第18章 平行四边形微专题五特殊四边形的性质在动点问题中的巧用（解析版）-2024-2025学年人教版八年级数学下册微专题系列

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章 平行四边形 微专题五 特殊四边形的性质在动点问题中的巧用解题策略 特殊四边形动点问题的解题方法可归纳为以下核心策略： 一、基本策略 动中取静 在动态变化中寻找不变量（如边长、角度等），通过“静”的瞬间将一般问题转化为特殊情形，从而建立动与静的关系。 动静互化 结合动态过程与静态性质，通过分析特定时刻的几何形态（如矩形、菱形）列方程求解。 以动制动 建立图形中的数量关系（如线段长度、角度关系），通过代数方程或几何定理推导出运动参数。 二、具体解题步骤 （1）运动参数设定 设定动点运动时间、速度等参数，建立坐标系或几何关系式 （2）分类讨论  根据动点位置分情况讨论（如点是否到达终点、四边形类型变化等），分别建立方程或不等式。 （3）几何性质应用 利用平行四边形、菱形、梯形等特殊四边形的判定条件（如对边相等、对角线性质）列方程。 结合三角形全等、勾股定理等知识补充分析。 （4）函数与方程结合 建立边长、面积等随时间变化的函数表达式，通过代数运算求解关键参数 三、注意事项 画图辅助 ：通过动态轨迹图明确动点范围和关键位置。 分类全面 ：考虑运动终止条件、四边形类型变化等边界情况。 工具运用 ：适当使用代数、几何及函数知识综合分析。 通过以上策略与步骤，可系统解决特殊四边形动点问题1。 类型归纳 1. 巧用平行四边形性质解决动点问题 【例1-1】．如图，在直角坐标系中，点E为线段AB上一动点，点C为y轴上的一动点． （1）如图（1），若，过点E作于点M，连接CM，设，，判断四边形BCME的形状，请证明你的结论． （2）如图（2），过点E作交OA于点D，点F在线段AO上，设，，且点． ①若四边形CEFD为平行四边形，用含t的式子表示点C的坐标． ②若四边形CEFD为菱形，求t的值． 【变式1-1】．如图，在中，，，，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为． （1）当为何值时，是等边三角形？ （2）当为何值时，是直角三角形？ （3）过点作交于点，连接，求证：四边形是平行四边形． 【变式1-2】．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）两平行线与之间的距离是　 　． （2）当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． （3）连结，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为73，求t的值． 【变式1-3】．已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； （2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； （3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【变式1-4】．如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； （2）当______秒时，P，Q两点相遇； （3）是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 2. 巧用菱形性质解决动点问题 【例2-1】．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段上有一点，且，当运动　 　秒时，四边形的周长最小，并写出点的坐标　 　． 【变式2-1】．．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． （1）当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 【变式2-2】．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. （1）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （2）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 【变式2-3】．．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，，，，动点P从A点开始沿AD边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿CB边以的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形； （2）当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？ （3）问：四边形PQCD是否能成菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由. 【变式2-4】．如图，在平行四边形ABCD中，，，平行四边形ABCD的面积为．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AD向点D运动；同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿CB向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P、Q运动时间为t秒，回答下列问题： （1）求t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？此时平行四边形PDCQ是否是菱形？请说明理由． （2）是否存在t的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 3. 巧用矩形性质解决动点问题 【例3-1】．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发沿边以的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CB边以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． （1）当 时，四边形是矩形． （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当时，直接写出的长为 ． 【变式3-1】．如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的平分线于点． （1）线段与的位置关系是　 　； （2）探究：线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （4）在的前提下，直接写出满足什么条件时，四边形是正方形． 