清单01 平面直角坐标系（8个考点梳理+18题型解读）（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材冀教版

清单01 平面直角坐标系 （8个考点梳理+18题型解读） 清单01 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 清单02 坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 清单03 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 清单04 关于x轴、y轴对称的点坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 清单05 坐标与图形变化—对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 清单06 坐标与图形变化—平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 清单07 关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 清单08 坐标与图形变化—旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【考点题型一】用有序数对表示位置（） 【例1】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示的是（    ） A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F 【变式1-1】．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如果用表示3排2号，那么3排6号可表示成 ． 【变式1-2】．（22-23八年级下·河北秦皇岛·期中）如图为某校局部分布图.如果规定列号写在前面，行号写在后面（竖列横行），试用数对的方法表示出图中各个地点的位置. 实验楼______. 教学楼______.  图书馆______.  花坛______. 校门______.行政楼______. 【考点题型二】写出直角坐标系中点的坐标（） 【例2】．（24-25八年级下·河北保定·开学考试）在平面直角坐标系中，点，第四象限一点到轴的距离为2，到轴的距离为1，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点到轴的距离是2 C．直线轴 D．点到原点的距离是 【变式2-1】．（2025八年级下·河北·专题练习）对于平面直角坐标系中的点，若（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．例如：的“属派生点”为，即． 点的“属派生点”的坐标为 ；若点的“属派生点”的坐标为，则点的坐标为 ； 【变式2-2】．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）已知与关于y轴对称，点A，B，C的对称点分别是D，E，F． (1)在图中画出； (2)写出点D，E，F的坐标以及的面积． (3)在y轴上有一点P，且的值最小，画出点P，并保留作图痕迹． 【考点题型三】求点到坐标轴的距离（） 【例3】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，甲、乙两只小虫以相同的速度从点O同时出发，分别沿，两条路径匀速爬行一周（图中粗线）后返回原点，用时分别为和．若点，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-1】（22-23八年级下·河北秦皇岛·期中）第二象限的点P到x轴距离为2，到y轴距离为3．则P点坐标为 ． 【变式3-2】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P在第四象限． ①点P到x轴的距离为2，求点P的坐标； ②我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．当点P是整点时，求m取值的个数． 【考点题型四】判断点所在的象限（） 【例4】（2025八年级下·全国·专题练习）如果点在第一、三象限的角平分线上，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）已知点在第三象限，则点在第 象限． 【考点题型五】已知点所在的象限求参数（） 【例5】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则a的值为（　　） A． B． C． D．2 【变式5-1】 （22-23八年级下·河北石家庄·期中）如果点在第三象限，那么实数的取值范围是 ． 【变式5-2】（23-24八年级下·河北保定·期中）为平面直角坐标系内的一点． (1)若点M的横坐标不小于纵坐标，求m的取值范围． (2)若点M在第三象限，求m的取值范围． 【考点题型六】坐标与图形（） 【例6】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且，则线段的长度为（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式6-1】（八年级下·河北邯郸·期末）平行于x轴的直线上的点的纵坐标一定( ) A．大于0 B．小于0 C．互为相反数 D．相等 【考点题型七】点坐标规律探索（） 【例7】（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，设为坐标原点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（八年级下·河北石家庄·期中）如图，等边三角形ABC的边长为4，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作于点，过点作，交OC于点；过点作于点，过点作，交OC于点，则点的坐标是 ，按此规律进行下去，点的坐标是 【考点题型八】实际问题中用坐标表示位置（） 【例8】（23-24八年级下·河北唐山·单元测试）如图，淇淇从点O出发，先向东走15米，再向北走10米到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式8-1】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，这是轰炸机机群的一个飞行队形，如果其中两架轰炸机的坐标分别为和，那么轰炸机的坐标是 ． 【变式8-2】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图是莉莉绘制的某公园一角平面简图的一部分，已知卫生间的坐标为，凉亭的坐标为． (1)根据上述坐标，建立平面直角坐标系，并写出保安室的坐标； (2)已知便利店的坐标为，请在图中标出便利店的位置． (3)请直接写出上述四处中哪两处间距离最近． 【考点题型九】用方向角和距离确定物体的位置（） 【例9】（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在某一时刻，一艘货轮与导航灯相距10千米，我们用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置，那么导航灯相对于货轮的位置可描述为（  ） A．