第12讲 正态分布（春季讲义）-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第12讲 正态分布 【人教A版2019】 模块一 二项分布 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地， 当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学 中称为3σ原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【注】若X服从正态分布，即X～N(μ,)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题. 【题型1 正态密度函数】 【例1.1】（24-25高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【解题思路】将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【解答过程】 ， . 故选：B. 【例1.2】（2025高二·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④，其中，，则可以作为正态分布密度函数的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据正态分布密度函数的定义逐个分析判断. 【解答过程】对于①，，由于，所以，故它可以作为正态分布密度函数； 对于②，若，则应为，若，则应为，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数； 对于③，它就是当，时的正态分布密度函数； 对于④，它是当时的正态分布密度函数． 所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数． 故选：C. 【变式1.1】（22-23高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【解题思路】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【解答过程】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 【变式1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解. 【解答过程】由正态分布密度函数，可得. 故选：C. 【题型2 正态曲线的特点及性质】 【例2.1】（23-24高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【解答过程】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C. 【例2.2】（23-24高二下·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小 【解答过程】因为，，两曲线分别关于对称， 所以由图可知，，所以A错误， 因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以 ，所以B错误， 所以，， 所以C错误，D正确， 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【解题思路】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【解答过程】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 【变式2.2】（2025高三·江苏·专题练习）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．> B． C． D． 【解题思路】利用正态分布曲线的性质，判断各分布曲线上的μ、σ的大小关系即可. 【解答过程】根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边， ∴μ1＜μ2＝μ3，故B、C错误； 又σ越小数据越集中，图象越瘦长， ∴σ1＝σ2＜σ3，故A错误，D正确． 故选：D． 【题型3 利用正态曲线的对称性求概率】 【例3.1】（23-24高二下·吉林松原·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【解答过程】因为，则，可知， 又因为，所以. 故选：A. 【例3.2】（23-24高二下·广东东莞·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正态分布对称性得出概率. 【解答过程】因为所以, 又因为正态分布的对称轴为2，所以, 所以 所以. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高二下·江苏南通·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.02 B．0.03 C．0.07 D．0.08 【解题思路】利用正态分布的性质求解即可. 【解答过程】由于随机变量，且，所以, 故选：B. 【变式3.2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87 【解题思路】根据正态分布特点求解即可. 【解答过程】因为服从正态分布， 所以， 所以 . 故选：． 【题型4 利用正态曲线的对称性求参数】 【例4.1】（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）某生产线正常生产状态下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．-8 B．-15 C．8 D．15 【解题思路】根据正态分布的性质得到方程，解出即可. 【解答过程】根据正态分布的性质可得： ， 解得， 故选：B. 【例4.2】（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【解题思路】由正态分布性质可得答案. 【解答过程】因为，所以 ，因为随机变量服从正态分布，所以，解得：. 故选：D. 【变式4.1】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】随机变量服从正态分布， 则该正态分布曲线的对称轴为， 即， 故，解得或， 则“”是“”的充分且不必要条件. 故选：A. 【变式4.2】（23-24高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（    ） （参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据题意，结合，得到，进而利用正态分布的性质得到关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】因为体温X服从正态分布， 所以， 因为的值在内的概率约为，且， 则， 所以， 则，解得， 所以，解得， 故选：D. 【题型5 利用3σ原则求概率】 【例5.1】（24-25高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【解题思路】根据正态分布的性质计算可得. 【解答过程】因为，所以，， 所以. 故选：B. 【例5.2】（23-24高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 【解题思路】根据正态分布的性质即可求解. 【解答过程】数学测试成绩服从正态分布，则，， 由于等级的概率之和为， 所以 ，而即 故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级， 故105分为A等级． 故选：A. 【变式5.1】（24-25高二下·河北·阶段练习）某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数服从正态分布，且落在内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．270 B．2275 C．2410 D．4550 【解题思路】根据题意，由原则可得，即可得到所抽取零件总数，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题意可知，， 则所抽取的零件总数为， 故估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为． 故选：B. 【变式5.2】（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【解题思路】根据正态分布的对称性求出的概率，即可得解. 【解答过程】由题意得， ， ， 所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293. 故选：B. 【题型6 正态分布的实际应用】 【例6.1】（23-24高三下·上海松江·阶段练习）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据正态分布的期望和方差进行概率计算即可，再逐项判断即可. 【解答过程】对于①，由题得，当满足时，仍有可能迟到，故①错误； 对于②，若7：02出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到， 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，不迟到的概率相当，所以②错误； 对于③，若7：06出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到； 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，显然开私家车不迟到的可能性更大，所以③错误； 对于④，若7：12出门，乘坐地铁上班，当满足时，不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以④正确. 故选：A. 【例6.2】（23-24高三上·全国·开学考试）某校高三数学摸底考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，该校高三数学摸底考试成绩超过90分的人数有930人，则（    ） A．估计该校高三学生人数为1200 B．估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70． C．估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425． D．估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多． 【解题思路】由正态分布曲线的对称性可求得，由频数、频率和总数的关系可求得结果． 【解答过程】解：由，得， ． 估计该校学生人数为：人，A不正确； 估计该校学生中成绩不超过90分的人数为，B正确； 估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为，C错误； 由， 估计该校学生中成绩不超过90分的人数与超过130分的人数相等，D错误， 故选：B． 【变式6.1】（2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下： 脐橙数量/盒 购物群数量/个 12 18 32 18 (1)求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数； (2)假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，则， ，. 【解题思路】（1）利用频数之和等于样本总数易得值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得； （2）由题意，结合（1）的结果易得的值，根据“级群”， “特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可. 【解答过程】（1）由题意得，，解得. 则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为. （2）由题意，则， 故 ， 故“级群”约有个； ， 故“特级群”约有个； 则依题意，需要资金为元，即该脐橙基地大约需要准备95700元. 【变式6.2】（2024·四川泸州·二模）统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布． (1)假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求； (2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由． 附：①随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 【解题思路】（1）依题意可得，根据正态分布的性质计算可得； （2）由（1）结合小概率事件的定义判断即可. 【解答过程】（1）依题意，又， 所以，， 且， 所以. （2）由（1）可得， 又希尔伯特计算份披萨质量的平均值为，， 而， 所以份披萨质量的平均值为为小概率事件，小概率事件基本不会发生， 所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由. 【题型7 正态分布与其他知识综合】 【例7.1】（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数近似为样本方差. ①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数） ②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求.（结果精确到0.001） 附：①；②若，则③ 【解题思路】（1）利用频率分布直方图求平均数和方差的计算公式求解即可. （2）①根据正态分布的对称性得出，进而得出所求户数；②年收入不超过万元的农户家庭数服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）这2000户农户家庭年收入的样本平均数 ； 这2000户农户家庭年收入的样本方差 . （2）①由（1）知，，，农户家庭年收入近似服从正态分布， 所以， 而， 所以这2000户农户家庭年收入超过万元的户数约为317. ②年收入不超过万元的农户家庭数服从二项分布， 所以. 【例7.2】（23-24高二下·青海海东·阶段练习）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【解题思路】（1）写出随机变量的可能取值，并求解每个值的概率，即可求解； （2）求出与的概率，即可求解. 【解答过程】（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’ 随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以； （2）由题意知，， ， ， 因为，， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布， 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收． 【变式7.1】（2024·河南·模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立. (1)若小李在第一关､第二关及第三关通过测试的概率分别为，求小李成功竞聘的概率； (2)统计得10000名竞聘者的得分，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.（四舍五人取整） 附：若随机变量，则 【解题思路】（1）由独立乘法、互斥加法以及对立事件的概率公式即可求解； （2）首先根据正态分布曲线的性质求出得分在442分以上的概率，从而乘以10000即可得解. 【解答过程】（1）设：第次通过第一关测试，：第次通过第二关测试，：一次性通过第三关测试，因为各关通过与否相互独立， 所以 ， . （2）由题意可知，， 则， ， ， 所以得分在442分以上的竞聘者约有228人. 【变式7.2】（23-24高二下·吉林长春·期末）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一. 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节. (1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）； (2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 【解题思路】（1）由题意可知，根据正态分布的性质即可求出概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【解答过程】（1）由题意可知， 则 ， 则共，即人进入面试. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有， 甲、乙、丙3名考生没通过面试的概率分别为， 则， ， ， ， 故随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 故. 一、单选题 1．（24-25高二下·天津·阶段练习）如果随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正态分布的对称性求解即可. 【解答过程】因为随机变量，所以， 所以. 故选：. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 【解题思路】直接由正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义结合已知图象得答案. 【解答过程】由的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，越小，故有． 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）某校高三年级有1000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在90分以上的概率为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【解题思路】根据正态分布可得，可知10名学生的成绩在90分以上的人数，结合二项分布运算求解. 【解答过程】由知， 则，， 可知10名学生的成绩在90分以上的人数， 所以． 故选：D. 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得. 【解答过程】观察曲线知，. 故选：D. 5．（24-25高三上·山东济南·期末）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正态曲线关于直线对称，得出，即，再利用基本不等式，即可求出结果． 【解答过程】由题意知，随机变量， 所以正态曲线关于直线对称， 又， 所以，即， 所以， 因为，则， 所以 ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B． 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，下列四个命题中假命题是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正态密度曲线的对称性逐项判断即可. 【解答过程】对于A选项，因为， 所以，，A对； 对于B选项，由正态密度曲线的对称性可得，B对； 对于C选项，由正态密度曲线的对称性可得，C对； 对于D选项，因为正态分布密度曲线呈现“中间高，两边低”的特点， ，D错. 故选：D. 7．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若随机变量，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用正态分布的概率、期望、方差性质，结合期望、方差结论逐个验证即可. 【解答过程】对于A选项，变量，这里，所以，A选项正确. 对于B选项，因为正态分布图象关于对称，. 根据正态分布的对称性，，B选项正确. 对于C选项，若，则.对于， 根据期望的性质.所以，C选项正确. 对于D选项，若，则，对于， 根据方差的性质.所以， D选项错误. 故选：D. 8．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）已知，则.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间.若，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 【解题思路】由已知可推得， ，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案. 【解答过程】由已知可得， . 又 ， 所以，则， 设， 则 ， 所以，所以. ， 所以，所以. 所以以使得最大的值作为的估计值，则为. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） A．已知服从正态分布，且，则 B．已知服从正态分布，且，则常数的值为3 C．已知服从正态分布，若在内取值的概率为0.15，则在内取值的概率为0.25 D．已知其中，则 【解题思路】由正态分布曲线的对称性可判断出ABC的正误；由二项分布的方差公式可判断D正确. 【解答过程】对于A，，，A正确； 对于B，，，，解得：，B正确； 对于C，，，， ，C错误； 对于D，，， 当时 ，，D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A，由，得，故A正确； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，由于随机变量、均服从正态分布，且对称轴均为直线， ，所以在正态分布曲线上，的峰值较高， 正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D错误. 故选：AC. 11．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知某学校的数学考试成绩服从正态分布，则下列说法正确的是（   ） 参考数据：若，则，，． A．若，则 B． C． D． 【解题思路】根据正态曲线的对称性和正态曲线的特征及已知的参考数据来逐一分析每个选项. 【解答过程】已知成绩服从正态分布，则正态曲线关于直线对称. 若，根据正态曲线的对称性可知，， 即，解得，所以选项正确； 因为，，所以. 由，根据正态曲线的对称性可知，，所以选项错误； ，由， 根据正态曲线的对称性可知，，所以选项正确； ，. ，所以选项正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 【解题思路】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【解答过程】因为，且， 所以 . 故答案为：. 13．（2025·河南·一模）统计学中通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位：），某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16，他立即判断生产出现了异常，由此可知的最大值为 2 . 【解题思路】利用正态分布概率计算判断可得，可求得结果. 【解答过程】由题可知，解得，故的最大值为2. 故答案为：2. 14．（2025高三·全国·专题练习）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是 ②③ ． ①；②；③；④ 【解题思路】根据正态分布概率几何意义以及对称性，可得答案. 【解答过程】由题意可知，， 所以 ， 所以 ， 所以①错误，②正确． 因为，所以， 所以 ，所以，所以③正确，④错误． 综上，答案为②③． 故答案为：②③． 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课后作业）设，试求： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）利用原则，知即可求解； （2）利用原则，知求解； （3）利用原则，知进行求解． 【解答过程】（1），，． ． （2） ， ． （3）， ． 16．（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【解题思路】（1）由题意可知，进而根据参考数据求事件的概率； （2）根据正态分布性质求事件的概率，结合频数频率关系求结论. 【解答过程】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 17．（24-25高二上·江苏·假期作业）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼． (1)为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率； (2)经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为，标准差记为，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？ 附：若随机变量，则，，． 【解题思路】（1）利用条件概率计算公式即可求得甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率； （2）利用正态分布的性质即可求得全年级不合格人数总人数的百分比，与比较后即可得到该年级体能检测是否达标． 【解答过程】（1）设“甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜”为事件， “甲以或或获胜”分别记为事件，，， “甲前3局比赛均获胜”为事件． 则， ， ， ． ， ， 所以甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下， 前3局比赛均获胜的概率． （2）设该校高二年级学生体能检测的成绩为，则． ， 所以， 所以高二年级学生体能检测不合格的人数约为人， 而，所以该校高二年级学生体能检测成绩合格． 18．（2024·河北保定·二模）单位面积穗数､穗粒数､千粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表： 穗粒数 穗数 4 10 56 22 8 其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1000粒，分别称重，得到这5组的质量（单位：）分别为：. (1)根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验田的小麦亩产量（结果四舍五入到）； 公式：亩产量亩穗数样本平均穗粒数. (2)已知该试验田穗粒数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于28粒的穗数超过总体的，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种. 参考数据：若近似服从正态分布，则. 【解题思路】（1）用每组区间的中点值乘以穗数求和除以100得到样本平均穗粒数，再由题所给数据得到样本平均千粒重，代入所给公式即可； （2）先根据数据求得，再由，根据正态分布的原则，求得概率即可判断. 【解答过程】（1）该试验田样本平均穗粒数为， 样本平均千粒重为， 所以这块试验田的小麦亩产量的估计值为， （2）由（1）得， 所以， 由得：， 故：， 所以该试验田中的小麦为优质小麦品种. 19．（23-24高二下·陕西西安·期末）某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，． (1)从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率． (2)若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格； ②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望． 参考数据：，，． 【解题思路】（1）利用概率公式即可求解. （2）先求出平均数，写出正态分布，利用正态分布即可求解；先求出的概率，然后根据二项分布，即可求解. 【解答过程】（1）采用分层抽样的方法随机抽取的5件中，在内的有3件，在内的有2件． 记“抽取的2件产品不在同一组”为事件A，则． （2）①因为， 所以，且； 所以或 或 ， 所以若该生产线生产100万件零部件，则估计有万件零部件不合格． ②因为，所以，所以Y可以取0，1，2，3， ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 故． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 正态分布 【人教A版2019】 模块一 二项分布 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地， 当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学 中称为3σ原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【注】若X服从正态分布，即X～N(μ,)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题. 【题型1 正态密度函数】 【例1.1】（24-25高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【例1.2】（2025高二·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④，其中，，则可以作为正态分布密度函数的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.1】（22-23高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【变式1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 正态曲线的特点及性质】 【例2.1】（23-24高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2.2】（23-24高二下·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【变式2.2】（2025高三·江苏·专题练习）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．> B． C． D． 【题型3 利用正态曲线的对称性求概率】 【例3.1】（23-24高二下·吉林松原·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二下·广东东莞·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二下·江苏南通·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.02 B．0.03 C．0.07 D．0.08 【变式3.2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87 【题型4 利用正态曲线的对称性求参数】 【例4.1】（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）某生产线正常生产状态下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．-8 B．-15 C．8 D．15 【例4.2】（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【变式4.1】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式4.2】（23-24高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（    ） （参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 【题型5 利用3σ原则求概率】 【例5.1】（24-25高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【例5.2】（23-24高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 【变式5.1】（24-25高二下·河北·阶段练习）某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数服从正态分布，且落在内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．270 B．2275 C．2410 D．4550 【变式5.2】（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【题型6 正态分布的实际应用】 【例6.1】（23-24高三下·上海松江·阶段练习）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 【例6.2】（23-24高三上·全国·开学考试）某校高三数学摸底考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，该校高三数学摸底考试成绩超过90分的人数有930人，则（    ） A．估计该校高三学生人数为1200 B．估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70． C．估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425． D．估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多． 【变式6.1】（2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下： 脐橙数量/盒 购物群数量/个 12 18 32 18 (1)求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数； (2)假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，则， ，. 【变式6.2】（2024·四川泸州·二模）统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布． (1)假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求； (2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由． 附：①随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 【题型7 正态分布与其他知识综合】 【例7.1】（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数近似为样本方差. ①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数） ②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求.（结果精确到0.001） 附：①；②若，则③ 【例7.2】（23-24高二下·青海海东·阶段练习）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【变式7.1】（2024·河南·模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立. (1)若小李在第一关､第二关及第三关通过测试的概率分别为，求小李成功竞聘的概率； (2)统计得10000名竞聘者的得分，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.（四舍五人取整） 附：若随机变量，则 【变式7.2】（23-24高二下·吉林长春·期末）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一. 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节. (1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）； (2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 一、单选题 1．（24-25高二下·天津·阶段练习）如果随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）某校高三年级有1000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在90分以上的概率为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东济南·期末）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，下列四个命题中假命题是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若随机变量，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）已知，则.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间.若，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 二、多选题 9．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） A．已知服从正态分布，且，则 B．已知服从正态分布，且，则常数的值为3 C．已知服从正态分布，若在内取值的概率为0.15，则在内取值的概率为0.25 D．已知其中，则 10．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知某学校的数学考试成绩服从正态分布，则下列说法正确的是（   ） 参考数据：若，则，，． A．若，则 B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 13．（2025·河南·一模）统计学中通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位：），某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16，他立即判断生产出现了异常，由此可知的最大值为 . 14．（2025高三·全国·专题练习）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是 ． ①；②；③；④ 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课后作业）设，试求： (1)； (2)； (3)． 16．（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 17．（24-25高二上·江苏·假期作业）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼． (1)为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率； (2)经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为，标准差记为，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？ 附：若随机变量，则，，． 18．（2024·河北保定·二模）单位面积穗数､穗粒数､千粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表： 穗粒数 穗数 4 10 56 22 8 其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1000粒，分别称重，得到这5组的质量（单位：）分别为：. (1)根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验田的小麦亩产量（结果四舍五入到）； 公式：亩产量亩穗数样本平均穗粒数. (2)已知该试验田穗粒数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于28粒的穗数超过总体的，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种. 参考数据：若近似服从正态分布，则. 19．（23-24高二下·陕西西安·期末）某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，． (1)从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率． (2)若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格； ②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望． 参考数据：，，． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$