【变式3-2】．如图，在中，O是边上的一个动点，过点O作直线，交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）连接，当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 【变式3-3】．在矩形中，，，若是射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为．连接，，当，，三点共线时，的长为　 　． 4. 巧用正方形性质解决动点问题 【例4-1】． 如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒． （1）运动时间为　 　秒时，点与点相遇； （2）求为何值时，是等腰三角形？ （3）用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围； （4）连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）． 【变式4-1】． 如图， 正方形 边长为 6 ， 点 是线段 上一点， 且 ， 点 是直线 上一动点， 以 为边作正方形 逆时针排列)， 连结 ， 直线 与直线 交于点 . 若点 中的任意一点到其余两点距离相等， 则 的长为　 　. 【变式4-2】． 如图， 是等腰直角三角形， 分别是 上的动点， 且满足 是 的中点． （1） 求证： 是等腰直角三角形． （2） 当点 运动到什么位置时，四边形 是正方形? 请说明理由． 【变式4-3】．如图所示，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由． （2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程． （3）点O运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ 5. 综合运用特殊四边形性质解决动点问题 【例5-1】如图1，四边形是菱形，点E，点F分别是，边上的动点，，连接，交对角线于点G，H． （1）求证：； （2）如图2，连接，，请判断四边形是什么特殊四边形？并说明你的理由； （3）在图2中，如果，，试探究在点E，F运动过程中，如果四边形成为正方形，则的长度是多少？（请直接写出答案） 【变式5-1】．如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）求证：； （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论． （3）当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【变式5-2】．如图，在矩形ABCD中，点M是边AD的中点，点P是边BC上的动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为点E，F． （1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？证明你的结论； （2）如果四边形PEMF为矩形，那么当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？能证明你的猜想吗？ 【变式5-3】．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． （1）边的长度为______，的取值范围为______． （2）从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ （3）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章 平行四边形 微专题五 特殊四边形的性质在动点问题中的巧用（解析版）解题策略 特殊四边形动点问题的解题方法可归纳为以下核心策略： 一、基本策略 动中取静 在动态变化中寻找不变量（如边长、角度等），通过“静”的瞬间将一般问题转化为特殊情形，从而建立动与静的关系。 动静互化 结合动态过程与静态性质，通过分析特定时刻的几何形态（如矩形、菱形）列方程求解。 以动制动 建立图形中的数量关系（如线段长度、角度关系），通过代数方程或几何定理推导出运动参数。 二、具体解题步骤 （1）运动参数设定 设定动点运动时间、速度等参数，建立坐标系或几何关系式 （2）分类讨论  根据动点位置分情况讨论（如点是否到达终点、四边形类型变化等），分别建立方程或不等式。 （3）几何性质应用 利用平行四边形、菱形、梯形等特殊四边形的判定条件（如对边相等、对角线性质）列方程。 结合三角形全等、勾股定理等知识补充分析。 （4）函数与方程结合 建立边长、面积等随时间变化的函数表达式，通过代数运算求解关键参数 三、注意事项 画图辅助 ：通过动态轨迹图明确动点范围和关键位置。 分类全面 ：考虑运动终止条件、四边形类型变化等边界情况。 工具运用 ：适当使用代数、几何及函数知识综合分析。 通过以上策略与步骤，可系统解决特殊四边形动点问题1。 类型归纳 1. 巧用平行四边形性质解决动点问题 【例1-1】．如图，在直角坐标系中，点E为线段AB上一动点，点C为y轴上的一动点． （1）如图（1），若，过点E作于点M，连接CM，设，，判断四边形BCME的形状，请证明你的结论． （2）如图（2），过点E作交OA于点D，点F在线段AO上，设，，且点． ①若四边形CEFD为平行四边形，用含t的式子表示点C的坐标． ②若四边形CEFD为菱形，求t的值． 【答案】（1）解：四边形BCME为平行四边形，理由如下： ∵EM⊥OA ∴∠AME=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠AME=∠AOB， ∴ME//OB， ∵AE=2t，∠BAO=30°，∠AME=90°， ∴EM=AE=t， ∵BC=t， ∴EM=BC， ∴四边形BCME为平行四边形. （2）解： ①∵，，，∴， ∵， ∴，解得：， 根据题意得：轴，∴， ∴， ∴四边形OCEG为矩形， ∴．∴． ②∵四边形CEFD为菱形：， ∵，，∴， ∵在直角三角形AED中，， ∴，∴， ∵，∴，∴． 【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质 【解析】【分析】(1)借助垂直的意义证明∠AME=∠AOB，根据平行线的判定可得ME//OB，利用含有30度角的直角三角形的性质可用t表示出EM，从而可说明EM=BC，四边形BCME满足“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得结论成立； （2） ① 先用t表示出AD，再根据三角形ADE的两种不同算法，得到关于EG的方程，可用t表示出EG，再说明四边形OCEG是矩形，从而可t表示出OC，就可用t表示出点C的坐标； ②借助菱形的性质，用t表示出DG，再用t表示出EF，OD，根据OD+AD=8，得到关于t的方程求解. 