（北偏东， ） B．（南偏东， ） C．（北偏西， ） D．（南偏西， ） 【变式9-1】（八年级下·河北邢台·期末）如图，点表示学校的位置，点表示游泳馆的位置，且点在点的正北方向距点cm处（每个单位表示1cm）．请你利用直角三角板（或量角器）以及所学知识解答下列问题： （1）已知汽车站在学校的北偏东30°方向距学校3cm处，请标出汽车站的位置； （2）若公园与汽车站关于直线对称，请在图中标出公园的位置，并说明，对学校而言，公园在它的什么位置． 【考点题型十】根据方位描述确定物体的位置（） 【例10】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）某同学要从学校回家，所有道路的方向是向西或向北，若他的路线是．则阴影部分覆盖的数对可以是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】坐标与图形（） 【例11】（23-24八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若线段轴，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）若点在轴上，则的值为 ． 【变式11-2】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）正方形网格中每个小正方形的边长为一个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)点A的坐标为________________，点B的坐标为________________，点C的坐标为________________． (2)的面积为________________． (3)若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点P的坐标为________，最小距离为________． 【考点题型十二】点坐标规律探索（） 【例12】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值为（　　） A．3 B．0 C． D． 【变式12-1】（23-24八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，……，这样依次得到点，，，……，．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【变式12-2】（22-23八年级下·河北沧州·期中）已知，点． (1)若点P在x轴上，求m的值及P点的坐标； (2)若点P横、纵坐标互为相反数、求点P在第几象限？ (3)若点P和点Q都在过点且与y轴平行的直线上，，求Q点的坐标． 【考点题型十三】求点沿x轴、y轴平移后的坐标（） 【例13】（八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（21-22八年级下·河北石家庄·期末）已知，，点B在x轴正半轴上，且. (1)点B的坐标为___________；在如图所示的直角坐标系中出； (2)若将平移后点A的对应点的坐标为，则点C的对应点的坐标为___________； (3)若在y轴上存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为12，求点P的坐标. 【考点题型十四】由平移方式确定点的坐标（） 【例14】（23-24八年级下·河北张家口·期中）在平面直角坐标系中，点向下平移个单位长度后，得到对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，已知点，点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点，则的坐标为 ，的横坐标为 ，按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ．    【变式14-2】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； (3)将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 【考点题型十五】已知点平移前后的坐标，判断平移方式（） 【例15】（21-22八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数，则所得的图案与原来图案相比(   ) A．形状不变，大小扩大到原来的a倍 B．图案向右平移了a个单位 C．图案向上平移了a个单位 D．图案向右平移了a个单位，并且向上平移了a个单位 【变式15-1】（21-22八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形经过平移后得到三角形，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点为三角形内部一点，且与三角形内部的点对应，则对应点的坐标是 ． 【变式15-2】（21-22八年级下·河北承德·期中）三角形ABC为等腰直角三角形，其中，BC长为6． (1)以点A为坐标原点建立直角坐标系，并写出各个顶点的坐标； (2)将（1）中各顶点的横坐标都加2，纵坐标保持不变，与原图案相比，所得的图案有什么变化？ (3)将（1）中各顶点的横坐标不变，将纵坐标都乘－1，与原图案相比，所得的图案有什么变化？ (4)将（1）中各顶点的横纵坐标都乘以2，与原图案相比，所得的图案有什么变化？ 【考点题型十六】已知图形的平移，求点的坐标（） 【例16】（22-23八年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将向左平移3个单位后，的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式16-1】 （八年级下·河北石家庄·期中）线段是由线段平移得到的，点的对应点是点，则点的对应点的横坐标为 ． 【变式16-2】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中． (1)若将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到．若点A，B，C的对应点分别为，，，请画出平移后的，点的坐标为______． (2)将绕点O按逆时针方向旋转，画出旋转后对应的． 【考点题型十七】坐标与图形变化——轴对称（） 【例17】（23-24八年级下·河北承德·期末）点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期中）点与点关于轴对称，则的值为 ． 【变式17-2】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图是由边长为1的若干个小正方形拼成的方格图，的顶点，，均在小正方形的顶点上． (1)在图中建立恰当的平面直角坐标系，取小正方形的边长为1个单位长度，使点的坐标为，并写出，两点的坐标； (2)在（1）中建立的平面直角坐标系内画出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标． 