－∞，3). 当0<a<1时，x的取值范围为(3，＋∞). eq \a\vs4\al(探究三　指数函数性质的综合应用) 已知函数f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) . (1)证明f(x)为奇函数； (2)求证f(x)是R上的增函数； (3)求函数f(x)的值域． (1)证明：函数f(x)的定义域R关于原点对称，且 f(－x)＝ eq \f(2－x－1,2－x＋1) ＝ eq \f(（2－x－1）2x,（2－x＋1）2x) ＝ eq \f(1－2x,1＋2x) ＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (2)证明：因为f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ＝1－ eq \f(2,2x＋1) ， 设x1，x2∈R，且x1<x2，则 因为x1<x2∈R，所以2x1<2x2，2x1>0，2x2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，故f(x)是R上的增函数． (3)解：因为f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ＝1－ eq \f(2,2x＋1) ， 又2x＋1>1，所以0< eq \f(1,2x＋1) <1. 所以0< eq \f(2,2x＋1) <2，故－1<1－ eq \f(2,2x＋1) <1， 所以f(x)的值域为(－1，1). [变式]　将本例改为“若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)>0恒成立，求k的取值范围”，该如何求解？ 解：由例题解答过程可知，函数为奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)>0等价于f(t2－2t)>－f(2t2－k)＝f(k－2t2). 又因为f(x)为增函数，由上式推得t2－2t>k－2t2，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0. 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－ eq \f(1,3) ， 故实数k的取值范围是(－∞，－ eq \f(1,3) ). 解决指数函数性质的综合问题的两点 (1)与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质． [训练3]　设a∈R，f(x)＝a－ eq \f(2,2x＋1) (x∈R). (1)证明对任意实数a，f(x)为增函数； (2)试确定a的值，使f(x)≤0恒成立． (1)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， ∵指数函数y＝2x在R上是增函数，且x1<x2， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 故对于任意实数a，f(x)为增函数． (2) 解：f(x)＝a－ eq \f(2,2x＋1) ≤0恒成立，只要a≤ eq \f(2,2x＋1) 恒成立，问题转化为只要a不大于 eq \f(2,2x＋1) 的最小值． ∵x∈R，2x>0恒成立，∴2x＋1>1. ∴0< eq \f(1,2x＋1) <1，0< eq \f(2,2x＋1) <2，即 eq \f(2,2x＋1) ∈(0，2)， ∴a≤0，故当a≤0时，f(x)≤0恒成立． 1．已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是(　　) A．c>b>a　　　　　　　 B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 答案：C 2．已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0) 答案：A 3．(多选题)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(1)>f(2) D．f(－4)>f(3) 答案：AD 4．不等式23－2x<0.53x－4的解集为________． 答案：{x|x<1} 5．已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在[0，3]上的值域． 解：(1)函数的定义域是R. 令u＝－x2＋2x，则f(x)＝2u. 当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数f(x)＝2u是增函数， 所以函数在(－∞，1]上是增函数； 当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数f(x)＝2u是增函数，所以函数在[1，＋∞)上是减函数． 综上，函数的单调递减区间是[1，＋∞)，单调递增区间是 (－∞，1]. (2)由(1)知f(x)在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝ eq \f(1,8) ， 所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝ eq \f(1,8) ， 所以f(x)的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) . $$