第8章 1 走近数学建模-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

第八章　数学建模活动(一) §1　走近数学建模 知识点一　一笔画定理 1.下图中的两个图形，哪一个图形能一笔画成，哪个不能？为什么？ 解　(1)标点：标出偶点和奇点． (2)判断：第一个图形有两个奇点，所以可以一笔画成，第二个图形有4个奇点，所以不能一笔画成． 2．图中的线段代表一条条小路，有A，B两只蚂蚁，想一想，能够不重复爬遍小路的是A蚂蚁还是B蚂蚁？ 解　(1)标点：标出偶点和奇点． (2)判断：有2个奇点，可以一次走过，但是只能从一个奇点开始，到另一个奇点结束，所以只有B处的蚂蚁才可以. 知识点二　建立数学模型解决实际问题 3.在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因此三根电线的长度均未知．现在工人师傅为了在顶楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻．如何测量出这三根电线的电阻？ 解　不妨用a，b，c及a′，b′，c′分别表示三根电线的底端和顶端，并用aa′，bb′，cc′分别表示三根电线，假设x，y，z分别是aa′，bb′，cc′的电阻，这是三个未知数．电表不能直接测量出这三个未知数．然而我们可以把a′和b′连接起来，在a和b处测量得电阻x＋y为l；然后将b′和c′连接起来，在b和c处测量得y＋z为m，连接a′和c′可测量得x＋z为n，这样得三元一次方程组由三元一次方程组解出x，y，z，即得三根电线的电阻． 4．某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的同一地点，为什么？ 解　解法一：将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人同时分别从山下和山顶沿同一路径反向运动，因为两人同时出发，同时到达目的地，又沿同一路径反向运动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在两天中的同一时刻经过途中的同一地点． 解法二：以时间t为横坐标，以沿上山路线从山下旅店到山顶的路程x为纵坐标，从山下到山顶的总路程为d； 在t时刻：第一天的行程可设为x＝F(t)，则F(t)是单调递增的连续函数，F(8)＝0，F(17)＝d；第二天的行程可设为x＝G(t)，G(t)是单调递减的连续函数，且G(8)＝d，G(17)＝0，在平面直角坐标系中分别作出曲线x＝F(t)及x＝G(t)，则两曲线相交于P(t0，x0)点，即这人在两天中的同一时刻经过途中的同一地点． 严格的数学论证：令H(t)＝F(t)－G(t)， 由F(t)，G(t)在区间[8,17]上连续，所以H(t)在区间[8,17]上连续，又H(8)＝F(8)－G(8)＝0－d＝－d<0，H(17)＝F(17)－G(17)＝d－0＝d>0， 由函数零点存在定理知在区间[8,17]内至少存在一点t0使H(t0)＝0，即F(t0)＝G(t0)． 这说明在早8时至下午5时之间存在某一时刻t＝t0使得x0＝F(t0)＝G(t0)，即这人在两天中的同一时刻经过途中的同一地点． 5．要用40块正方形瓷砖铺如下图所示形状的地面，但当时市场上只有长方形瓷砖，每块大小等于正方形的两块．一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面，结果弄来弄去始终无法铺好．试问是这人的功夫不到家还是这个问题根本无解呢？ 解　在图上黑白相间地染色，然后仔细观察，发现共有21个白格和19个黑格．一块长方形瓷砖可以盖住一黑一白两个方格．所以铺上19块长方形瓷砖后，总要剩下2个白格无法铺，因为一块长方形瓷砖是无法盖住两个白格的．唯一的解决办法是把最后一块瓷砖分为两个正方形瓷砖去盖住两个白格． 解答题 1．下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？ 解　一个图能否一笔画出，关键取决于这个图中奇点的个数，通过观察可以发现，题图中所有的结点都是偶点，因此，这个图可以一笔画出，画时可以任一结点作为起点． 2．一个居民小区的平面图如图所示，邮递员能否从东、南、西、北四个入口中的任何一个口进入，不重复而走遍这个小区内的大街小巷呢？ 解　图形可作如下处理： 由图可知，有2个奇点，所以从一个奇点进另一个奇点出，即从西(北)进，从北(西)出就可不重复而走遍这个小区内的大街小巷． 3．现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，问各天分别杀几只？ 解　分析：这是一个有限问题，解决此类问题的一类方法是枚举． 建模：依题意，设第i天杀2ki＋1(ki为自然数)只，则所提问题变为在自然数集上求解方程(2k1＋1＋2k2＋1＋…＋2k7＋1)＝26. 于是，我们有了该问题的数学语言表达——数学模型． 结论：整理方程为2(k1＋k2＋…＋k7)＝19，ki为自然数，显然无解． 4．传说中有一所监狱有64间囚室，按8×8型排列，所有相邻的囚室都有门相通．监狱长告诉关押在一个角落里的囚犯，只要他能够不重复地通过每间到达对角的囚室，他将被释放，问此囚犯能够获得自由吗？ 解　不能获得自由．将题图涂成黑白相间，每经过的房间都是黑白交替，因此从左上角白房间出发，是不可能到达右下角的白房间的，最后一个房间必是黑色才能到达右下角的房间． 5．交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯．请分析黄灯应当亮多久． 解　设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车．停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L.这就是说，在离街口距离为L处存在着一条停车线(尽管它没被画在地上)，见图．对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路． 马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定．为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2. 其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程．L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照，而此街道的行驶速度v也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1＝v·t1.刹车距离L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来． 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了． 第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车． 第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T至少应当达到. 6．飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线．为了搞清失事原因，人们必须尽快找到黑匣子．确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法．由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度. 解　黑匣子所在方向很容易确定，关键在于确定距离．设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为a， 则有＝＝2， 解得d＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$