【考点题型十八】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标（） 【例18】 （21-22八年级下·河北石家庄·期中）已知点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且，将线段AC先绕点C顺时针旋转，再向左平移2个单位长度后，得到，则点的坐标是（    ） A．（1，3） B．（－1，3） C．（－1，－3） D．（1，－3） 【变式18-1】（八年级下·河北唐山·期中）如图，的顶点坐标分别为，，．如果将绕点顺时针旋转，得到，那么点的对应点的坐标为 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 清单01 平面直角坐标系 （8个考点梳理+18题型解读） 清单01 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 清单02 坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 清单03 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 清单04 关于x轴、y轴对称的点坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 清单05 坐标与图形变化—对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 清单06 坐标与图形变化—平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 清单07 关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 清单08 坐标与图形变化—旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【考点题型一】用有序数对表示位置（） 【例1】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示的是（    ） A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F 【答案】D 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了有序数对表示位置，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．根据位置的表示方法，第一个数表示距雷达站的圈数，第二个数表示度数写出即可． 【详解】解：解：目标用表示，目标用表示， 第一个数表示距雷达站的圈数，第二个数表示度数， 表示为的目标是目标F． 故答案为：D． 【变式1-1】．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如果用表示3排2号，那么3排6号可表示成 ． 【答案】 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】 本题主要考查了实际问题中用有序数对表示位置，根据题意可知数对的第一个数表示排，第二个数表示号，据此可得答案． 【详解】解：如果用表示3排2号，那么3排6号可表示成， 故答案为：． 【变式1-2】．（22-23八年级下·河北秦皇岛·期中）如图为某校局部分布图.如果规定列号写在前面，行号写在后面（竖列横行），试用数对的方法表示出图中各个地点的位置. 实验楼______. 教学楼______.  图书馆______.  花坛______. 校门______.行政楼______. 【答案】，，，，， 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】根据图中的位置，即可一一求解． 【详解】解：由图可知： 实验楼，教学楼，图书馆，花坛，校门，行政楼， 故答案为：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了用数对表示位置，理解题意要求是解决本题的关键． 【考点题型二】写出直角坐标系中点的坐标（） 【例2】．（24-25八年级下·河北保定·开学考试）在平面直角坐标系中，点，第四象限一点到轴的距离为2，到轴的距离为1，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点到轴的距离是2 C．直线轴 D．点到原点的距离是 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了坐标与平面，两点之间距离公式，点到坐标轴的距离等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 先确定点，即可判断A、B、C，再由两点之间距离公式可判断D． 【详解】解：A、由于第四象限一点到轴的距离为2，到轴的距离为1，故，本选项错误，符合题意； B、点到轴的距离是2，正确，不符合题意； C、由于，，故轴，正确，不符合题意； D、点到原点的距离是，正确，不符合题意， 故选：A． 【变式2-1】．（2025八年级下·河北·专题练习）对于平面直角坐标系中的点，若（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．例如：的“属派生点”为，即． 点的“属派生点”的坐标为 ；若点的“属派生点”的坐标为，则点的坐标为 ； 【答案】 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形，二元一次方程组的应用．理解“属派生点”是解题的关键．根据“属派生点”的定义计算可得；设点的坐标为 ，根据“属派生点”定义及的坐标列出关于a、b的方程组，解之可得； 【详解】解：（1）由题意可得，点的“3属派生点”的坐标为： ，即：． （2）设，根据题意可得， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：，； 【变式2-2】．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）已知与关于y轴对称，点A，B，C的对称点分别是D，E，F． (1)在图中画出； (2)写出点D，E，F的坐标以及的面积． (3)在y轴上有一点P，且的值最小，画出点P，并保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)；4 (3)见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了轴对称作图，网格中求三角形的面积，轴对称的性质，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于y轴的对称点D，E，F，然后顺次连接即可； （2）根据图形写出点D，E，F的坐标，利用割补法求出三角形的面积即可； （3）根据轴对称的性质，找出点P的位置即可． 【详解】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示： （2）解：； ； （3）解：连接交轴于点，则点即为所求． 连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 【考点题型三】求点到坐标轴的距离（） 【例3】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，甲、乙两只小虫以相同的速度从点O同时出发，分别沿，两条路径匀速爬行一周（图中粗线）后返回原点，用时分别为和．