【变式1-1】．如图，在中，，，，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为． （1）当为何值时，是等边三角形？ （2）当为何值时，是直角三角形？ （3）过点作交于点，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）解：在中，， ， 当时，， ， ， 是等边三角形． 当时，是等边三角形； （2）解：若，如图， ， ， ， ， ； 若，则如图， ， ， 综上所述，当时，是直角三角形． （3）证明：设，则， ，， ， 根据点，的运动速度可得， ，， ， ， 又， ． ， 四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【知识点】平行四边形的判定；三角形-动点问题 【解析】【分析】(1)由∠A=60°，当AP=AF时，列出方程即可得t的值； (2)分别讨论点F、P为直角顶点时，利用特殊有∠A=60°的边角关系可得对应的t的值； (3)设BF=x，再分别求出PD和AF的长度，即可说明AFDP为平行四边形. 【变式1-2】．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）两平行线与之间的距离是　 　． （2）当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． （3）连结，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为73，求t的值． 【答案】（1） （2）解：在中， ，，，， Ⅰ当四边形为平行四边形时，，，， Ⅱ当四边形为平行四边形时，，，， 综上所述当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，或 （3）解：如图 Ⅰ当P在边上时，，解得，（舍去）． Ⅱ当P在边上时，，解得， 综上所述或时，平行四边形的面积为．​​​​​​ 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质 【解析】【解答】解：(1)过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD=4，∠A=60°， ∴∠ADE =30°， ∴AE=2， ∴DE==； 故答案为：. 【分析】(1)过点D作DE⊥AB于点E，由勾股定理可得出答案； (2)分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； (3)分两种情况，列出t的方程可得出答案. 【变式1-3】．已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； （2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； （3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DPC＝∠PCB， ∵CP平分∠BCD， ∴∠PCD＝∠PCB， ∴∠DPC＝∠DCP， ∴DP＝DC， ∵CD＝CP， ∴PC＝CD＝PD， ∴△PDC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠D＝60°； 故答案为： （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD＝2cm， ∴S△PBC＝S△FAB＝S▱ABCD， ∴S△ABP＋S△PCD＝S▱ABCD， ∴S△APF＋S△ABP＝S△ABP＋S△PCD， ∴S△APF＝S△PCD， 如图所示，过点C作CK⊥AD于点K，则DK＝PD＝CD＝1cm， ∴CK＝cm， ∴S△APF＝S△PCD＝××2＝cm2； 故答案为： （3）解：如图所示： ∵PD∥BC， ∴当PD＝BQ时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ①当0≤t≤3时，PD＝12−t，BQ＝12−4t， ∴12−t＝12−4t，解得：t＝0； ②当3≤t≤6时，PD＝12−t，BQ＝4t−12， ∴12−t＝4t−12，解得：t＝4.8； ③当6≤t≤9时，PD＝12−t，BQ＝36−4t， ∴12−t＝36−4t，解得：t＝8； ④当9≤t≤12时，PD＝12−t，BQ＝4t−36， ∴12−t＝4t−36，解得：t＝9.6； ∴0s或4.8s或8s或9.6s时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 故答案为：或或或 【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题 【解析】【分析】（1）先证出△PDC是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得∠ABC＝∠D＝60°； （2）过点C作CK⊥AD于点K，则DK＝PD＝CD＝1cm，利用勾股定理求出CK的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可； （3）分类讨论：①当0≤t≤3时，则PD＝12−t，BQ＝12−4t，②当3≤t≤6时，则PD＝12−t，BQ＝4t−12，③当6≤t≤9时，则PD＝12−t，BQ＝36−4t，④当9≤t≤12时，则PD＝12−t，BQ＝4t−36，再分别列出方程求解即可. 【变式1-4】．如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； （2）当______秒时，P，Q两点相遇； （3）是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）解：存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒．理由： ①当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． ②当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． 综上，存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒． 【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题 【解析】【解答】（1）解：动点从点出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动， 点t秒运动的距离为， ， 当点在上运动时，， 故答案为：； （2）解：在中，，， 的周长为． 由题意得：点经过秒运动的距离为，点经过秒运动的距离为， ，两点相遇时，， ， ． 当秒时，，两点相遇． 故答案为：。 