4.3公式法（平方差公式+完全平方公式+十字相乘法）课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册

4.3 公式法 平方差公式 完全平方公式 十字相乘 多项式与整式积有什么关系？ 我们已学过哪一种分解因式的方法? 提公因式法: 当m=a－b时， ma+mb=m(a+b) 会变成什么呢？ 平方差公式： 问题1 多项式 整式积 整式乘法 因式分解 问题2 问题3 a2－b2 (a+b)(a－b) 整式乘法 因式分解 ma+mb m(a+b) 整式乘法 因式分解 整体思想 问题导入 这样，我们就得到了－因式分解的方法： 结论：我们可以将 作为公式，把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做___________. 公式法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 公式左边： 1.多项式有两项； 2.这两项异号； 3.两项是平方差. 公式右边： 两项整式的和与两项整式的差的乘积的形式 a2－b2 =(a+b)(a－b) a2－b2 =(a+b)(a－b) 平方差公式左右两边有什么特征？ 问题4 新知探究 例1 判断下列各式能否用平方差公式因式分解？若能，请因式分解。 (1) (2) (3) (4) (5) 不能转化为平方差形式 不能转化为平方差形式 公式法分解因式步骤： 第一步，将两项写成平方的形式；找出a、b 第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式 (6) = 当首项前有负号时. 第一步，连同符号交换位置. = = = 新知探究 例2 把下列各式因式分解: (1) ； 还可以继续分解 (2) 还可以继续分解 分解步骤： 新知探究 反思点 等号两边是否相等？ 去括号法则用对了吗？ 积的乘方、幂的乘方的逆用对吗？ 是否转化为了a2－b2的形式？ 是否转为成几个乘积的形式？ 是否将因式分解进行到底？ 是否还能提取公因式 是否还能用公式法 提公因式 公式法 是否还能因式分解 输出结果 提公因式法: 平方差公式： a²+2ab+b² (a+b) 整式乘法 因式分解 a2－b2 (a+b)(a－b) 整式乘法 因式分解 ma+mb m(a+b) 整式乘法 因式分解 令a=x+p; b=x+q 整体思想 令m=a-b 令a-b=m 类比思想 令m=a+b 令a+b=m ² 完全平方公式： 令x+p=a; x+q=b 如何使ma+mb=m(a+b) 变成完全平方公式？ 形式： － =( + )( － ) ² ² • 总结升华 我们把a²+2ab+b²和a²－2ab+b²这样的式子叫作完全平方式. 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 完全平方式: 简记口诀： 首平方，尾平方，两倍首尾乘积放中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2 a b +b2 ± =(a ± b)² a2 首2 +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 形式： ±2 + =( + ) ² ² ² 完全平方式有什么特征？ 问题5 新知探究 3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 练习1：对照 a²±2ab+b²=(a±b)²填空 m m - 3 3 x 2 m 3 练习2：下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. (6) 是 （2）因为它只有两项； 不是 不是 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. （3）4b²与-1的符号不统一； 是 新知探究 (3)3ax2+6axy+3ay2 (4)－x2－4y2＋4xy 原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2 方法：有公因式先提出公因式，再进一步分解因式； 当首项的二次项系数为负数时，一般应先提出“－”号或整个负数； 原式＝ －(x2＋4y2－4xy) ＝ －(x2－4xy＋4y2) ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝ －(x－2y)2 例3 把下列完全平方式因式分解： （1）x2+14x+49 （2） (m+n)2 -6 (m+n)+9 原式＝ x2＋ 2·x·7 ＋72 ＝ (x＋7) 2 原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32 ＝(m＋n－3)2 整体思想 新知探究 9 反思点 等号两边是否相等？ 去括号法则用对了吗？ 积的乘方、幂的乘方的逆用对吗？ 是否转化为了a2±2ab+b2的形式？ 是否转为成几个乘积的形式？ 是否将因式分解进行到底？ 是否还能提取公因式 是否还能用公式法 例4 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值． ＝112＝121 解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0， ∴(x－2)2＋(y－5)2＝0. ∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5， ∴x2y2＋2xy＋1 ＝(xy＋1)2 多项式既不是两项也不是三项怎么办？ 问题6 凑成两项或者三项（可能需要不断试错） 新知探究 10 1.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　） A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3) C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3) D 6.因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2 (2) (a2＋4)2－16a2 (3) y2+2y+1－x2 （4）4x2y－4xy2－x3 2.