若点，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，直接根据点到坐标轴的距离定义即可得出答案． 【详解】，， 甲小虫所走的距离为，乙小虫所走的距离为 甲、乙两只小虫的速度相同， 故选B． 【变式3-1】（22-23八年级下·河北秦皇岛·期中）第二象限的点P到x轴距离为2，到y轴距离为3．则P点坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】根据点所在象限的特征和点到坐标轴的距离求解即可． 【详解】解：设点P坐标为， ∵点P在第二象限， ∴，， ∵点P到x轴距离为2，到y轴距离为3， ∴，， ∴，， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查点所在的象限、点到坐标轴的距离，解答的关键是熟知点到x轴的距离为，到y轴距离为． 【变式3-2】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P在第四象限． ①点P到x轴的距离为2，求点P的坐标； ②我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．当点P是整点时，求m取值的个数． 【答案】(1) (2)①；②m取值的个数是2个 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查各象限内的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，一元一次不等式组的整数解． （1）根据x轴上的点的纵坐标为0，即可得到方程，求解即可； （2）①根据点在第四象限，且到x轴的距离为2可得，求解即可； ②根据点在第四象限，求出m的取值，进而可求出整数m的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， 解得； （2）解：①∵点在第四象限，且到x轴的距离为2， ∴ 解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②∵点在第四象限， ∴， 解得， ∴整数， ∴当点P是整点时，m取值的个数是2个． 【考点题型四】判断点所在的象限（） 【例4】（2025八年级下·全国·专题练习）如果点在第一、三象限的角平分线上，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，熟记第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等并列出方程是解题的关键． 根据第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列方程求出m的值，再求出点N的坐标，然后根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得， 所以，， ， 所以，点N的坐标为， 所以，点N在第四象限． 故选：D． 【变式4-1】．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）已知点在第三象限，则点在第 象限． 【答案】四 【知识点】求不等式组的解集、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系各象限的符号特征， 根据第三象限的符号特征可知，再求出a，b的取值范围，然后结合各象限符号特征得出答案． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 解得， ∴点在第四象限． 故答案为：四． 【考点题型五】已知点所在的象限求参数（） 【例5】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则a的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查了作图——基本作图，角平分线的性质，点的坐标特征．由作图痕迹得点在的平分线上，则点到轴和轴的距离相等，得到，再结合点在第二象限，即可得解． 【详解】解：由作图痕迹得点在的平分线上， ∴点到轴和轴的距离相等， ∴， 解得或， ∵ 点在第二象限， ∴，解得， ∴． 故选：A 【变式5-1】 （22-23八年级下·河北石家庄·期中）如果点在第三象限，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】直接利用第三象限点的性质得出m的取值范围． 【详解】解：由题意知第三象限点的坐标中，横坐标小于0，纵坐标小于0， 则， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确把握第三象限内点的符号是解题关键． 【变式5-2】（23-24八年级下·河北保定·期中）为平面直角坐标系内的一点． (1)若点M的横坐标不小于纵坐标，求m的取值范围． (2)若点M在第三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征及一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标及一元一次不等式的解法是解决本题的关键． （1）根据题意列出不等式求解即可； （2）点M在第三象限，说明该点的横坐标和纵坐标均为负数，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得． （2）由题意，得 解得． 【考点题型六】坐标与图形（） 【例6】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且，则线段的长度为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、坐标与图形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了二次根式的意义的条件，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是求出点A，B的坐标． 【详解】解：， ， ， 的坐标为， B的坐标为 ， ， 故选：B． 【变式6-1】（八年级下·河北邯郸·期末）平行于x轴的直线上的点的纵坐标一定( ) A．大于0 B．小于0 C．互为相反数 D．相等 【答案】D 【分析】根据平行线间的距离相等解答即可． 【详解】解：∵平行线间的距离处处相等， ∴平行于x轴的直线上的点的纵坐标一定相等． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，是基础题，需熟练掌握． 【考点题型七】点坐标规律探索（） 【例7】（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，设为坐标原点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，求出点，连接，根据三角形的面积公式，即可． 【详解】解：如图所示， ∵点关于轴的对称点是， ∴点， 连接，，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式7-1】（八年级下·河北石家庄·期中）如图，等边三角形ABC的边长为4，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作于点，过点作，交OC于点；过点作于点，过点作，交OC于点，则点的坐标是 ，按此规律进行下去，点的坐标是 【答案】 （3，） （） 【知识点】等边三角形的判定和性质、点坐标规律探索 【分析】根据图形算出A点、点、点的坐标，进而总结出坐标规律，即可完成本题． 【详解】如图，分别连接、、、、… ∵是等边三角形 ∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠A=∠ACB=60° ∵ ∴是AC的中点 ∵ ∴是BC的中点 ∴ ∴ 由勾股定理得 ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形，且边长为2 同理可得：点是中点，是的中点 ∴， ∴ ∴ 同理，是等边三角形，且边长为1 ∴， ∴ 同理，，，… 一般地， 根据上述规律得： 故答案为：（3，）， 【点睛】本题主要考查点的坐标的规律以及等边三角形的判定与性质，总结出点的规律是解题的关键，体现了由特殊到一般的数学思想，属于填空题中的压轴题． 【考点题型八】实际问题中用坐标表示位置（） 【例8】（23-24八年级下·河北唐山·单元测试）如图，淇淇从点O出发，先向东走15米，再向北走10米到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标系的意义，正确理解单位长度的意义是解题的关键．根据先向东走15米，再向北走10米到达点M，且点M的位置用表示，横坐标用了3个单位长度表示，得到一个单位长度表示5米，则的横坐标的绝对值为一个单位长度，纵坐标的绝对值是2个单位长度，由此解答即可． 【详解】解：根据先向东走15米，再向北走10米到达点M，且点M的位置用表示， 横坐标用了3个单位长度表示，得到一个单位长度表示5米， 则的横坐标的绝对值为一个单位长度，纵坐标的绝对值是2个单位长度， 故选：B． 【变式8-1】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，这是轰炸机机群的一个飞行队形，如果其中两架轰炸机的坐标分别为和，那么轰炸机的坐标是 ． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，在平面直角坐标系中确定点的位置的方法．根据和建立平面直角坐标系，然后写出轰炸机的坐标即可． 【详解】根据点和点的坐标建立平面直角坐标系，如图， ∴由图可得：轰炸机的坐标是． 故答案为：． 【变式8-2】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图是莉莉绘制的某公园一角平面简图的一部分，已知卫生间的坐标为，凉亭的坐标为． (1)根据上述坐标，建立平面直角坐标系，并写出保安室的坐标； (2)已知便利店的坐标为，请在图中标出便利店的位置． (3)请直接写出上述四处中哪两处间距离最近． 【答案】(1)建立平面直角坐标系见解析，保安室的坐标为 (2)见解析 (3)凉亭和卫生间距离最近 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查平面直角坐标系．利用平面直角坐标系的建立和在平面直角坐标系中确定点的位置的方法解题是关键． （1）根据卫生间的坐标为建立坐标系，根据保安室在坐标系中的位置写出其坐标即可； （2）直接在平面直角坐标系标注出便利店的位置即可； （3）根据四处在坐标系中的位置求解即可． 【详解】（1）∵卫生间的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图， ∴由所建立的平面直角系，即可得出保安室的坐标为； （2）∵便利店的坐标为， ∴便利店的位置如图所示． （3）根据四处在坐标系中的位置可得，凉亭和卫生间距离最近． 【考点题型九】用方向角和距离确定物体的位置（） 【例9】（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在某一时刻，一艘货轮与导航灯相距10千米，我们用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置，那么导航灯相对于货轮的位置可描述为（  ） A．（北偏东， ） B．（南偏东， ） C．（北偏西， ） D．（南偏西， ） 【答案】D 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了用方向角和距离确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．以点货轮为观测点，来描述导航灯的方向及距离即可． 【详解】解∶∵一艘货轮与导航灯相距10千米，我们用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置， ∴导航灯相对于货轮的位置可描述为（南偏西， ）， 故选∶D． 【变式9-1】（八年级下·河北邢台·期末）如图，点表示学校的位置，点表示游泳馆的位置，且点在点的正北方向距点cm处（每个单位表示1cm）．请你利用直角三角板（或量角器）以及所学知识解答下列问题： （1）已知汽车站在学校的北偏东30°方向距学校3cm处，请标出汽车站的位置； （2）若公园与汽车站关于直线对称，请在图中标出公园的位置，并说明，对学校而言，公园在它的什么位置． 【答案】（1）见解析；（2）见解析，公园在学校的北偏西30°方向距学校3cm处 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】（1）以学校O为基准，根据题中的方位和距离来作图，得出即可；（2）根据轴对称图形的性质来求得公园在学校的位置． 【详解】（1）如图: （2）点位置如图，·公园在学校的北偏西30°方向距学校处． 【考点题型十】根据方位描述确定物体的位置（） 【例10】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）某同学要从学校回家，所有道路的方向是向西或向北，若他的路线是．则阴影部分覆盖的数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据方位描述确定物体的位置 【分析】本题考查根据方位描述确定物体的位置，根据题中平移规则求解即可． 【详解】解：∵所有道路的方向是向西或向北， ∴某同学的路线是． 故选：A． 【变式10-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据方位描述确定物体的位置 【分析】此题考查的是根据方位角找出对应的图形，掌握方位角的定义是解决此题的关键． 根据方位角的定义判断即可． 【详解】解：A．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，故本选项符合题意； B．货轮A在岛屿O的南偏西方向上，故本选项不符合题意； C．货轮A在岛屿O的南偏东方向上，故本选项不符合题意； D．货轮A在岛屿O的北偏西方向上，故本选项不符合题意； 故选：A． 【考点题型十一】坐标与图形（） 【例11】（23-24八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若线段轴，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了点的坐标，掌握平行于y轴的点的纵坐标相等是解题的关键． 根据轴，得到A，B横坐标相等，从而求出a值，可得点B坐标，即可求出线段的长度． 【详解】解：∵，，轴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式11-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）若点在轴上，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形 【分析】本题考查了平面直角坐标系的定义、一元一次方程的应用等知识点，掌握x轴上点的纵坐标为零是解题的关键． 根据x轴上点的纵坐标为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得：． 故答案为：3． 【变式11-2】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）正方形网格中每个小正方形的边长为一个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)点A的坐标为________________，点B的坐标为________________，点C的坐标为________________． (2)的面积为________________． (3)若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点P的坐标为________，最小距离为________． 【答案】(1)；；； (2)2 (3)； 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与网格问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】题目主要考查坐标与图形，利用网格求三角形面积，轴对称的性质及确定一次函数解析式，勾股定理解三角形，结合图形，找出最短距离是解题关键． （1）直接根据图象即可确定点的坐标； （2）利用网格求三角形面积即可； （3）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P即为所求，利用待定系数法确定一次函数解析式，即可确定点P的坐标，再由网格及勾股定理即可得出最短距离． 【详解】（1）解：由图得：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 故答案为：；；； （2）的面积为：， 故答案为：2； （3）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P即为所求，如图所示： 设直线的解析式为，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 最小距离为：， 故答案为：；． 【考点题型十二】点坐标规律探索（） 【例12】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值为（　　） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是准确理解题意，发现变换规律，求出字母的值．求出、、、的坐标，找到规律，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，点的坐标为， 则，，，， 由此可知，每四次一循环， ∵， ∴与坐标相同， ∴，， 解得：，， ∴. 故选：A 【变式12-1】（23-24八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，……，这样依次得到点，，，……，．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标规律问题，正确找出规律是解题关键． 本题考查了平面直角坐标系中的点坐标规律问题．根据新定义可求出，由此发现，每四个点的坐标一个循环，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的伴随点为， ∴点的坐标为，即， ∵点的伴随点为． ∴点的坐标为，即， ∵点的伴随点为， ∴点的坐标为，即， 同理点的坐标为， 由此发现，每四个点的坐标一个循坏， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式12-2】（22-23八年级下·河北沧州·期中）已知，点． (1)若点P在x轴上，求m的值及P点的坐标； (2)若点P横、纵坐标互为相反数、求点P在第几象限？ (3)若点P和点Q都在过点且与y轴平行的直线上，，求Q点的坐标． 【答案】(1) (2)点P在第二象限 (3)或 【知识点】判断点所在的象限、点坐标规律探索 【分析】（1）由x轴上的点的纵坐标为，即可求解； （2）求出横纵坐标，根据象限符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限进行判断，即可求解； （3）平行轴的直线上的点的横坐标相同，可求点P和点Q的横坐标都为2，从而可求，进而即可求解． 【详解】（1）解：点P在x轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：根据题意得 ， 解得， ， ， 点P在第二象限； （3）解：点P和点Q都在过点且与y轴平行的直线上， 点P和点Q的横坐标都为2， ， 解得：， ， ， ， 点的纵坐标为10或2， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标轴上点的特征，象限符号特征，平行坐标轴的直线上的点的坐标特征，掌握相关的特征是解题的关键． 【考点题型十三】求点沿x轴、y轴平移后的坐标（） 【例13】（八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】根据平移的方向和距离确定点的坐标，向上平移2个单位长度，纵坐标加2；向左平移1个单位长度，横坐标减1． 【详解】向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的点是 即． 故选B． 【点睛】本题考查了根据平移的方向和距离确定点的坐标，平面直角坐标系的基本概念，平移的性质，理解平移的概念是解题的关键． 【变式13-1】（21-22八年级下·河北石家庄·期末）已知，，点B在x轴正半轴上，且. (1)点B的坐标为___________；在如图所示的直角坐标系中出； (2)若将平移后点A的对应点的坐标为，则点C的对应点的坐标为___________； (3)若在y轴上存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为12，求点P的坐标. 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)或 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、求点沿x轴、y轴平移后的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据题意即可得出． （2）根据平移的性质即可解得． （3）利用三角形面积公式列出求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可． 【详解】（1）∵，，点B在x轴正半轴上， ∴， ∴B的坐标为 ． 故答案为 如图； （2）∵A平移到， ∴平移距离，， ∵， ∴即． 故答案为 （3）设点P到x轴的距离为h，则，解得， 所以点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，利用网格求三角形面积，点沿x轴、y轴平移后的坐标． 【考点题型十四】由平移方式确定点的坐标（） 【例14】（23-24八年级下·河北张家口·期中）在平面直角坐标系中，点向下平移个单位长度后，得到对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，根据“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”，即可求解，掌握平面直角坐标系中点的平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，平移后点A的对应点的纵坐标为， ∴平移后对应点的坐标为， 故选：A ． 【变式14-1】（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，已知点，点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点，则的坐标为 ，的横坐标为 ，按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ．    【答案】 255 【知识点】由平移方式确定点的坐标、点坐标规律探索 【分析】根据平移方式得出点，，的坐标，然后找出横坐标的一般性规律，再利用规律解答． 【详解】解：由题意知，点，，，…， 而点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为，…， ∴点的横坐标为， ∴的横坐标为， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了点坐标规律探索，熟练掌握平移的性质，得出坐标的变化规律是解题的关键． 【变式14-2】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； (3)将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离、坐标与图形 【分析】（1）由点在轴上，得出纵坐标为，解得值并带入横坐标的代数式中即可得出答案． （2）由过点且与轴平行的直线上，得出、两点的横坐标相同，令的横坐标为，解得值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得出答案； （3）根据题意用含的代数式表示点的坐标，根据点的位置特征，解得m的值并带入点的坐标中，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， 把代入中得：， ∴点坐标为． （2）∵点在过点且与y轴平行的直线上， ∴点的横坐标为， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴点坐标为． （3）∵将点向右平移个单位，再向上平移个单位后得到点， ∴的坐标为，即， ∵在第三象限，且到轴的距离为， ∴点的横坐标为， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标及点的平移，掌握相关知识并熟练使用，坐标移动时的方向及求解时的符号是解答本题的关键． 【考点题型十五】已知点平移前后的坐标，判断平移方式（） 【例15】（21-22八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数，则所得的图案与原来图案相比(   ) A．形状不变，大小扩大到原来的a倍 B．图案向右平移了a个单位 C．图案向上平移了a个单位 D．图案向右平移了a个单位，并且向上平移了a个单位 【答案】D 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】根据题意，图案向右平移了a个单位，并且向上平移了a个单位，据此分析即可求解． 【详解】解：∵一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数， ∴图案向右平移了a个单位，并且向上平移了a个单位， 故选D 【点睛】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 【变式15-1】（21-22八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形经过平移后得到三角形，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点为三角形内部一点，且与三角形内部的点对应，则对应点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标 【分析】依据对应点的坐标变化，即可得到三角形向左平移个单位，向上平移个单位后得到三角形，进而得出点的坐标． 【详解】解：由图可得，，， 三角形向左平移个单位，向上平移个单位后得到三角形， 又点，为三角形内部一点，且与三角形内部的点对应， 对应点的坐标为，即， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化，关键是注意观察组成图形的关键点平移后的位置．解题时注意：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 【变式15-2】（21-22八年级下·河北承德·期中）三角形ABC为等腰直角三角形，其中，BC长为6． (1)以点A为坐标原点建立直角坐标系，并写出各个顶点的坐标； (2)将（1）中各顶点的横坐标都加2，纵坐标保持不变，与原图案相比，所得的图案有什么变化？ (3)将（1）中各顶点的横坐标不变，将纵坐标都乘－1，与原图案相比，所得的图案有什么变化？ (4)将（1）中各顶点的横纵坐标都乘以2，与原图案相比，所得的图案有什么变化？ 【答案】(1)图见解析，，， (2)向右平移了2个单位长度 (3)与原图案关于x轴对称 (4)形状不变，各边扩大到原来的2倍 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形 【分析】（1）以点A坐标原点，BC边的中垂线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由等腰直角三角形的性质和坐标与图形的性质即可得出各个顶点的坐标； （2）根据坐标变换得到点A、B、C的对应点A1、B1、C1，画出图形，即可得图案的变化； （3）根据坐标变换得到点A、B、C的对应点A、B2、C2，画出图形，即可得图案的变化； （4）根据坐标变换得到点A、B、C的对应点A、B3、C3，画出图形，即可得图案的变化． 【详解】（1）解：以点A坐标原点，BC边的中垂线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，∵BC=6，∴，，； （2）解：将（1）中各顶点的横坐标都加2，纵坐标保持不变，则A、B、C的对应点的坐标分别为A1（2，0）、B1（-1，-3）、C1（5，-3），画出图形，如图△A1B1C1， 则与原图案相比，整个图案向右平移了2个单位长度； （3）解：将（1）中各顶点的横坐标不变，将纵坐标都乘－1，则A、B、C的对应点的坐标分别为A2（0，0）、B2（-3，3）、C2（3，3），画出图形，如图△AB2C2， 则与原图案关于x轴对称； （4）解：将（1）中各顶点的横纵坐标都乘以2，则A、B、C的对应点的坐标分别为A3（0，0）、B3（-6，-6）、C3（6，-6），画出图形，如图△AB3C3， 则与原图案相比，所得的图案形状不变，各边扩大到原来的2倍； 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形变化，解题关键是熟练掌握坐标与图形之间对应的变化规律，根据坐标变化特点得到图形的变化，必要时可画出图形更直观． 【考点题型十六】已知图形的平移，求点的坐标（） 【例16】（22-23八年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将向左平移3个单位后，的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】根据平移的性质，将点的横坐标，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】解：依题意，将向左平移3个单位后，的对应点的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据平移确定点的坐标，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式16-1】 （八年级下·河北石家庄·期中）线段是由线段平移得到的，点的对应点是点，则点的对应点的横坐标为 ． 【答案】(1,-3) 【分析】已知点的对应点是点，可得线段向右平移4个单位，向上平移2个单位得到线段CD，继而求得点的对应点B坐标． 【详解】点的对应点是点 1-(-3)=4，4-2=2 ∴线段向右平移4个单位，向上平移2个单位得到线段CD ∵5-4=1，-1-2=-3 ∴点的对应点B坐标为(1，-3) 故答案为：(1，-3) 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，在平面直角坐标系内，横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 【变式16-2】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中． (1)若将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到．若点A，B，C的对应点分别为，，，请画出平移后的，点的坐标为______． (2)将绕点O按逆时针方向旋转，画出旋转后对应的． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析 【知识点】平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标、画旋转图形 【分析】本题考查了平移与旋转作图，掌握平移的性质与旋转的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可求解； （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．点的坐标为． （2）如图即为所求． 【考点题型十七】坐标与图形变化——轴对称（） 【例17】（23-24八年级下·河北承德·期末）点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，熟练掌握点的对称特点是解决本题的关键． 根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案． 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为， 故选：D． 【变式17-1】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期中）点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查关于轴，轴对称的点的坐标特征，根据平面直角坐标系中两点关于轴对称的特征，求出，的值，进而求出结果．解题的关键是掌握：关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反．也考查了求代数式的值和有理数的乘方运算． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【变式17-2】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图是由边长为1的若干个小正方形拼成的方格图，的顶点，，均在小正方形的顶点上． (1)在图中建立恰当的平面直角坐标系，取小正方形的边长为1个单位长度，使点的坐标为，并写出，两点的坐标； (2)在（1）中建立的平面直角坐标系内画出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析，，； (2)，， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了根据已知点的坐标建立平面直角坐标系、点关于y轴对称问题，正确建立平面直角坐标系是解题关键． （1）先根据点A的坐标确定坐标原点O的位置，再画坐标轴，然后根据B，C两点在坐标轴中的位置即可写出坐标； （2）先根据点关于y轴对称的性质得到，，的坐标，然后在坐标系中描出点，再连接即可． 【详解】（1）如图所示，平面直角坐标系如图所示， ∴，； （2）如图，即为所求： ∴，，． 【考点题型十八】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标（） 【例18】 （21-22八年级下·河北石家庄·期中）已知点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且，将线段AC先绕点C顺时针旋转，再向左平移2个单位长度后，得到，则点的坐标是（    ） A．（1，3） B．（－1，3） C．（－1，－3） D．（1，－3） 【答案】C 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转的性质求出旋转后点A对应点的坐标，进而根据平移的性质求出的坐标． 【详解】解：∵点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且， ∴． ∴点A绕点C顺时针旋转90°后的坐标为，再向左平移2个单位长度后的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，平移的性质，熟练掌握该知识点是解题关键． 【变式18-1】（八年级下·河北唐山·期中）如图，的顶点坐标分别为，，．如果将绕点顺时针旋转，得到，那么点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】画出旋转以后的图形，再根据全等，即可求出的坐标． 【详解】解：作出旋转以后的图形 如图所示： 再作AD⊥x轴，E⊥x轴 ∵∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠CE ∴∠DAC=∠CE ∵∠ADC=∠EC，AC=C ∴△ADC≌△CE ∴AD=CE=3，E=DC=2-1=1 ∴点（5，1） 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转以及全等，熟练的画出旋转以后的图形以及证明全等是解决本题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $