解三角形2（有图类）讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【解三角形2（有图类）】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【类型1：基础类求解】 1. 在已知条件多的三角形中利用正余弦定理先解三角形，有时候解一个三角形有时候解多个三角形。知识讲解 2. 在多个三角形结合时往往需要注意角度的练习，使用两角和差公式与二倍角公式。 例题精选 【例题1】（2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，结合余弦定理，表示出与，根据列式化简可得. （2）先确定角的数量关系，根据求角的三角函数，再在中用正弦定理，可求的长. 【详解】（1）设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以. 化简得：. 故为中点. （2）如图： 过点做，交与. 则. 由（）. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由 所以. 又，所以，所以. 所以. 即. 在中，根据正弦定理，可得：. 【例题2】（2025·江西·一模）如图，在中，的平分线与AB交于点，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理结合二倍角的余弦公式求解余弦值即可. （2）利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系求出，再依据求出的长度，再利用余弦定理求出，最后用正弦定理求解结果即可. 【详解】（1）如图，在中，由题意得， 设，则，， 则由余弦定理得， 因为是的平分线，所以，， 由二倍角公式得. （2）由（1）知，易得， 所以， 由余弦定理得， 结合诱导公式得， 在中，由正弦定理得， 因为，所以，， 由余弦定理得， 因为，所以，由正弦定理得. 【例题3】（2025·福建厦门·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)设D为边AB的中点，若，且，求a． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）利用和角的正弦公式，正弦定理及余弦定理求解即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 即，即， 而，即，则，又， 所以. （2）依题意，，则，或， 当时，由， 得， 在中，由正弦定理得，，则， 在中，由余弦定理得， 因此， 当时，， ，， 所以或. 相似练习 【相似题1】（2025·海南·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)证明：； (2)如图，若，点在边BC上，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由条件和正弦定理，结合三角恒等变换即可证明； （2）由a、b、c的关系结合余弦定理可求cosC及sinC，根据三角形面积公式可得b与CD的一个关系式，再利用余弦定理得b与CD的另外一个关系式，联立即可求得答案. 【详解】（1）由条件及正弦定理得， 所以，即， 因为，所以，即， 所以. （2）由（1）及条件知， 所以， 从而得. 设， 则，得.① 由余弦定理得，所以，② 由①②，得，所以， 所以的周长为. 【相似题2】（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得. （2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法 由余弦定理得，所以. 由正弦定理得. [方法二]【最优解】：几何法 过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以． 在中，，因此． （2）[方法一]：两角和的正弦公式法 由于，，所以. 由于，所以，所以. 所以 . 由于，所以. 所以. [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法   在（1）的方法二的图中，由，可得，从而． 又由（1）可得，所以． [方法三]：几何法+正弦定理法   在（1）的方法二中可得． 在中，， 所以． 在中，由正弦定理可得， 由此可得． [方法四]：构造直角三角形法   如图，作，垂足为E，作，垂足为点G． 在（1）的方法二中可得． 由，可得． 在中，． 由（1）知，所以在中，，从而． 在中，． 所以． 【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法. 【类型2：爪形结构---中线】 解三角形中中线的常见处理方式如下：知识讲解 1. 倍长中线法： 延长中线至一倍长度，构造平行四边形。例如，在中，$AD$是$BC$边上的中线，延长$AD$到，使，连接$BE$、$CE$，则四边形$ABEC$是平行四边形。 利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到一个三角形中，便于求解。如可得到，与互补等关系，再结合正弦定理、余弦定理等求解三角形。 2. 利用中线长定理： 对于，$AD$是$BC$边上的中线，则中线长$AD$满足。 已知三角形三边长度，可通过该定理直接求出中线的长度；或者已知中线长度及部分边长，也可据此建立方程求解其他边长。 3. 向量法： 若$AD$是中$BC$边的中线，则有。 可以通过向量的运算，如求向量的模、数量积等，来求解与中线相关的问题。例如，求中线的长度可通过，将代入进行计算；利用向量数量积还可求解中线与其他边的夹角等问题。 4. 分割三角形法： 中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。如$AD$是的中线，则。 利用这一性质，结合三角形面积公式，可通过已知的面积关系或角度、边长等条件，建立等式来求解三角形的相关量。同时，在一些涉及面积比例的问题中，也可通过中线分割三角形的性质进行转化和求解。 例题精选 【例题1】（2025·福建厦门·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)设D为边AB的中点，若，且，求a． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）利用和角的正弦公式，正弦定理及余弦定理求解即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 即，即， 而，即，则，又， 所以. （2）依题意，，则，或， 当时，由， 得， 在中，由正弦定理得，，则， 在中，由余弦定理得， 因此， 当时，， ，， 所以或. 【例题2】（24-25高三上·山东青岛·期中）的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若的面积为，为中点，，求的周长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由正弦定理得，利用三角恒等变换可得，可求； （2）根据三角形的面积可得，在中，由余弦定理可得，可求得，利用余弦定理可得，从而可求周长. 【详解】（1）由正弦定理得， 在中，，所以， 所以， 整理得，因为，所以， 因为，所以. （2）在中，，所以①， 在中，，，， 由余弦定理得， 所以，所以②， 由①②得，，，在中，由余弦定理得， 所以，所以，的周长为. 【例题3】（2024·福建福州·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若为中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）利用向量的中线公式平方即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得 因为，则，所以， 由于，则； （2）因为为中点，故， 所以 . 所以的长为. 相似练习 【相似题1】（2023·福建宁德·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，为中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角余弦公式化简可得，结合，即可求解； （2）利用余弦定理可得，再根据即可求解. 【详解】（1），即， 化简得，解得， 因为，所以． （2）由余弦定理得， 即，解得， 因为 ， 故的长度为． 【相似题2】（2023·福建福州·模拟预测）在中，角的对边分别是，且. (1)求角； (2)若的中线长为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可； （2）利用平面向量知，利用数量积与模关系及基本不等式可得，再根据面积公式求最值即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：， 而， 所以， 化简得， 因为，所以，， 即，所以， 又因为，所以，即. （2）由是的中线，， 所以， 即，所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积， 即的面积的最大值为. 【相似题3】（2023·广东广州·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角； （2）由，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角函数值域求出范围 【详解】（1）由余弦定理得， 即， 由正弦定理得 ， ，即， . （2）由余弦定理得：，则. 由正弦定理得 所以， 因为是锐角三角形，所以，即， 则. 中线长的取值范围是. 【类型3：爪形结构---角平分线】 知识讲解 解三角形中角平分线的常见处理方式如下： 1. 角平分线定理 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。例如，在中，$AD$是的角平分线，则。 该定理可以帮助我们建立边与边之间的关系，通过已知的边长比例来求解其他边长，或者在一些复杂的几何问题中，通过比例关系进行线段长度的转化和计算。 2. 等面积法 利用角平分线将三角形分成两个小三角形，这两个小三角形以角平分线为底边时，高相等。设$AD$为中的角平分线，在$BC$上，，，，，则，即。 通过等面积关系可以建立关于角平分线长度以及三角形其他边和角的等式，从而求解相关未知量，尤其在已知三角形面积或角度关系时，这种方法较为常用。 3. 向量法 若$AD$是中的角平分线，则。 利用向量的运算性质，通过已知向量的模和夹角等条件，可以求解角平分线向量的模，即角平分线的长度，或者通过向量的数量积来求解角平分线与其他边的夹角等问题，将几何问题转化为向量运算问题，使问题的解决更加规范化和程序化。 4. 构造全等三角形 在角平分线的两侧构造全等三角形。例如，在中，$AD$是的角平分线，在$AB$上截取，连接$DE$，则。 通过构造全等三角形，可以将分散的条件集中到一起，利用全等三角形的性质，如对应边相等、对应角相等，来求解三角形的边长、角度等问题，尤其在解决一些需要证明线段相等或角度相等的问题时，这种方法非常有效。 5. 余弦定理法 分别在角平分线分割成的两个小三角形中应用余弦定理。如在中，$AD$是的角平分线，，在中，；在中，。 结合角平分线定理以及其他已知条件，可以通过建立方程组来求解三角形的边和角，这种方法在处理一些边和角的综合问题时较为常用，能够充分利用三角形中的各种关系进行求解。 例题精选 【例题1】（2023·福建厦门·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，，是上一点，为角的平分线，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，可得，化简整理可得，即有，根据的范围，即可得出答案； （2）根据余弦定理求出a，再根据，以及三角形的面积公式，列出方程，求出即可. 【详解】（1）由题意结合正弦定理，可得， 所以， 即， 整理，可得. 因为，所以， 所以，所以. （2）中，，，，， 所以，解得，则. 又因为为角的平分线，， 所以， 即， 所以. 【例题2】（2025·福建福州·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)若的平分线交于，，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理将边转化为角可得，由内角和定理和两角和与差的正弦公式，结合角的范围即可求解； （2）由，为锐角，可得，由结合即可求解. 【详解】（1）由正弦定理， 可得， 因为， 所以， 因为，，所以， 因为在上单调递增， 所以，即； （2）因为，为锐角， 所以，， 依题意有， 由（1）可知， 所以， 又因为，所以， 化简得， 两边同除以可得， 所以. 【例题3】（2024·陕西宝鸡·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，为边边上一点，为的平分线，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识求得. （2）利用三角形的面积公式、余弦定理列方程，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】（1）由，即， 因为，所以， 所以，得． （2）由为的平分线，得， 因为， 所以， 即，① 由余弦定理得， 即，② 由①②，得， 所以． 相似练习 【相似题1】（2024·福建泉州·模拟预测）的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，求. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解； （2）利用等面积法以及余弦定理即可求解. 【详解】（1）依题意，由正弦定理可得 所以， 又 所以， 因为，所以，所以， 又，所以. （2）解法一：如图，由题意得，， 所以，即， 又，所以， 所以，即， 所以. 解法二：如图，中，因为， 由余弦定理得，， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 【相似题2】（2024·全国·模拟预测）在中，已知． (1)求． (2)若，的平分线交于点，求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题目条件和三角恒等变换，化简原式得到，利用三角形中角的范围可得. （2）条件中有边长的比值关系，因此可设一边长，在中利用余弦定理解得；条件中出现角平分线，可利用等面积法推导得，所以；再在中由正弦定理解得，因此. 【详解】（1）解：因为， 又， 所以．又，所以，所以． 因为，所以． （2）解：设，则． 由余弦定理，得，故． 由角平分线的性质及三角形的面积公式，知，故． 在中，由正弦定理，得． 因为，所以，所以． 因为，所以，所以，即． 又，所以为锐角，故． 【相似题3】（2023·福建泉州·模拟预测）的内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)若平分，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换即可求解；解法二：利用余弦定理化角为边即可求解； （2）解法一：利用向量的四则运算可得，两边平方得，结合角平分线的性质解出，再利用三角形面积公式即可求解；解法二：在和中分别用余弦定理结合角平分线的性质联立解出，再利用三角形面积公式即可求解；解法三：过点作交于点，利用几何关系解出，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）解法一：因为， 所以由正弦定理可得， 即，， 所以， 又，所以， 因为，所以. 解法二：在中，由余弦定理得，， 又因为，所以， 即， 所以， 因为，所以. （2）解法一：因为， 所以， 两边平方得，即①， 又因为平分，所以，即②， 由①②，解得，， 所以.    解法二：在中，，所以， 又因为平分，所以，即①， 在中，由余弦定理，得，即②， 在中，由余弦定理，得，即③， 由①②③解得，， 所以. 解法三：过点作交于点，    因为，且平分，所以， 所以为等边三角形，所以， 又因为，所以，， 所以. 【类型4：爪型结构---高线】 知识讲解 解三角形中高线的常见处理方式如下： 1. 利用直角三角形性质 三角形的高线会将三角形分成两个直角三角形。例如在中，于，则和都是直角三角形。 在直角三角形中，可以运用勾股定理来建立边之间的关系。如在中，；在中，。同时，还可以利用三角函数的定义来表示角与边的关系，如，等，通过已知的边或角来求解其他未知量。 2. 等面积法 三角形的面积可以用不同的方式表示，其中一种是，这里$AD$是$BC$边上的高。同时，三角形面积还可以表示为等形式。 通过等面积关系，可以在已知三角形的某些边和角的情况下，求出高线的长度，或者利用高线长度已知的条件来求解其他边或角的关系。这种方法在解决一些与三角形面积相关的问题时非常有效，能够避免直接使用复杂的三角函数公式进行计算。 3. 相似三角形法 由高线所形成的直角三角形之间可能存在相似关系。例如在中，，若，则。 根据相似三角形的性质，对应边成比例。如由可得，即。利用这些比例关系，可以通过已知的边的长度来求解其他边的长度，尤其是在一些复杂的三角形几何问题中，相似三角形法能够将不同三角形的边和角联系起来，起到桥梁的作用。 4. 向量法 可以通过向量的数量积来表示高线与边的关系。设是中$BC$边上的高，，，，则。 利用向量的运算规则，将用和表示出来，再结合已知条件进行计算。例如，，，通过可以建立关于的方程，进而求出的相关信息，如长度或与其他向量的夹角等。向量法在处理一些具有向量背景的三角形问题时，能够将几何问题转化为向量运算，使问题的解决更加简洁明了。 例题精选 【例题1】（23-24高一下·福建厦门·期末）已知分别为锐角三角形三哥内角的对边，且. (1)求； (2)已知，点为的垂心，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和差公式计算得出正切值进而求出角； （2）先根据图形特征应用余弦定理，再应用基本不等式计算求出周长最大值或应用正弦定理再应用三角恒等变换结合角的范围得出周长得最大值. 【详解】（1）依题，由正弦定理， 得， 由，得，代入得 ， 即， 由，得， 得， 由，得. （2）解法一：如图，由为锐角三角形的垂心，有，垂足为，垂足为，即. 由，四边形内角和为，得 设 在中，由余弦定理， 得，即， 由，得，当且仅当时，等号成立 ，得 当时，的最大值为2 故周长的最大值为 解法二：由为锐角三角形的垂心，有，垂足为，垂足为，即. 由，四边形内角和为，得 设则, 在中，由正弦定理, 则, , 因为,故当时，， 故周长的最大值为. 【例题2】（2024·江苏南通·三模）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积为边上的高为1，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以. （2）因为的面积为， 所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. 相似练习 【相似题1】（2024·福建泉州·模拟预测）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有， (1)求角B： (2)若AC边上的高，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小; （2）由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由，可得的值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即 即， 所以， 在三角形中，， 所以， 即，因为，则 可得，则. （2）因为边上的高， 所以① 又② 由①②可得， 由正弦定理可得， 结合（1）中可得， 因为， 所以. 【相似题2】（2023·山东菏泽·二模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知的外接圆半径，且. (1)求B和b的值； (2)求AC边上高的最大值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）把给定的等式切化弦，再逆用和角的正弦求出B，利用正弦定理求出b作答. （2）利用余弦定理、均值不等式求出的最大值，借助面积三角形求出AC边上高的最大值作答. 【详解】（1）由，得，即， 因此，在中，，即， 而，即，于是，又，解得， 因为的外接圆半径，由正弦定理得， 所以，. （2）由（1）知，，，由余弦定理，得， 于是，当且仅当时取等号，令的边上的高为， 则由，得 所以AC边上高的最大值是. 【类型5：爪形结构---普通比例】 知识讲解 在解三角形的普通爪形结构中，常见解题思路及知识点如下： 1. 角关系运用 借助三角形内角和为 ，结合已知角，求其余角。如已知及与关系，可算和 。 利用外角性质，像是外角，，据此求未知角。 2. 正余弦定理应用 正弦定理：在和中分别用 。已知两角一边或两边及一边对角时，可建等式求未知边或角。例如 。 余弦定理：在中 ，中 。已知三边或两边及其夹角时，通过建方程求解。 3. 等面积法 将面积表示为 ，结合等公式，利用等面积关系，结合其他条件求边或角关系。 4. 辅助线构造 根据条件，过顶点作边的垂线，转化为直角三角形求解；或延长线段构造平行四边形，利用其性质及三角形知识解题。 5. 向量法 线性运算：用向量加法、减法表示边，如（），把线段关系转成向量关系。 数量积：由求角；若，则，代入向量表达式建方程求解。 模长公式：已知向量坐标，由求边；利用，把向量关系转化为边长关系，如求 。 例题精选 【例题1】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【例题2】（2023·青海西宁·二模）在中，内角的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，由辅助角公式求出答案； （2）由正弦定理得到，由余弦定理得到，从而求出，得到答案. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，所以， 所以，即，， 又， 所以，所以，所以； （2）在中，由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即线段的最大值为. 【例题3】（23-24高二下·福建福州·期末）已知中，角的对边分别是， (1)求角的大小； (2)求的最大值； (3)若，为边上靠近点的三等分点，求的面积． 【答案】(1) (2)18 (3) 【分析】（1）由正余弦定理边化角，再由两角和的正弦公式化简可求解； （2）由余弦定理，代入已知数据结合重要不等式求解； （3）由题意有，两边平方化简得，在中和中，由余弦定理得化简得，解得，代入②得，可求的面积. 【详解】（1）由，而， 所以，即， 由正弦定理得． 故． 即， 即，而，， 故，即． 而，故. （2）由余弦定理得，即，而， 所以， 所以，当且仅当时等号成立． 故的最大值为18. （3）因为D为边上靠近B点的三等分点，，， 有，即， 故， 两边平方得， 即， 化简得①， 在中，由余弦定理得； 在中，由余弦定理得； 而， 故， 即②， 由①和②得：， 解得，代入②得， 所以的面积为. 相似练习 【相似题1】（22-23高二下·福建福州·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)证明：； (2)若，，，求AM的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）先利用三角形的内角和定理结合两角和差的正弦公式化简，再利用正弦定理和余弦定理化角为边，整理即可得证； （2）在中，由（1）结合余弦定理求出，再在中，利用余弦定理即可得解. 【详解】（1）由， 得， 则， 由正弦定理和余弦定理得：， 化简得； （2）如图：    在中，， 又因为，所以， 所以， 所以， 由，得， 在中， ， 所以. 【相似题2】（2023·广东佛山·模拟预测）已知的内角A，，所对的边分别为，，，的最大值为. (1)求角； (2)若点在上，满足，且，，解这个三角形. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简函数式，再利用三角函数的性质求A； （2）利用平面向量的基本定理及数量积计算可得AC，余弦定理可得BC，再由勾股定理逆定理可得B、C. 【详解】（1）由 由题意及三角函数的性质可知：，即， 又，∴； （2）    如图所示，易得， ∴(负值舍去)， 由余弦定理可得：，， 显然：，由勾股定理逆定理可得. 综上. 【相似题3】（21-22高一下·福建福州·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且___________. (1)求角B的大小； (2)若点D满足，且，求面积的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)， (2)面积最大值为. 【分析】（1）选①：由正弦定理得，整理得，再利用余弦定理可得解； 选②：利用余弦定理得，再利用余弦定理可得解； 选③：利用余弦定理得，化简得，即可求解； （2）由，通过以与作为基底，可以得到，再将上述向量式转化为数量式，两边同平方得，最后再利用基本不等式即可求出最值，也就得到三角形面积最值. 【详解】（1）若选①，由正弦定理得，所以， 整理得，所以， 又,所以. 若选②，由余弦定理得， 化简得所以， 又，所以. 若选③，由余弦定理得， 化简得， 又，所以. （2），=， 两边同平方得，化简得， 代入，， 化简为， 即，， 当且仅当，即，时等号成立 ， 故面积最大值为. 【类型6：网状型】 【知识讲解】 1. 信息量够直接解三角形 2. 信息量不够，变量来凑（巧设角度变量，边长变量） 例题精选 【例题1】多选题 1．（20-21高一下·福建三明·期末）在△中，，，，P为△内一点，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．△的面积的最大值为 D．△的面积的取值范围是 【答案】BC 【分析】由题意知在以为直径的圆上，A中由余弦定理在△中求；B中若，在△中由正弦定理可得，即可求；C中要使△的面积的最大则，即可求最大值；D中讨论在圆与的交点上或、重合时求，即可知范围. 【详解】 由题意知：如上图示，在以为直径的圆上， A：时，，，易知，故在△中，则，错误； B：，若，则，， ∴在△中，，即，可得， ∴，正确； C：要使△的面积的最大，则，此时，正确； D：由图知：若在圆与的交点上，，又P为△内一点，所以△的面积的取值范围是，错误. 故选：BC 相似练习 【相似题1】（2022·福建泉州·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若内一点满足：，，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，将中的边化为角，展开并利用两角和的正弦公式化简可得答案； （2）首先确定相关角的大小关系,设，然后分别在和中应用正弦定理，得到，化简整理求得最后结果. 【详解】（1）由正弦定理及， 得， 又，所以， 故， 即. 又因为，所以， 又，解得. （2）因为，， 所以， 设， 则 ， 即， 在中，由正弦定理，得； 在中，由正弦定理，得； 则， 所以， 解得. 【相似题2】（2025·山东·一模）如图，在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记． (1)若，求的面积； (2)若，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，求得以及，再利用三角形面积公式即可求解； （2）在中，由余弦定理得，结合三角形面积公式求得与，所以四边形的面积，再由三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中， 由余弦定理：， 所以，则，所以， 又因为为等边三角形，所以，且， 所以， 则的面积为． （2）在中， 由余弦定理：， 所以，， 所以四边形的面积， 又因为，所以， 所以，， 即四边形的面积的取值范围为． 【相似题3】（22-23高三下·福建厦门·期中）的内角的对边分别为，已知，且的面积. (1)求C； (2)若内一点满足，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理和面积公式，化简得到，求得，再由正弦定理和，得到，即可求解； （2）设，分别在和中，求得的表达式，列出方程求得，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意知， 由余弦定理得， 又因为，所以，即， 因为，所以， 又由正弦定理且，所以， 又因为，所以. （2）解：由（1）知，，所以，可得，所以， 设，因为，所以， 因为，所以， 在中，，所以， 在中，，所以，即， 所以，即，即， 因为，所以.    【类型7：平行四边形+梯形】 例题精选 【例题1】1．（2025·福建泉州·一模）四边形中，． (1)求； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，根据余弦定理求边和，再根据正弦定理求；方法二：中，利用正弦定理，求，再根据两角和的正弦公式，即可求解； （2）方法一：根据平行线的性质，以及余弦定理求，再分别求和的面积，即可求解；方法二：同样先求，再求梯形的高，即可求解. 【详解】（1） 解法一：在中，， 由， 即，整理得， 得或（舍） 又， 由，即 解得． 解法二：在，由， 得， 故， （2）方法一：因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 故， 在中，由， 即，整理得， 解得（舍去）或， 在中， 由可得，， 故四边形的面积为． 方法二：因为，所以， 由（1）可得， 在中，由， 即，整理得， 解得（舍去）或， 在中，边上的高为， 故四边形的面积为． 【例题2】（2023·福建泉州·模拟预测）凸四边形中，，，，． (1)当，且时，证明：； (2)求四边形的面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）在中，利用余弦定理和同角三角函数的基本关系得到，然后在中利用正弦定理和同角三角函数的基本关系得到，进而得证； （2）结合（1）的结论和三角形面积公式得到的面积，在中，利用余弦定理和基本不等式得到，再结合三角形面积公式得到面积的最大值，进而求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得： .因为，， 所以， 则在中，由正弦定理得：， 所以. 又因为，所以∠CBD必为锐角，所以，所以∠ADB=∠CBD，所以. （2）由（1）知，所以. 在中，由余弦定理得：， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以当且仅当时，四边形的面积取最大值. 【例题3】（2022·河北唐山·三模）如图，在四边形中，． (1)证明：为直角三角形； (2)若，求四边形面积S的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可； （2）由与，结合与基本不等式求解即可 【详解】（1）∵，由与余弦定理 ∴， 整理得，， ∴． ∴为直角三角形． （2）∵， ∴． 由，得． ．（当且仅当时取等号） 所以四边形面积S的最大值为12． 相似练习 【相似题1】（23-24高三上·河南南阳·期末）在梯形ABCD中，． (1)求AC； (2)若，求的值． 【答案】(1)3 (2)或9 【分析】（1）在中，由正弦定理求出答案； （2）求出，在中，由余弦定理得到或2，利用向量数量积公式求出答案. 【详解】（1）在中，由正弦定理，即， 得，解得； （2）由，得，因为， 所以． 在中，由余弦定理， 得， 即或2，经检验，均满足要求， 因为， 所以或9. 【相似题2】（2025·河北·一模）如图，在平面四边形中，为线段的中点，. (1)若，求的面积； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，过作交于，求出，进而得,再利用三角形面积公式求解即可. （2）连接.在与中，求得,进而得,再利用余弦定理即可求得. 【详解】（1）过点作，垂足为. 由，得， 在四边形中，由，得， 所以四边形是平行四边形， ∴，， 所以的面积为. （2）连接. 在中，因为， 所以, 在中，由,得. 所以为等边三角形， 在中，由余弦定理知 【类型8：普通四边形】 例题精选 【例题1】（22-23高一下·福建泉州·期末）在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，. (1)求； (2)求与的面积之和的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求得，结合勾股定理可得结果； （2）设，利用可表示出，结合三角恒等变换知识化简得到，由正弦函数最值求法可求得结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理得：，解得：， ，即，. （2）设，则， ，，四点共圆，且为该圆的直径， ，， ，， 在中，，， .    ，，， ，当，即时，， 故与的面积和的最大值为.    【例题2】（21-22高一下·福建泉州·期末）在平面四边形中，，，． (1)若为等边三角形，求的面积． (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可知，进而可求得的大小，利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）设，利用正弦定理可得出，利用余弦定理可得出关于的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）解：在中，由余弦定理，得． 即，所以， 所以，因此， 因为为等边三角形，所以，，所以． 所以. （2）解：设，则， 在中，由正弦定理得， 即，所以． 在中，由余弦定理，得， ， ，则，故当时，即当时， 取到最大值，即的最大值为. 【例题3】（22-23高二下·福建厦门·期末）如图，在平面四边形中，已知，，，点在上且，，.    (1)求的值： (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）中利用正弦定理即可求得的值，利用余弦定理求得，再求出，从而求出； （2）依据两角和公式求得，再求出，在中求出，即可求出的面积． 【详解】（1）因为，点在上且，所以，， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 由余弦定理得， 所以， 所以； （2）因为 ， 显然为锐角，所以， 在中，，，解得， 所以的面积为. 相似练习 【相似题1】 （20-21高一上·安徽六安·期末）如图，已知在平面四边形中，，. （1）若，，求平面四边形的面积； （2）若. （i）证明：； （ii）若，面积依次为，，求的最大值. 【答案】（1）；（2）（i）答案见解析；（ii）. 【分析】(1) 设，中利用余弦定理解出x，计算，中，利用余弦定理计算，求得，再计算，最后求和即得结果； （2）（i）分别在和中，利用余弦定理计算，构建等量关系，即证结果； （ii）先计算和，根据（i）结论得到关于的二次函数，再结合范围求得最小值即可. 【详解】解：（1）设，中， 即，解得，即，. 中，， 即，. 所以平面四边形的面积为； （2）中，， 中，， 所以，即； （ii），即. ，即. 所以， 而四边形中，， 即，， 所以， 当时，取得最大值，为. 【相似题2】（23-24高一下·福建福州·期末）在四边形 中，，，，. (1)求和; (2)求. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）在中应用正弦定理求出，根据三角形内角性质即可求出，由可求出； （2）中应用余弦定理求即可. 【详解】（1）在中由正弦定理得：， 因为，， 故， 又，则. 所以 （2）由，， 故， 因为， 所以在中由余弦定理得：， 故. 【相似题3】（23-24高一下·福建福州·期末）平面凸四边形中，． (1)若，求； (2)若，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由勾股定理求出，即可得到的正、余弦值，再求出，即可得到的正、余弦值，再由两角和的余弦公式求出，最后由余弦定理计算可得； （2）首先求出，再由锐角函数计算可得. 【详解】（1）连接，由（1）知， 在中易知． 在中，由，得， 易知． ． 在中由余弦定理得： ， ； （2）连接，在中，由． 得， ， ， 在中，由知． 【类型9：圆】 例题精选 【例题1】（22-23高一下·福建福州·期末）中，，，D为AC上一点，，． (1)请画出大致图形，求BD的长度； (2)四边形ABPD的四顶点共圆，求的取值范围． 【答案】(1)图形见解析， (2) 【分析】（1）根据，结合余弦定理，建立方程，即可求解； （2）由条件可知，根据四点共圆的几何性质，结合正弦定理，讨论点在圆弧的不同位置，将的取值范围转化为三角函数问题，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设，，则， 因为， 则，即， 解得：，则    （2）由（1）知，在中，，，为外接圆的直径，为外接圆上任意一点，当在点时，， 当在点时，， 当点在优弧上时，，设， ，在中，由正弦定理可知，， 则，， ， 其中，，，， 因为，所以， ，， 当时，为， 当时，的最大值为， 所以此时的取值范围是； 当点在劣弧上时，，设， ，在中，由正弦定理可知，， 则，， ， 当时，即时，的最大值为，但， ，所以，则的范围是， 综上可知，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的综合应用问题，本题第二问利用正弦定理，边角互化，将边转化为三角函数求取值范围，本题的难点是需讨论点的位置，需分情况讨论. 【例题2】（22-23高一下·广西南宁·期末）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）. (1)求角C的大小； (2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，通过二倍角公式的化简求解；选②，通过余弦定理求解即可；选③，通过边角互化求解即可； （2）将条件转化为，然后结合基本不等式求取四边形面积的最大值； 【详解】（1）选①：，根据二倍角公式化简得： 即 因为 解得：或（舍去）， 所以； 选②，根据正弦定理得： 根据余弦定理得： 又因为，所以； 选③，根据正弦定理得： 因为， 解得：，所以； （2），根据数量积定义可知： 所以，则有：，    如图所示：, 根据正弦定理得： ， 因为 根据基本不等式解得：，当且仅当时，等号成立， 即， 代入， 解得：， 综上四边形ABCD面积的最大值为. 【例题3】（23-24高三上·广东东莞·期末）中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且D为△ABC外接圆劣弧上一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由余弦定理化简得，得到，即可求解； （2）设，得到，得到，得出，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：因为，由余弦定理得， 整理得，可得， 又因为，可得. （2）解：由圆内接四边形性质，可得，设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，可得，可得， 所以的取值范围为. 相似练习 【相似题1】（22-23高一下·山东淄博·期末）如图，平面四边形中，，，，的内角，，的对边分别是，，，且满足.    (1)判断四边形是否有外接圆?若有，求其半径；若无，说明理由， (2)求内切圆半径的取值范围. 【答案】(1)有，； (2). 【分析】（1）利用数量积的定义及三角形面积公式求出角D，再由正余弦定理求出角B，结合圆内接四边形的判定作答. （2）利用三角形面积建立三角形内切圆半径的函数，再求出函数值域作答. 【详解】（1）在中，，则， 由，得，于是，而，因此， 在中, ，解得， 在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得，又，因此，有， 于是四点共圆，且四边形外接圆的半径就等于外接圆的半径， 所以四边形有外接圆，圆半径. （2）由（1）知：，则，即有， 由，得， 又，由，故不是正三角形,又，则， 于是，又，解得，， 则， 所以内切圆半径的取值范围是. 【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c，内切圆半径，则. 【相似题2】（20-21高一下·福建厦门·期末）在①；②；③中选个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题. 问题：设钝角的内角，，的对边分别为，，.为的面积，______. （1）求； （2）若点为的外心，的面积为，求与的面积之和的最大值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）选①利用余弦定理求出；选②由正弦定理结合求出；选③由三角形面积公式以及三角恒等变换化简得出，最后由正弦定理求出； （2）先由面积公式得出的外接圆的半径，进而讨论为钝角的情况，结合三角函数的性质以及三角形面积公式得出最值. 【详解】（1）选①，因为 所以，所以， 选②，由可得 因为，所以 又为钝角三角形，所以，即 选③，因为，所以 所以，所以， （2）设的外接圆的半径为 因为的面积为，所以，所以 所以为等边三角形，所以 因为或为钝角时，与的面积之和的最大值相同 所以不妨设为钝角，如下图所示 设，则 所以 因为，，所以 所以当，与的面积之和取最大值，最大值为 当为钝角时，如下图所示 设，则 所以 因为，所以当时，与的面积之和取最大值，最大值为 因为，所以与的面积之和的最大值为 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【解三角形2(有图类)】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【类型1:基础类求解】 1. 在已知条件多的三角形中利用正余弦定理先解三角形,有时候解一个三角形有时候解多个三角形。知识讲解 2. 在多个三角形结合时往往需要注意角度的练习,使用两角和差公式与二倍角公式。 例题精选 【例题1】(2025 湖北武汉 二模)如图,与存在对顶角,,,且. (1)证明:为中点; (2)若,求的长. 【例题2】(2025 江西 一模)如图,在中,的平分线与AB交于点,. (1)求; (2)若,求的值. 【例题3】(2025 福建厦门 一模)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且. (1)求A; (2)设D为边AB的中点,若,且,求a. 相似练习 【相似题1】(2025 海南 模拟预测)在中,内角所对的边分别为,已知. (1)证明:; (2)如图,若,点在边BC上,且的面积为,求的周长. 【相似题2】(2020 江苏 高考真题)在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)求的值; (2)在边BC上取一点D,使得,求的值. 【类型2:爪形结构-中线】 解三角形中中线的常见处理方式如下:知识讲解 1. 倍长中线法: 延长中线至一倍长度,构造平行四边形。例如,在中,$AD$是$BC$边上的中线,延长$AD$到,使,连接$BE$、$CE$,则四边形$ABEC$是平行四边形。 利用平行四边形的性质,将分散的条件集中到一个三角形中,便于求解。如可得到,与互补等关系,再结合正弦定理、余弦定理等求解三角形。 2. 利用中线长定理: 对于,$AD$是$BC$边上的中线,则中线长$AD$满足。 已知三角形三边长度,可通过该定理直接求出中线的长度;或者已知中线长度及部分边长,也可据此建立方程求解其他边长。 3. 向量法: 若$AD$是中$BC$边的中线,则有。 可以通过向量的运算,如求向量的模、数量积等,来求解与中线相关的问题。例如,求中线的长度可通过,将代入进行计算;利用向量数量积还可求解中线与其他边的夹角等问题。 4. 分割三角形法: 中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。如$AD$是的中线,则。 利用这一性质,结合三角形面积公式,可通过已知的面积关系或角度、边长等条件,建立等式来求解三角形的相关量。同时,在一些涉及面积比例的问题中,也可通过中线分割三角形的性质进行转化和求解。 例题精选 【例题1】(2025 福建厦门 一模)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且. (1)求A; (2)设D为边AB的中点,若,且,求a. 【例题2】(24-25高三上 山东青岛 期中)的内角,,的对边分别为,,,已知. (1)求角; (2)若的面积为,为中点,,求的周长. 【例题3】(2024 福建福州 模拟预测)已知的内角的对边分别为,且. (1)求角; (2)若为中点,求的长. 相似练习 【相似题1】(2023 福建宁德 二模)已知的内角,,的对边分别为,,,且. (1)求; (2)若,,为中点,求的长. 【相似题2】(2023 福建福州 模拟预测)在中,角的对边分别是,且. (1)求角; (2)若的中线长为,求面积的最大值. 【相似题3】(2023 广东广州 模拟预测)在锐角中,角所对的边分别为,且. (1)求角的大小; (2)若边,边的中点为,求中线长的取值范围. 【类型3:爪形结构-角平分线】 知识讲解 解三角形中角平分线的常见处理方式如下: 1. 角平分线定理 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。例如,在中,$AD$是的角平分线,则。 该定理可以帮助我们建立边与边之间的关系,通过已知的边长比例来求解其他边长,或者在一些复杂的几何问题中,通过比例关系进行线段长度的转化和计算。 2. 等面积法 利用角平分线将三角形分成两个小三角形,这两个小三角形以角平分线为底边时,高相等。设$AD$为中的角平分线,在$BC$上,,,,,则,即。 通过等面积关系可以建立关于角平分线长度以及三角形其他边和角的等式,从而求解相关未知量,尤其在已知三角形面积或角度关系时,这种方法较为常用。 3. 向量法 若$AD$是中的角平分线,则。 利用向量的运算性质,通过已知向量的模和夹角等条件,可以求解角平分线向量的模,即角平分线的长度,或者通过向量的数量积来求解角平分线与其他边的夹角等问题,将几何问题转化为向量运算问题,使问题的解决更加规范化和程序化。 4. 构造全等三角形 在角平分线的两侧构造全等三角形。例如,在中,$AD$是的角平分线,在$AB$上截取,连接$DE$,则。 通过构造全等三角形,可以将分散的条件集中到一起,利用全等三角形的性质,如对应边相等、对应角相等,来求解三角形的边长、角度等问题,尤其在解决一些需要证明线段相等或角度相等的问题时,这种方法非常有效。 5. 余弦定理法 分别在角平分线分割成的两个小三角形中应用余弦定理。如在中,$AD$是的角平分线,,在中,;在中,。 结合角平分线定理以及其他已知条件,可以通过建立方程组来求解三角形的边和角,这种方法在处理一些边和角的综合问题时较为常用,能够充分利用三角形中的各种关系进行求解。 例题精选 【例题1】(2023 福建厦门 模拟预测)记的内角的对边分别为,已知. (1)求; (2)若,,是上一点,为角的平分线,求. 【例题2】(2025 福建福州 模拟预测)在锐角中,内角的对边分别为,且. (1)求证:; (2)若的平分线交于,,,求的值. 【例题3】(2024 陕西宝鸡 二模)已知的内角,,所对的边分别为,,,且. (1)求角; (2)若,为边边上一点,为的平分线,且,求的面积. 相似练习 【相似题1】(2024 福建泉州 模拟预测)的内角所对的边分别为,已知. (1)求; (2)若的角平分线与交于点,求. 【相似题2】(2024 全国 模拟预测)在中,已知. (1)求. (2)若,的平分线交于点,求. 【相似题3】(2023 福建泉州 模拟预测)的内角所对的边分别为,且满足. (1)求; (2)若平分,且,,求的面积. 【类型4:爪型结构-高线】 知识讲解 解三角形中高线的常见处理方式如下: 1. 利用直角三角形性质 三角形的高线会将三角形分成两个直角三角形。例如在中,于,则和都是直角三角形。 在直角三角形中,可以运用勾股定理来建立边之间的关系。如在中,;在中,。同时,还可以利用三角函数的定义来表示角与边的关系,如,等,通过已知的边或角来求解其他未知量。 2. 等面积法 三角形的面积可以用不同的方式表示,其中一种是,这里$AD$是$BC$边上的高。同时,三角形面积还可以表示为等形式。 通过等面积关系,可以在已知三角形的某些边和角的情况下,求出高线的长度,或者利用高线长度已知的条件来求解其他边或角的关系。这种方法在解决一些与三角形面积相关的问题时非常有效,能够避免直接使用复杂的三角函数公式进行计算。 3. 相似三角形法 由高线所形成的直角三角形之间可能存在相似关系。例如在中,,若,则。 根据相似三角形的性质,对应边成比例。如由可得,即。利用这些比例关系,可以通过已知的边的长度来求解其他边的长度,尤其是在一些复杂的三角形几何问题中,相似三角形法能够将不同三角形的边和角联系起来,起到桥梁的作用。 4. 向量法 可以通过向量的数量积来表示高线与边的关系。设是中$BC$边上的高,,,,则。 利用向量的运算规则,将用和表示出来,再结合已知条件进行计算。例如,,,通过可以建立关于的方程,进而求出的相关信息,如长度或与其他向量的夹角等。向量法在处理一些具有向量背景的三角形问题时,能够将几何问题转化为向量运算,使问题的解决更加简洁明了。 例题精选 【例题1】(23-24高一下 福建厦门 期末)已知分别为锐角三角形三哥内角的对边,且. (1)求; (2)已知,点为的垂心,求的周长的最大值. 【例题2】(2024 江苏南通 三模)在中,角的对边分别为. (1)求; (2)若的面积为边上的高为1,求的周长. 相似练习 【相似题1】(2024 福建泉州 模拟预测)设的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且有, (1)求角B: (2)若AC边上的高,求. 【相似题2】(2023 山东菏泽 二模)记的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知的外接圆半径,且. (1)求B和b的值; (2)求AC边上高的最大值. 【类型5:爪形结构-普通比例】 知识讲解 在解三角形的普通爪形结构中,常见解题思路及知识点如下: 1. 角关系运用 借助三角形内角和为 ,结合已知角,求其余角。如已知及与关系,可算和 。 利用外角性质,像是外角,,据此求未知角。 2. 正余弦定理应用 正弦定理:在和中分别用 。已知两角一边或两边及一边对角时,可建等式求未知边或角。例如 。 余弦定理:在中 ,中 。已知三边或两边及其夹角时,通过建方程求解。 3. 等面积法 将面积表示为 ,结合等公式,利用等面积关系,结合其他条件求边或角关系。 4. 辅助线构造 根据条件,过顶点作边的垂线,转化为直角三角形求解;或延长线段构造平行四边形,利用其性质及三角形知识解题。 5. 向量法 线性运算:用向量加法、减法表示边,如(),把线段关系转成向量关系。 数量积:由求角;若,则,代入向量表达式建方程求解。 模长公式:已知向量坐标,由求边;利用,把向量关系转化为边长关系,如求 。 例题精选 【例题1】(2021 新高考全国 卷 高考真题)记是内角,,的对边分别为,,.已知,点在边上,. (1)证明:; (2)若,求. 【例题2】(2023 青海西宁 二模)在中,内角的对边分别为,,,且. (1)求角的大小; (2)若,是边上的一点,且,求线段的最大值. 【例题3】(23-24高二下 福建福州 期末)已知中,角的对边分别是, (1)求角的大小; (2)求的最大值; (3)若,为边上靠近点的三等分点,求的面积. 相似练习 【相似题1】(22-23高二下 福建福州 期末)已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且. (1)证明:; (2)若,,,求AM的长度. 【相似题2】(2023 广东佛山 模拟预测)已知的内角A,,所对的边分别为,,,的最大值为. (1)求角; (2)若点在上,满足,且,,解这个三角形. 【相似题3】(21-22高一下 福建福州 期末)在①;②;③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答. 在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且_. (1)求角B的大小; (2)若点D满足,且,求面积的最大值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【类型6:网状型】 【知识讲解】 1. 信息量够直接解三角形 2. 信息量不够,变量来凑(巧设角度变量,边长变量) 例题精选 【例题1】多选题 1.(20-21高一下 福建三明 期末)在 中,,,,P为 内一点,,下列结论正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C. 的面积的最大值为 D. 的面积的取值范围是 相似练习 【相似题1】(2022 福建泉州 模拟预测)在中,角,,所对的边分别为,,,且. (1)求; (2)若内一点满足:,,且,求. 【相似题2】(2025 山东 一模)如图,在平面四边形中,已知,,为等边三角形,记. (1)若,求的面积; (2)若,求四边形面积的取值范围. 【相似题3】(22-23高三下 福建厦门 期中)的内角的对边分别为,已知,且的面积. (1)求C; (2)若内一点满足,,求. 【类型7:平行四边形+梯形】 例题精选 【例题1】1.(2025 福建泉州 一模)四边形中,. (1)求; (2)若,求四边形的面积. 【例题2】(2023 福建泉州 模拟预测)凸四边形中,,,,. (1)当,且时,证明:; (2)求四边形的面积的最大值. 【例题3】(2022 河北唐山 三模)如图,在四边形中,. (1)证明:为直角三角形; (2)若,求四边形面积S的最大值. 相似练习 【相似题1】(23-24高三上 河南南阳 期末)在梯形ABCD中,. (1)求AC; (2)若,求的值. 【相似题2】(2025 河北 一模)如图,在平面四边形中,为线段的中点,. (1)若,求的面积; (2)若,求. 【类型8:普通四边形】 例题精选 【例题1】(22-23高一下 福建泉州 期末)在平面四边形中,点在直线的两侧,,,四个内角分别用表示,. (1)求; (2)求与的面积之和的最大值. 【例题2】(21-22高一下 福建泉州 期末)在平面四边形中,,,. (1)若为等边三角形,求的面积. (2)若,求的最大值. 【例题3】(22-23高二下 福建厦门 期末)如图,在平面四边形中,已知,,,点在上且,,. (1)求的值: (2)求的面积. 相似练习 【相似题1】 (20-21高一上 安徽六安 期末)如图,已知在平面四边形中,,. (1)若,,求平面四边形的面积; (2)若. (i)证明:; (ii)若,面积依次为,,求的最大值. 【相似题2】(23-24高一下 福建福州 期末)在四边形 中,,,,. (1)求和; (2)求. 【相似题3】(23-24高一下 福建福州 期末)平面凸四边形中,. (1)若,求; (2)若,求 【类型9:圆】 例题精选 【例题1】(22-23高一下 福建福州 期末)中,,,D为AC上一点,,. (1)请画出大致图形,求BD的长度; (2)四边形ABPD的四顶点共圆,求的取值范围. 【例题2】(22-23高一下 广西南宁 期末)请从①;②;③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答(如未作出选择,则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上). (1)求角C的大小; (2)若,D为的外接圆上的点,,求四边形ABCD面积的最大值. 【例题3】(23-24高三上 广东东莞 期末)中,角的对边分别为,且. (1)求; (2)若,且D为 ABC外接圆劣弧上一点,求的取值范围. 相似练习 【相似题1】(22-23高一下 山东淄博 期末)如图,平面四边形中,,,,的内角,,的对边分别是,,,且满足. (1)判断四边形是否有外接圆?若有,求其半径;若无,说明理由, (2)求内切圆半径的取值范围. 【相似题2】(20-21高一下 福建厦门 期末)在①;②;③中选个条件补充在下面问题中,并解答下面的问题. 问题:设钝角的内角,,的对边分别为,,.为的面积,_. (1)求; (2)若点为的外心,的面积为,求与的面积之和的最大值. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$