第16章 二次根式（导图+知识梳理+易错点拨+11大考点讲练+优选压轴题专练 共50题）-2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）

2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第16章 二次根式 （知识梳理+易错点拨+11个重难点考点讲练+压轴题专练 共50题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：二次根式的定义 2 知识点梳理02：二次根式的主要性质 2 知识点梳理03：最简二次根式 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：二次根式定义条件 3 易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 3 易错知识点03：误判“同类二次根式” 3 易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 4 易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 4 易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 4 易错知识点07：隐含条件忽视 4 易错知识点08：符号与变形错误 4 易错知识点09：应用场景误区 4 重点难点 考点讲练 5 重点难点考点讲练01：二次根式的定义 5 重点难点考点讲练02：二次根式有意义的条件 6 重点难点考点讲练03：二次根式的性质与化简 7 重点难点考点讲练04：最简二次根式 8 重点难点考点讲练05：二次根式的乘除法 8 重点难点考点讲练06：分母有理化 9 重点难点考点讲练07：同类二次根式 10 重点难点考点讲练08：二次根式的加减法 11 重点难点考点讲练09：二次根式的混合运算 12 重点难点考点讲练10：二次根式的化简求值 13 重点难点考点讲练11：二次根式的应用 14 压轴专练 拔尖冲刺 16 知识点梳理01：二次根式的定义 形如的代数式叫二次根式 （1） 式子中含有二次根号“”； （2） 可以表示数也可以表示代数式 （3） 二次根式表示非负数的算术平方根，，即二次根式的两个非负性 知识点梳理02：二次根式的主要性质 （1） （2） （3） （4） 二次根式的性质是根式化简的依据。 知识点梳理03：最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。 最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 易错知识点01：二次根式定义条件 学生容易忽略被开方数必须是非负数这一核心条件。例如，题目中出现类似“”的式子时，未意识到隐含条件“x≥3”；或在分式形式的二次根式中（如），忽略分母不能为0且被开方数需非负的双重限制 易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 最简二次根式需满足三个条件： 被开方数不含分母； 被开方数不含能开方的因数； 分母中不含根号。 常见错误如未将化简为，或未对分母进行有理化处理。 易错知识点03：误判“同类二次根式” 同类二次根式需先化简为最简形式后，再看被开方数是否相同。例如，和化简为和才可合并，但学生可能因未化简而误以为不能合并 易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 二次根式加减必须先将所有项化为最简形式，再合并同类项。典型错误如直接合并为，或未发现与是同类项 易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 乘法时未正确应用（需a,b≥0）； 除法中未注意分母有理化，或误将拆分为但忽略分母限制 易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 错误将根号与加减法结合，如，或，此类错误常因对根号性质理解不透导致 易错知识点07：隐含条件忽视 1. 双重非负性忽略 二次根式的结果和被开方数均非负，但学生可能在涉及代数式时未考虑符号。例如，=∣a∣，而非直接等于a；或未注意题目中隐含的变量取值范围 2. 分母有理化不彻底 有理化时需找到正确的有理化因式，如对​，应乘以而非仅处理分母中的单项根式。学生可能仅处理部分项，导致分母仍含根号 易错知识点08：符号与变形错误 1. 变形时符号处理不当 例如，将直接写成a-2，而忽略a可能小于2的情况，正确结果应为∣a−2∣ 2. 综合运算顺序混乱 混合运算时未遵循先乘除后加减、先括号内后外的规则，或因跳步过多导致符号错误。例如，在计算“”时，可能漏乘括号内的第二项 易错知识点09：应用场景误区 1. 实际问题建模错误 例如，用勾股定理求斜边时，若已知两直角边为和，学生可能直接相加而非平方后求和再开方 2. 与数轴结合时符号误判 当二次根式与数轴上的点结合时，未根据点的位置判断被开方数的正负性，导致结果错误 重点难点考点讲练01：二次根式的定义 【例题精讲】（2024春•海沧区校级期中）若是一个整数，则正整数的最小值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【训练1】（2024春•襄城县期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的因子二次根式． （1）若与是关于4的因子二次根式，则　　； （2）若与是关于2的因子二次根式，求的值． 【训练2】（2023春•盐城期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的因子二次根式． （1）若与是关于4的因子二次根式，则　　； （2）若与是关于的因子二次根式，求的值． 重点难点考点讲练02：二次根式有意义的条件 【例题精讲】（2024春•湖北期中）已知、满足，则　　 A．4 B．8 C．2024 D．4048 【训练1】（2024春•怀仁市期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【训练2】（2024春•罗山县期中）（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由，得， ， 　　； （2）尝试应用：若，为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，直接写出的值． 【训练3】（2024春•凉州区期中）（1）若实数、满足等式，求的值； （2） 已知，求的平方根． 重点难点考点讲练03：二次根式的性质与化简 【例题精讲】（2024春•河东区期中）已知、、在数轴上的位置如图，化简：　　 A． B． C． D． 【训练1】（2024春•萧山区校级期中）观察下列各式：①，②；③， （1）请观察规律，并写出第④个等式：　　； （2）请用含的式子写出你猜想的规律：　　； （3）请证明（2）中的结论． 【训练2】（2024春•东莞市校级期中）观察下列各式： 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）　　 （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用为正整数）表示的等式：　　； （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程） 重点难点考点讲练04：最简二次根式 【例题精讲】（2024春•政和县期中）下列式子中最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【训练1】（2024秋•会宁县期中）把化为最简二次根式，结果是 　　． 【训练2】（2024春•黔东南州期中）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． （1） ；（2）；（3）；（4）． 重点难点考点讲练05：二次根式的乘除法 【例题精讲】（2024春•长沙县期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【训练1】（2024春•沂南县期中）小明做数学题时，发现；；；；；按此规律，若，为正整数），则　　． 【训练2】（2017春•承德县期中）阅读题目：计算， 小明同学是这样计算的 小刚同学是这样计算的 问题填空： （1）两位同学做法正确的是　　 ．小明正确 ．小刚正确 ．小明、小刚都正确 ．小明、小刚都不正确 （2）小明同学在计算时用到了公式 ①　 　 ；②　 　 小刚同学在计算时运用了公式 ①　 　 ； ②　 　 重点难点考点讲练06：分母有理化 【例题精讲】（2023秋•茂南区校级期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按上述规律，计算　　． 【训练1】（2024春•牡丹江期中）计算：　　． 【训练2】（2022春•定州市期中）阅读下列解题过程： ； ； 请解答下列问题： （1）观察上面解题过程，计算； （2）请直接写出的结果． （3）利用上面的解法，请化简：． 【训练3】（2023秋•南山区校级期中）阅读下面问题： ； ； ． （1）求的值； （2）计算：． 重点难点考点讲练07：同类二次根式 【例题精讲】（2024春•竹溪县期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为　　 A．16 B．0 C．2 D．不确定 【训练1】（2024春•松滋市期中）已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的的取值范围； （2）已知为最简二次根式，且与为同类二次根式，求的值，并求出这两个二次根式的积． 【训练2】（2023春•前郭县期中）是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【训练3】（2022春•孟村县期中）若最简二次根式和是同类二次根式． （1）求，的值； （2）求的值． 重点难点考点讲练08：二次根式的加减法 【例题精讲】（2024春•虞城县期中）已知，，是正整数，若有序数对使得的值也是整数，则称是的一个“理想数对”，在下列数对中：（1），（2），（3），（4），理想数对有几个　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．不能确定 【训练1】（2023春•泸县校级期中）设 则与最接近的整数是　　 A．2009 B．2006 C．2007 D．2008 【训练2】（2021春•淮南期中）计算：． 【训练3】（2022春•三台县期中）计算：． 重点难点考点讲练09：二次根式的混合运算 【例题精讲】（2024春•铁西区期中）已知，，则的平方根为 　　． 【训练1】（2020春•广陵区校级期中）观察下列各式：；；， 请你猜想： （1）　　，　　． （2）计算（请写出推导过程） （3）请你将猜想到的规律用含有自然数的代数式表达出来 　　． 【训练2】（2024春•滨湖区校级期中）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样可以把部分．的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　； （2）找一组正整数、、、填空：　　　　 　　　　； （3）化简． 【训练3】（2024春•环翠区校级期中）在学习二次根式的性质时，知道，利用这个性质我们可以求的值． 解：设，两边平方，； ； ； ，，； ； 请利用以上方法，解决下列问题： （1）求； （2）若，求的值． 重点难点考点讲练10：二次根式的化简求值 【例题精讲】（2024春•招远市期中）若，，则的值为　　 A．3 B． C．6 D． 【训练1】（2024春•海曙区期中）已知，那么的值等于　　． 【训练2】（2024春•陇南期中）已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【训练3】（2024秋•南山区期中）小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解的： ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）　　，　　． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出的值． 重点难点考点讲练11：二次根式的应用 【例题精讲】（2024春•莱山区期中）已知一个矩形的两条边长分别和，则它的对角线的长为 　　． 【训练1】（2023春•合江县期中）已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 【训练2】．（2022春•东莞市校级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ，；，； ，； （1）请用含有为正整数）的等式表示上述变化规律：　　，　　． （2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ （3）求出的值． 【训练3】（2024春•长垣市校级期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 1．（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级下·广东江门·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示． 化简 ． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ． 6．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 7．（23-24八年级下·天津西青·期中）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 8．（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： (1)计算： ； (2)若n为正整数，请你猜想 ； (3)计算：． 9．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 10．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第16章 二次根式 （知识梳理+易错点拨+11个重难点考点讲练+压轴题专练 共50题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：二次根式的定义 2 知识点梳理02：二次根式的主要性质 2 知识点梳理03：最简二次根式 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：二次根式定义条件 3 易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 3 易错知识点03：误判“同类二次根式” 3 易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 4 易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 4 易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 4 易错知识点07：隐含条件忽视 4 易错知识点08：符号与变形错误 4 易错知识点09：应用场景误区 4 重点难点 考点讲练 5 重点难点考点讲练01：二次根式的定义 5 重点难点考点讲练02：二次根式有意义的条件 6 重点难点考点讲练03：二次根式的性质与化简 9 重点难点考点讲练04：最简二次根式 11 重点难点考点讲练05：二次根式的乘除法 12 重点难点考点讲练06：分母有理化 14 重点难点考点讲练07：同类二次根式 16 重点难点考点讲练08：二次根式的加减法 18 重点难点考点讲练09：二次根式的混合运算 20 重点难点考点讲练10：二次根式的化简求值 23 重点难点考点讲练11：二次根式的应用 26 压轴专练 拔尖冲刺 28 知识点梳理01：二次根式的定义 形如的代数式叫二次根式 （1） 式子中含有二次根号“”； （2） 可以表示数也可以表示代数式 （3） 二次根式表示非负数的算术平方根，，即二次根式的两个非负性 知识点梳理02：二次根式的主要性质 （1） （2） （3） （4） 二次根式的性质是根式化简的依据。 知识点梳理03：最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。 最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 易错知识点01：二次根式定义条件 学生容易忽略被开方数必须是非负数这一核心条件。例如，题目中出现类似“”的式子时，未意识到隐含条件“x≥3”；或在分式形式的二次根式中（如），忽略分母不能为0且被开方数需非负的双重限制 易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 最简二次根式需满足三个条件： 被开方数不含分母； 被开方数不含能开方的因数； 分母中不含根号。 常见错误如未将化简为，或未对分母进行有理化处理。 易错知识点03：误判“同类二次根式” 同类二次根式需先化简为最简形式后，再看被开方数是否相同。例如，和化简为和才可合并，但学生可能因未化简而误以为不能合并 易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 二次根式加减必须先将所有项化为最简形式，再合并同类项。典型错误如直接合并为，或未发现与是同类项 易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 乘法时未正确应用（需a,b≥0）； 除法中未注意分母有理化，或误将拆分为但忽略分母限制 易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 错误将根号与加减法结合，如，或，此类错误常因对根号性质理解不透导致 易错知识点07：隐含条件忽视 1. 双重非负性忽略 二次根式的结果和被开方数均非负，但学生可能在涉及代数式时未考虑符号。例如，=∣a∣，而非直接等于a；或未注意题目中隐含的变量取值范围 2. 分母有理化不彻底 有理化时需找到正确的有理化因式，如对​，应乘以而非仅处理分母中的单项根式。学生可能仅处理部分项，导致分母仍含根号 易错知识点08：符号与变形错误 1. 变形时符号处理不当 例如，将直接写成a-2，而忽略a可能小于2的情况，正确结果应为∣a−2∣ 2. 综合运算顺序混乱 混合运算时未遵循先乘除后加减、先括号内后外的规则，或因跳步过多导致符号错误。例如，在计算“”时，可能漏乘括号内的第二项 易错知识点09：应用场景误区 1. 实际问题建模错误 例如，用勾股定理求斜边时，若已知两直角边为和，学生可能直接相加而非平方后求和再开方 2. 与数轴结合时符号误判 当二次根式与数轴上的点结合时，未根据点的位置判断被开方数的正负性，导致结果错误 重点难点考点讲练01：二次根式的定义 【例题精讲】（2024春•海沧区校级期中）若是一个整数，则正整数的最小值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】由于是一个整数，则为3乘以一个完全平方数，从而得到时，正整数最小． 【规范解答】解：是一个整数， 正整数的最小值是3． 故选：． 【考点评析】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【训练1】（2024春•襄城县期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的因子二次根式． （1）若与是关于4的因子二次根式，则　　； （2）若与是关于2的因子二次根式，求的值． 【思路点拨】（1）根据新定义得到，然后解方程即可； （2）根据新定义得到，然后解方程即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得， 解得， 故答案为：； （2）根据题意得， 所以 解得 即的值为． 【考点评析】本题考查了二次根式的定义：正确理解新定义是解决问题的关键． 【训练2】（2023春•盐城期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的因子二次根式． （1）若与是关于4的因子二次根式，则　　； （2）若与是关于的因子二次根式，求的值． 【思路点拨】（1）根据新定义得到，然后解方程即可； （2）根据新定义得到，然后解方程即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得， 解得， 故答案为：； （2）根据题意得， 所以， 解得， 即的值为． 【考点评析】本题考查了二次根式的定义：正确理解新定义是解决问题的关键． 重点难点考点讲练02：二次根式有意义的条件 【例题精讲】（2024春•湖北期中）已知、满足，则　　 A．4 B．8 C．2024 D．4048 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件以及非负数的性质可得三边、、的值，然后代入可得答案． 【规范解答】解：、满足， ， ， ， ，， ，， 则， 故选：． 【考点评析】此题考查的是二次根式有意义的条件，非负数的性质，几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0． 【训练1】（2024春•怀仁市期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【规范解答】解：要想使得代数式在实数范围内有意义， 则， 解得：． 故选：． 【考点评析】本题考查二次根式有意义的条件，只需满足使得二次根式内非负即可． 【训练2】（2024春•罗山县期中）（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由，得， ， 　　； （2）尝试应用：若，为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，直接写出的值． 【思路点拨】（1）根据二次根式有意义的条件可求出的值，从而得到的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出的值，从而得到的值，即可求解； （3）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解． 【规范解答】解：（1）由，得：， ， ； 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：， ， ； （3）由题意得：， 解得：， ， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键． 【训练3】（2024春•凉州区期中）（1）若实数、满足等式，求的值； （2）已知，求的平方根． 【思路点拨】（1）先由非负数的性质求出，，再把、的值代入，然后根据立方根的定义求解即可； （2）根据二次根式的被开方数为非负数可得，据此可得，进而求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【规范解答】解：（1），，， ，， 解得，， ， 的立方根为2； （2）， ， ，， ． ． 【考点评析】本题主要考查了平方根、立方根以及绝对值与算术平方根的非负性，熟知两个非负数的和等于0，则每个加数必须等于0是解答（1）的关键． 重点难点考点讲练03：二次根式的性质与化简 【例题精讲】（2024春•河东区期中）已知、、在数轴上的位置如图，化简：　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先根据数轴可得，且，进而得到，，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【规范解答】解：由数轴可得，，且， ，， 原式 ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了利用数轴化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【训练1】（2024春•萧山区校级期中）观察下列各式：①，②；③， （1）请观察规律，并写出第④个等式：　　； （2）请用含的式子写出你猜想的规律：　　； （3）请证明（2）中的结论． 【思路点拨】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式； （2）根据规律写出含的式子即可； （3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可． 【规范解答】解：（1）； （2）； （3） ． 故答案为：（1）； （2）． 【考点评析】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可． 【训练2】（2024春•东莞市校级期中）观察下列各式： 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）　　 （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用为正整数）表示的等式：　　； （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程） 【思路点拨】（1）根据提供的信息，即可解答； （2）根据规律，写出等式； （3）根据（2）的规律，即可解答． 【规范解答】解：（1）；故答案为：； （2）；故答案为：； （3）． 【考点评析】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律． 重点难点考点讲练04：最简二次根式 【例题精讲】（2024春•政和县期中）下列式子中最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】最简二次根式要具备两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可求解． 【规范解答】解：．是最简二次根式，符合题意； ．被开方数中含有能开方的因式4，不是最简二次根式，不合题意； ．被开方数中含有能开方的因式4，不是最简二次根式，不合题意； ．被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握定义是关键． 【训练1】（2024秋•会宁县期中）把化为最简二次根式，结果是 　　． 【思路点拨】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【规范解答】解：， 故答案为： 【考点评析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题关键． 【训练2】（2024春•黔东南州期中）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． （1）；（2）；（3）；（4）． 【思路点拨】由最简二次根式的概念可知（1）（4）是最简二次根式，（2）（3）不是最简二次根式，再分别化简（2）（3）即可． 【规范解答】解：（1）（4）是最简二次根式，（2）（3）不是最简二次根式． （2）． （3）． 【考点评析】本题考查最简二次根式、二次根式的性质与化简，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 重点难点考点讲练05：二次根式的乘除法 【例题精讲】（2024春•长沙县期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用二次根式的乘法运算法则依次计算进行判断即可． 【规范解答】解：、，选项错误，不符合题意； 、，选项错误，不符合题意； 、，选项错误，不符合题意； 、，选项正确，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了二次根式的乘法运算法则，熟练掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． 【训练1】（2024春•沂南县期中）小明做数学题时，发现；；；；；按此规律，若，为正整数），则　73　． 【思路点拨】找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【规范解答】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 【考点评析】此题考查了数字类规律，找出题中的规律是解本题的关键． 【训练2】（2017春•承德县期中）阅读题目：计算， 小明同学是这样计算的 小刚同学是这样计算的 问题填空： （1）两位同学做法正确的是　　 ．小明正确 ．小刚正确 ．小明、小刚都正确 ．小明、小刚都不正确 （2）小明同学在计算时用到了公式 ①　 　 ；②　 　 小刚同学在计算时运用了公式 ①　 　 ； ②　 　 【思路点拨】（1）观察两位同学的做法，判断即可； （2）分析两位同学的方法，填写即可． 【规范解答】解：（1）两位同学都做法正确， 故选； （2）小明：①； ②； 小刚：①； ②． 故答案为：，，，， 【考点评析】此题考查了二次根式的乘除法，以及二次根式的化简与性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 重点难点考点讲练06：分母有理化 【例题精讲】（2023秋•茂南区校级期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按上述规律，计算　　． 【思路点拨】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可． 【规范解答】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 【训练1】（2024春•牡丹江期中）计算：　　． 【思路点拨】利用分数的性质和平方差公式，分子分母同时乘以即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查分母有理化，掌握分数的性质和平方差公式进行分母有理化是解题的关键． 【训练2】（2022春•定州市期中）阅读下列解题过程： ； ； 请解答下列问题： （1）观察上面解题过程，计算； （2）请直接写出的结果． （3）利用上面的解法，请化简：． 【思路点拨】（1）观察上面解题过程，得出原式的结果即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式利用各种分母有理化，计算即可得到结果． 【规范解答】解：（1）原式； （2）归纳总结得：； （3）原式． 【考点评析】此题考查了分母有理化，弄清题中分母有理化法则是解本题的关键． 【训练3】（2023秋•南山区校级期中）阅读下面问题： ； ； ． （1）求的值； （2）计算：． 【思路点拨】（1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果． 【规范解答】解：（1）原式； （2）原式． 【考点评析】此题考查了分母有理化，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． 重点难点考点讲练07：同类二次根式 【例题精讲】（2024春•竹溪县期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为　　 A．16 B．0 C．2 D．不确定 【思路点拨】先把化简为，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到，从而得到的值． 【规范解答】解：， 而最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故选：． 【考点评析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【训练1】（2024春•松滋市期中）已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的的取值范围； （2）已知为最简二次根式，且与为同类二次根式，求的值，并求出这两个二次根式的积． 【思路点拨】（1）根据二次根式有意义的条件得出，求出不等式的解集即可； （2）先求出，得出，求出即可． 【规范解答】解：（1）要使有意义，必须， 即， 所以使得该二次根式有意义的的取值范围是； （2）， 所以， 解得：， 这两个二次根式的积为． 【考点评析】本题考查了二次根式有意义的条件和同类二次根式的定义等知识点，能根据知识点得出不等式或方程是解此题的关键． 【训练2】（2023春•前郭县期中）是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列出方程求出的值，再把的值代入原式看是否符合题意即可． 【规范解答】解：若与是同类二次根式，则， 解得：，当时，， 与都不是最简二次根式． 故不存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式． 【考点评析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 【训练3】（2022春•孟村县期中）若最简二次根式和是同类二次根式． （1）求，的值； （2）求的值． 【思路点拨】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解； （2）根据，的值和算术平方根的定义即可求解． 【规范解答】解：（1）根据题意知， 解得：； （2）当、时， ． 【考点评析】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 重点难点考点讲练08：二次根式的加减法 【例题精讲】（2024春•虞城县期中）已知，，是正整数，若有序数对使得的值也是整数，则称是的一个“理想数对”，在下列数对中：（1），（2），（3），（4），理想数对有几个　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．不能确定 【思路点拨】根据题意分别计算各数对，然后判断作答即可． 【规范解答】解：， 是4的“理想数对”，故（1）符合要求； 同理，是3的“理想数对”，故（2）符合要求； 是2的“理想数对”，故（3）符合要求； 是1的“理想数对”，故（4）符合要求； 故选：． 【考点评析】本题考查了算术平方根，二次根式的加法运算．熟练掌握算术平方根，二次根式的加法运算是解题的关键． 【训练1】（2023春•泸县校级期中）设 则与最接近的整数是　　 A．2009 B．2006 C．2007 D．2008 【思路点拨】通过上式找出规律，得出通项公式再进行化简，得结果为，将自然数代入求出结果，再判断与最接近的整数． 【规范解答】解：为任意的正整数， ， ． 因此与最接近的整数是2009． 故选：． 【考点评析】用裂项法将分数化成，寻找抵消规律求和． 【训练2】（2021春•淮南期中）计算：． 【思路点拨】首先把二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可． 【规范解答】解：原式， ． 【考点评析】此题主要考查了二次根式加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 【训练3】（2022春•三台县期中）计算：． 【思路点拨】本题涉及零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【规范解答】原式 ． 【考点评析】本题考查实数的综合运算能力，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算是解题的关键． 重点难点考点讲练09：二次根式的混合运算 【例题精讲】（2024春•铁西区期中）已知，，则的平方根为 　　． 【思路点拨】根据，，可以求得、的值，然后即可求得的平方根． 【规范解答】解：， ， ， ， 解得， ， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 【训练1】（2020春•广陵区校级期中）观察下列各式：；；， 请你猜想： （1）　　，　　． （2）计算（请写出推导过程） （3）请你将猜想到的规律用含有自然数的代数式表达出来 　　． 【思路点拨】认真观察，可发现根号内第一个数和第二个数的分母相差为2，结果为第一个数和第二个数的分母和的一半与第二个数的算术平方根的积． 【规范解答】解：（1），； （2）； （3）． 【考点评析】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律． 【训练2】（2024春•滨湖区校级期中）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样可以把部分．的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　； （2）找一组正整数、、、填空：　　　　 　　　　； （3）化简． 【思路点拨】（1）将用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案； （2）设，则，比较完全平方式右边的值与，可将和用和表示出来，再给和取特殊值，即可得答案； （3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可． 【规范解答】解：（1），， ，， 故答案为：，． （2）设． 则． ，， 若令，，则，． 故答案为：21，4，1，2． （3） ． 【考点评析】本题考查了利用分母有理化和利用完全平方公式对二次根式化简，以及对这种方法的拓展应用，本题具有一定的计算难度． 【训练3】（2024春•环翠区校级期中）在学习二次根式的性质时，知道，利用这个性质我们可以求的值． 解：设，两边平方，； ； ； ，，； ； 请利用以上方法，解决下列问题： （1）求； （2）若，求的值． 【思路点拨】（1）设，运用平方计算求出，根据求出结果即可； （2）两边平方后整理得，再平方解无理方程得到结果． 【规范解答】解：（1）设， 两边平方得，， ， ， ， ， ， （2）， 两边平方，， 即， ， 所以， 解得． 【考点评析】本题考查二次根式的性质，应用二次根式的性质计算是解题的关键． 重点难点考点讲练10：二次根式的化简求值 【例题精讲】（2024春•招远市期中）若，，则的值为　　 A．3 B． C．6 D． 【思路点拨】将，代入求值即可． 【规范解答】解：，， ． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【训练1】（2024春•海曙区期中）已知，那么的值等于　　． 【思路点拨】通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算． 【规范解答】解：由，两边分别平方得：， 原式． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示． 【训练2】（2024春•陇南期中）已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先由、计算出、，再代入计算可得； （2）将代入，计算可得． 【规范解答】解：（1），， ，，， 则 ； （2）由（1）知，， ， ． 【考点评析】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【训练3】（2024秋•南山区期中）小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解的： ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）　　，　　． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出的值． 【思路点拨】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）根据小明的分析过程，得，可求出代数式的值． 【规范解答】解：（1）原式，原式， 故答案为：，， （2）原式 ； （2）， ， ，， ， 原式． 【考点评析】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键． 重点难点考点讲练11：二次根式的应用 【例题精讲】（2024春•莱山区期中）已知一个矩形的两条边长分别和，则它的对角线的长为 　　． 【思路点拨】根据勾股定理来求出对角线的长． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是根据勾股定理来解答． 【训练1】（2023春•合江县期中）已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 【思路点拨】由二次根式的定义可求得、的值，再求得其周长即可． 【规范解答】解： ， 且， ， ， 当为等腰三角形的腰时，则此三角形周长为， 当为等腰三角形的腰时，则此三角形周长为． 【考点评析】本题主要考查二次根式的应用，利用二次根式的定义求得、的值是解题的关键． 【训练2】．（2022春•东莞市校级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ，；，； ，； （1）请用含有为正整数）的等式表示上述变化规律：　　，　　． （2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ （3）求出的值． 【思路点拨】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解； （2）利用（1）的规律代入求出即可； （3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可． 【规范解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：，，，所以．故：答案为 与 （2）当时，有：，解之得： 即：说明它是第32个三角形． （3） 即：的值为11.25． 【考点评析】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系． 【训练3】（2024春•长垣市校级期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 【思路点拨】（1）由三角形的边角命名修改找出、、的值，代入海伦公式即可得出结论； （2）由三角形的面积底高，代入数据，即可得出结论． 【规范解答】解：（1），，， ，，，， 的面积． （2）设边上的高为， 则， 解得． 【考点评析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明白海伦公式的运用，代入数据即可 1．（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式，解决本题的关键是根据同类二次根式的定义进行判断． 【规范解答】解：A选项：，与是同类二次根式，可以合并同类二次根式，故A选项符合题意； B选项：与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C选项：，与不是同类二次根，不能合并，故C选项不符合题意； D选项：与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答． 【规范解答】解：由数轴得， ∴， 则 ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质得到，则有，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可． 【规范解答】解：， 而， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（21-22八年级下·广东江门·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示． 化简 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用绝对值和二次根式的性质进行化简，掌握性质是解题的关键．由数轴可得，，根据进行化简即可． 【规范解答】解：由数轴知：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ． 【答案】0 【思路点拨】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 【规范解答】解： ∴ ， 故答案为：0． 6．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先由数轴确定a、b、c的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【规范解答】解：由图示可得：且，则， 所以 ． 故答案为． 7．（23-24八年级下·天津西青·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，进行二次根式的混合运算首先要把二次根式化为最简二次根式，然后再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 首先把二次根式化简，可得：原式，然后再根据二次根式的乘除法法则进行计算即可； 首先把二次根式化简，可得：原式，然后再去括号、合并同类二次根式即可； 首先把二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可； 首先根据完全平方公式展开，可得：原式，然后再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： (1)计算： ； (2)若n为正整数，请你猜想 ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； 【规范解答】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解： 9．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键． （1）根据题干给的规律，可直接写出结果； （2）根据题干给的规律，可直接写出第个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到，由此即可证明等式成立； （3）根据前面证明所得到的式子，利用，以及化简，即可求得结果； 【规范解答】（1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． 10．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【思路点拨】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）比较与的大小，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$