【分析】 （1）结合题意利用距离速度时间的关系式解答即可； （2）利用的代数式表示出点，移动的距离，再利用两点移动的距离之和为平行四边形的周长列方程解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当为平行四边形时，利用平行四边形的对边相等的性质列出关于的方程解答即可；②当为平行四边形时，利用同样的方法解答即可． 2. 巧用菱形性质解决动点问题 【例2-1】．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段上有一点，且，当运动　 　秒时，四边形的周长最小，并写出点的坐标　 　． 【答案】（1）解：四边形为矩形，，， ，， 点是的中点， ， 由运动知，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：当点在的右边时，如图， 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ； ， ； 当点在的左边且在线段上时，如图， 同的方法得出， ， 当点在的左边且在的延长线上时，如图， 同的方法得出，， （3）； 【知识点】平行线的性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；四边形-动点问题 【解析】【解答】解：（3）如图，由知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为 ， 最小时，四边形的周长最小， 作点关于的对称点，连接交于， ， ， ， ，， ，． 故答案为：，． 【分析】本题考查平行四边形判定、矩形性质、菱形判定与性质和四边形的动点问题。 （1）根据矩形的性质和已知条件，可得OD=5，CB=10，四边形PODB为平行四边形，可得PB=OD，即10-2t=5，求解即可； （2）四边形ODQP为菱形，则分情况讨论，有OD=PQ=OP=5，当点Q在P的右边，在P的左边，在P和y轴的左边时，根据菱形性质，则可得Q点坐标； （3）要使四边形OAMP周长最小，OA和PM定长，则只需OP和AM和最小即可。易证四边形OPMD为平行四边形，可得OP=DM，则只需DM和AM和最小，作点A关于BC的对称点E，连接DE，则DE为DM和AM的最小值，交BC于M，根据对称，则，得PC长，CM长，则时间t可知，M点坐标可知。 【变式2-1】．．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． （1）当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 【答案】（1）秒 （2）解：①如图，当点在的右边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在的左边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，秒时，；秒时， （3）解：由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为： ∴最小时，四边形的周长最小， ∴作点关于的对称点，连接交于， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴的最小值为：， ∴四边形的周长最小值为． 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质；四边形-动点问题 【解析】【解答】解：（1）∵四边形为矩形，，，∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动，点的运动时间为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：秒； 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，，根据平行四边形的性质可得，解之可得； （2）分两种情况讨论：当点在的右边时，当点在的左边时，利用菱形的性质和勾股定理进行求解即可； （3）由（1）知：，先证四边形是平行四边形，则四边形的周长为：，最小时，四边形的周长最小，得出最小，作点关于的对称点，连接交于，根据两点之间线段最短可得最小，即最小，根据勾股定理可得的最小值为：，四边形的周长最小值为． （1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动，点的运动时间为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：秒； （2）解：①如图，当点在的右边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在的左边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，秒时，；秒时，； （3）如图，由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为： ∴最小时，四边形的周长最小， ∴作点关于的对称点，连接交于， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴的最小值为：， ∴四边形的周长最小值为． 【变式2-2】．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. （1）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （2）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 【答案】（1）解：过点B作于H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， Q在上运动时间为， ， 运动时间最长为， 当点Q在上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形， 当时，在边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形， 即 只需即可， 由题意得，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形， 同理 只需，四边形是平行四边形 ∵， 解得： 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； ​​​​​​ （2）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形 只需满足即可 由题意得，，， 解得：， 当Q点的速度为时，四边形为菱形 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题 【解析】【分析】（1）过点B作于H，证明四边形是矩形，得到，则，在中，由勾股定理得；则Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行求解即可； （2）设Q的速度为，当点Q在边上时，四边形可为菱形，满足，由题意得，，，，则，解得：，，即当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【变式2-3】．．