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________. ±8 3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为 . -21 4.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是______. 4 5.已知-4=-15,求值. 变式应用 7.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值． 原式=-40×5=-200 解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)（2m-3n) 当4m+n=40，2m-3n=5时， 8.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． ∴△ABC是等边三角形． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c， 变式应用 9.(1)992-1能否被100整除吗？ (2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 解：(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98 ∵n为整数 ∴(2n+1)2-25能被4整除 ∴992-1能否被100整除 (2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5) =(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2) 变式应用 1.如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？ 解：S阴影=（1002-992）+（982-972）+…+（22-12） =100+99+98+97+…+3+2+1 =5050（cm2） 答：所有阴影部分的面积和是5050cm2 开放拓展 提公因式法: 平方差公式： a²+2ab+b² (a+b) 整式乘法 因式分解 a2－b2 (a+b)(a－b) 整式乘法 因式分解 ma+mb m(a+b) 整式乘法 因式分解 令a=x+p; b=x+q 整体思想 令m=a-b 令a-b=m 类比思想 令m=a+b 令a+b=m ² 完全平方公式： 令x+p=a; x+q=b 形式： － =( + )( － ) ² ² • ±2 + =( + ) ² ² ² 总结升华 类比 23×12的竖式乘法 ， 若将数字替换为代数式，如 (2x+3)(x+2)，能否用类似方法计算 问题1 如何检验式的竖式乘法计算是否正确？ 问题2 数的竖式乘法 式的竖式乘法 用多项式乘法法则，即(2x+3)(x+2)=2x2+4x+3x+6=2x2+7x+6 问题导入 16 积的二次项系数2与两个因式的一次项系数有着怎样的关系？ 问题3 如何得到积的常数项6？ 问题4 积的二次项系数等于两个因式中一次项系数之积 (2x +3) ( x +2) 先交叉相乘，再相加 积的一次项系数7x是如何得到的？ 问题5 积的常数项等于两个因式中常数项之积 (2 +3) ( 1 +2) 为了研究方便，一般略去字母 4x+3x =7x 2×2+1×3 =7 新知探究 17 例1 利用十字相乘法填空 (1) (x－ 5)(x＋6)= x2 ＋ x ＋ ; (2) (2a－ 5)(a＋6)= a2 ＋ a ＋ ; (3) (4m＋3)(2m－9)= m2 ＋ m ＋ ; (4) (5x＋3y)(2x－y)= ＋ ＋ . 新知探究 18 两条横线分别可以填什么？那么m分别等于多少？ 问题6 x2 ＋ mx ＋10 = (x+ )(x+ ) 横线： 1和10、 2和5、 -1和-10、 -2和-5 m: 11、 7、 -11、 -7 m的值与哪些因素有关？ 问题7 4x2 ＋ mx ＋10 = ( x+2)( x+5) 两条横线分别可以填什么？那么m分别等于多少？ 问题8 横线： 1和4、 4和1、 -1和-4、 -2和-2、 ...... m: 13、 22、 -13、 -14、 ...... m的值与哪些因素有关？ 问题9 与常数项10的分解有关 与二次项系数4的分解有关 新知探究 19 例2 利用十字相乘法分解因式 （1） x2 ＋ 5x － 14 （2）2a2－ 11a ＋15 二次项系数与常数项的分解必须满足什么条件? 问题10 利用十字相乘法分解因式，你有哪些心得体会？ 问题11 需要多尝试几次，有时不能一次成功 x2 － 9 与 x2 － 4x ＋4 能利用十字相乘法分解吗？ 问题12 十字相乘法仍然适用于平方差式和完全平方式 在ax2 ＋ bx ＋c (a≠0)中，若a=,c=, 则b= ( ) ( ) =b 新知探究 20 把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积. 同学们拼出图形为： a a b b a b a b ab a² b² ab 问题13 a b a b a² ab ab b² 这个大正方形的面积可以怎么求？ a2+2ab+b2 （a+b）2 = （a+b）2 a2+2ab+b2 = 将上面的等式倒过来看，能得到： mx nx p q 同理，求长方形面积 问题14 新知探究 21 1.将下列多项式因式分解 (1) x2+6xy-16y2 (2) x4+13x2+36 (3) x2y2-7xy-18 (4) (a+b)2-4(a+b)+3 (5) x4-3x3 -28x2 (6) 2x2-7x+3 (7) 5x2+6xy-8y2 变式应用 22 1.利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式、十字相乘等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。 2.利用平方差公式分解因式的步骤： （1）若多项式中有公因式，应先提取公因式； （2）剩余因式若有两项、异号，两项是平方差，则用平方差公式继续分解因式。 3.分解因式一定要分解到每个因式都不能再分解为止。 （“一提、二套、三检查”） 总结升华 $$