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，，，，动点P从A点开始沿AD边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿CB边以的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形； （2）当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？ （3）问：四边形PQCD是否能成菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由. 【答案】（1）解：根据题意得：，，，，， ，， ∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°， ∴当时，四边形ABQP是矩形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形ABQP是矩形； （2）∵在梯形ABCD中，， ∴当时，四边形PQCD是平行四边形， ∴， 解得：， 当时，四边形PQCD是平行四边形； （3）若四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD是平行四边形， 根据（2）得：， ∴， 过点D作于E， ∴四边形ABED是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形PQCD不可能是菱形． 【知识点】平行线的判定；菱形的判定；矩形的判定；四边形-动点问题 【解析】【分析】（1）先根据点P、点Q的运动速度分别表示出AP、BQ的长， 由梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，可知当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，据此得到方程t=26-3t，解方程即可得到答案； （2）由 得到PD∥CQ，可知当时，四边形PQCD是平行四边形，据此得出方程24-t=3t，解方程即可得到答案； （3） 若四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD是平行四边形， 根据（2）中t=6s可得此时PD=18cm，利用勾股定理求出CD的长，得到PD≠CD，据此即可判断四边形PQCD不可能是菱形. 【变式2-4】．如图，在平行四边形ABCD中，，，平行四边形ABCD的面积为．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AD向点D运动；同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿CB向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P、Q运动时间为t秒，回答下列问题： （1）求t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？此时平行四边形PDCQ是否是菱形？请说明理由． （2）是否存在t的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：如图：平行四边形PDCQ不是菱形，理由如下： 在平行四边形ABCD中，， 要使四边形PDCQ是平行四边形，只需， 即， 解得； 当，， ∵在平行四边形ABCD中，， ∴， ∴平行四边形PDCQ不是菱形． （2）解：存在，理由如下： ①若，如图： 由得：，∴； ②若，过D作于H，如图： ∵平行四边形ABCD的面积为，， ∴，∴， ∴， ∵，，∴，∴，∴； ③若，过D作于H，如图： 在中，，，， 由勾股定理得：，，解得：； 综上所述，存在t的值，使得是等腰三角形，t的值为：4或或． 【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；四边形-动点问题 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出关于t的方程，据此求出t的值，最后利用菱形的判定定理即可求解； （2）根据题意需分三种情况讨论，①若，②若，过D作于H，③若，过D作于H，分别利用平行四边形的性质得出方程，进而解方程即可求解. 3. 巧用矩形性质解决动点问题 【例3-1】．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发沿边以的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CB边以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． （1）当 时，四边形是矩形． （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当时，直接写出的长为 ． 【答案】（1）6 （2）解：在四边形中，， 当时，四边形是平行四边形， 根据（1）得：， 解得：， 当时，四边形是平行四边形； （3） 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题 【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，， ，，， ，， 在四边形中，，， 当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）如图所示，过点P作 当时，， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴． 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由在四边形中，，，由矩形的判定可知：当时，四边形是矩形，由动点P和Q走过的路程可知：AP=tcm，BQ=(24-3t)cm ，由AP=BQ，代入数据可得方程：，解得t的值即可求得答案． （2）由在四边形中，，由平行四边形的判定一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：当时，四边形是平行四边形，由动点P和Q走过的路程可知：AP=tcm，BQ=(24-3t)cm，由线段的和差可知：PD=AD-AP=22-t；QC=BC-BQ=24-（24-3t）=3t，由PD=CQ，代入数据可得方程：，解得t的值即可求得答案； （3）过点P作，首先证明出u矩形的判定：三个角是直角的四边形是矩形可知：四边形是矩形，得到，，由线段的和差可知：，然后在Rt△PEQ中由勾股定理可知：，代入数据即可得出答案。 【变式3-1】．如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的平分线于点． （1）线段与的位置关系是　 　； （2）探究：线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （4）在的前提下，直接写出满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】（1） （2）解：结论：． 理由如下为的平分线，为的平分线， ，， ， ，， ， ，， ． （3）解：运动到中点时，四边形是矩形． 理由如下： 为中点， ， 由（2）得：， 四边形平行四边形，且， 四边形为矩形， 当点运动到中点时，四边形为矩形． （4）解：当时，矩形是正方形． 理由如下：，， ， ， 矩形是正方形． 【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定；正方形的判定；角平分线的概念 【解析】【解答】（1），理由如下： ∵CE平分∠ACB ∴ 同理： ∴ ∴CE⊥CF 【分析】 （1）先根据角平分线定义得出：，，再根据，得出CE⊥CF （2）先根据角平分线定义得出：，，再根据，得出： ，，再根据等量代换，得出：，，从而得出：OE=OC=OF （3）当运动到中点时，又因为，可得：四边形平行四边形，又因为，因此四边形为矩形 （4）当时，因为，所以AC⊥EF，矩形是正方形. 【变式3-2】．如图，在中，O是边上的一个动点，过点O作直线，交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）连接，当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1）证明：平分平分 又 又 又 （2）解：， 即： 又， 又 （3）解：当点O运动到边的中点时，四边形是矩形 理由如下： ∴四边形为平行四边形 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形 【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定 【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，再利用等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用等量代换可得； （2）先利用勾股定理求出，再结合，求出即可； （3）先证出四边形为平行四边形，再结合，即可证出四边形为矩形. 【变式3-3】．在矩形中，，，若是射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为．连接，，当，，三点共线时，的长为　 　． 【答案】1或9 【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：当点线段上时，如图， 与关于直线对称， ，，， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得， ； 当点在的延长线时，如图， 与关于直线对称， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为1或9， 故答案为：1或9． 【分析】 首先，确定M的位置，根据对称性质，可得BM=3。利用勾股定理可求得MC=4。当P在AD上时，AP=PM=x，根据直角三角形BPD（或BPC）中的勾股定理，可以列出方程求解x，得到x=1。当P在AD延长线上时，AP=PM=9，因为此时P点到C点的总距离为AD+DC+MC=3+5+4=12，而AP=PM，所以AP=9。 4. 巧用正方形性质解决动点问题 【例4-1】． 如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒． （1）运动时间为　 　秒时，点与点相遇； （2）求为何值时，是等腰三角形？ （3）用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围； （4）连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）． 【答案】（1） （2）解：∵正方形 ∴， ①当时，此时与重合，； ②当时，此时与重合，； ③当时，在的垂直平分线上，即为中点，此时； 综上所述，当或或2时，是等腰三角形 （3）解：①如图2中，当，点在上时，． ②如图3中，当，点在上时，． ③如图4中，当，点在上时，． 综上所述，． （4）解：如图5中， ①当时，，此时，； ②当时，，此时，； ③当时，，此时，； ④当时，，此时与重合，； 综上所述，为或或或时，当以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等． 【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题 【解析】【解答】解：（1）设t秒后，点P与点Q相遇， ∴， ∴ 故答案为：； 【分析】（1）设t秒后，点P与点Q相遇，根据相遇问题中，相遇时间等于路程除以两者速度之和，据此列出方程，据此即可求解； （2）根据正方形的性质得到：AB=AD=CD=BC=4，进而由题意可知需分三种情况讨论，①当AB=AQ时，此时D与Q重合，②当AB=BQ时，此时C与Q重合，③当BQ=AQ时，Q在AB的垂直平分线上，即Q为CD中点，分别根据线段间的数量关系即可求出t的值，进而即可求解； （3）由题意可知需分三种情况讨论，①当，点Q在AD上时，②当，点Q在CD上时，③当，点Q在BC上时，分别根据三角形面积公式即可求解； （4）由题意可知需分四种情况讨论，①当DQ1=BP时，△CDQ1≌△ABP，②当DQ2=BP时，△ADQ2≌△ABP，③当CQ3=BP时，△BCQ3≌△ABP，④当BQ4=BP时，△ABQ4≌△ABP，分别根据全等三角形的性质即可列出关于t的方程，进而即可求解. 【变式4-1】． 如图， 正方形 边长为 6 ， 点 是线段 上一点， 且 ， 点 是直线 上一动点， 以 为边作正方形 逆时针排列)， 连结 ， 直线 与直线 交于点 . 若点 中的任意一点到其余两点距离相等， 则 的长为　 　. 【答案】 或 或 【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【解答】 解：（1）当AH=AP时，点P与F重合，过点H作HN⊥AB于N，HM⊥BC于M，则∠M=∠ANH=90° ∵ 正方形 边长为 6 ， ∴CE=BC-BE=6-2=4 ∴HN∥AD ∵∠AHN=∠PAD ∠ADP=∠ANH=90° AH=AP ∴△AHN≌△PAD(AAS) HN=AD=4 ∴BM=HN=4 ∴ME=MB＋BE=6＋2=8 ∵∠HEM＋∠PEC=90°，∠EHM＋∠HEM=90° ∴∠PEC=∠EHM ∵∠M=∠C=90°，EH=EP ∴△EHM≌△PEC(AAS) ∴PC=ME=8 在Rt△EFC中， (2)当AH=HP时，过点H作NQ⊥AB于N，交CD于Q，HM⊥BC于M ∵∠AHN=PHQ，∠ANH=∠PQH=90° ∴△ANH≌△PQH(AAS) ∴ ∵BE=2，EC=4 ∴EM=1 同（1）得：△HME≌△ECF(AAS) ∴EM=CF=1 在Rt△EFC中， (3)当AP=PH，过点H作HN⊥AB于N，交CD于Q，HM⊥BC于M 同（2）得：△ADP≌△HQP(AAS)，△HME≌△ECF(AAS) ∴HQ=AD=CM=6，HM=EC=4 ∴MB=BC＋CM=10 在Rt△EFC中， 故答案为 ： 或 或. 【分析】 本题需要分三种情况讨论： （1）当AH=AP时，点P与F重合，过点H作HN⊥AB于N，HM⊥BC于M，先证明：△AHN≌△PAD(AAS)，得出BM=HN=AD=4，得出ME=MB＋BE=8再根据一线三垂直，证明：△EHM≌△PEC(AAS)，得出PC=ME=8，再根据勾股定理：，求出EF的值 （2）当AH=HP时，过点H作NQ⊥AB于N，交CD于Q，HM⊥BC于M，先证明△ANH≌△PQH(AAS)，得出 ：，从而EM=1，同理（1）得：△HME≌△ECF(AAS)，得出：EM=CF=1，最后根据勾股定理：求出EF即可 （3）当AP=PH，过点H作HN⊥AB于N，交CD于Q，HM⊥BC于M，同理，可得：. 【变式4-2】． 如图， 是等腰直角三角形， 分别是 上的动点， 且满足 是 的中点． （1） 求证： 是等腰直角三角形． （2） 当点 运动到什么位置时，四边形 是正方形? 请说明理由． 【答案】（1）解：连接AD，如图所示： ∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠DAQ＝∠B， 在△BPD和△AQD中， ， ∴△BPD≌△AQD（SAS）， ∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP， ∵∠BDP＋∠ADP＝90° ∴∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°， ∴△PDQ为等腰直角三角形； （2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下： ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点， ∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， 当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90°， 又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°， ∴四边形APDQ为矩形， 又∵DP＝AP＝AB， ∴矩形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）． 【知识点】正方形的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）连接AD，先利用“SAS”证出△BPD≌△AQD，可得PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP，再利用角的运算和等量代换可得∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°，即可证出△PDQ为等腰直角三角形； （2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形，先证出△ABD是等腰直角三角形，再证出四边形APDQ为矩形，最后结合DP＝AP＝AB，即可证出矩形APDQ为正方形. 【变式4-3】．如图所示，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由． （2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程． （3）点O运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ 【答案】（1）猜想：OE=OF． 理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC= ∠ BCE，∠OFC=∠CCF． 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠CCO， ∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF， ∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC， ∴OE=OC ， OF=OC，∴OE=OF． （2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： 当点O运动到AC的中点时，OA=OC． 又∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形． ∵OF=OC，∴OA =OC=OE=OF，∴OA+OC=OE+OF， 即AC=EF，∴四边形AECF是矩形． （3）解：当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．理由如下： 由(2)得当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． ∵MN∥ BC，当∠ACB=90°时，∠AOE=∠ACB=90° ，∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；角平分线的概念；四边形-动点问题 【解析】【分析】(1)先利用平行线的性质证得∠OEC= ∠ BCE，∠OFC=∠CCF，再通过角平分线的定义可得∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，进而证得OE=OC=OF. (2)当点O运动到AC的中点时，利用OA=OC，EO=FO判定四边形AECF是平行四边形，再通过OC=OF可得AC=EF，进而证得四边形AECF是矩形． (3)由(2)得当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，要使得四边形AECF是正方形，则AC⊥EF，由平行线的性质可得∠ACB=90° ，故当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形． 5. 综合运用特殊四边形性质解决动点问题 【例5-1】如图1，四边形是菱形，点E，点F分别是，边上的动点，，连接，交对角线于点G，H． （1）求证：； （2）如图2，连接，，请判断四边形是什么特殊四边形？并说明你的理由； （3）在图2中，如果，，试探究在点E，F运动过程中，如果四边形成为正方形，则的长度是多少？（请直接写出答案） 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形， 证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 同理：， 又∵由（1）可知：， ∴， ∴四边形是菱形； （3） 【知识点】菱形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】（3） 解：连接 ，如图： ∵四边形 是菱形， ， ∴ ， ， ∵四边形 成为正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 【分析】（1）利用菱形的性质求出 ，， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可； （2）利用菱形的性质求出 ，， 再求出 ， 最后利用菱形的判定方法证明即可； （3）结合图形，利用菱形和正方形的性质计算求解即可。 【变式5-1】．如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）求证：； （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论． （3）当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【答案】（1）证明： ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴． （2）解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形． ∵当点O运动到的中点时，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 由（1）可知，， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． （3）解：当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形． ∵由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；矩形的判定；正方形的判定；等腰直角三角形 【解析】【分析】（1）根据平行线和角平分线，找出图中的两个等腰三角形，从而得到EO=CO，FO=CO，进一步得出结论EO=FO。 （2）先考虑满足四边形AECF是平行四边形的条件是AO=CO，然后结合∠ECF=90°，得出此时四边形AECF也是矩形； （3）想要满足四边形AECF是正方形，需要满足CE=CF，又知∠ECF=90°，所以三角形ECF是等腰直角三角形，此时∠ECO=45°，CE又是∠ACB的平分线，故∠ACB=90°，故可以得出当△ABC满足∠ACB=90°的直角三角形时，四边形AECF是正方形。 【变式5-2】．如图，在矩形ABCD中，点M是边AD的中点，点P是边BC上的动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为点E，F． （1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？证明你的结论； （2）如果四边形PEMF为矩形，那么当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？能证明你的猜想吗？ 【答案】（1）解：条件：. 点是边的中点， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形. （2）解：当点运动到的中点位置时，矩形变为正方形. 如图，连接， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 点是的中点，， ，， ，， 点是的中点，点是的中点， ，， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形. 【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定 【解析】【分析】(1)要使四边形PEMF为矩形，只需证明是直角即可.而根据矩形的性质和中点M可以得到边角边条件证明与全等，而要使是直角，则与是等腰直角三角形，故添加条件应为. (2)已知四边形PEMF为矩形，要使其变为正方形则可条件邻边相等的条件.由（1）可得与全等，进而得知是等腰直角三角形，所以要使点P到MB、MC的距离相等，则点P在的角平分线上，即点P是BC的中点. 【变式5-3】．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． （1）边的长度为______，的取值范围为______． （2）从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ （3）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10， （2）解：如图所示，当ABQP是矩形时，AP=BQ， ，， ， 解得：； ∴当t=6时，四边形ABQP是矩形； （3）解：不存在，理由如下： 当四边形PQCD是菱形时，有CQ=CD， 即， ， 此时， ， 四边形PQCD不可能是菱形． 【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的判定与性质 【解析】【解答】（1）解：如图1，过点作于，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 由勾股定理得：； 点从点出发，以的速度向点运动，， 点运动到的时间为：， 同理得：点运动到点的时间为：， ； 故答案为：10，； 【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，则∠DEB=∠DEC=90°，由二直线平行，同旁内角互补可求出∠A=90°，从而根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABED是矩形，由矩形的对边相等可求出DE、BE的长，进而根据勾股定理算出CD；根据两动点P，Q运动路程和速度可得的取值范围； （2）根据矩形的对边相等可得AP=BQ，列方程即可求解； （3）当四边形PQCD是菱形时，有CQ=CD，根据计算发现DP≠CD，所以四边形PQCD不可能是菱形. （1）解：如图1，过点作于，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 由勾股定理得：； 点从点出发，以的速度向点运动，， 点运动到的时间为：， 同理得：点运动到点的时间为：， ； 故答案为：10，； （2）解：如图所示，当是矩形时，， ，， ， 解得：； （3）解：不存在，理由： 当四边形是菱形时，有， 即， ， 此时， ， 四边形不可能是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $$