第2章 2.2 函数的表示法-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

2．2　函数的表示法 知识点一 函数的三种表示法 1．下列各式为函数解析式的是(　　) A．y＝(x≥0) B．y2＝x(x≥0) C．x2＋y2＝1 D．|y|＝x2＋1 答案　A 解析　对于A，对任意的x≥0，按照对应关系y＝，都有唯一确定的y与之对应，符合函数的定义，而对于B，C，D，则不符合函数的定义，故选A. 2．下表表示函数y＝f(x)，则f(16)＝(　　) x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 1 2 3 4 A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　∵16∈[15,20]，∴f(16)＝4. 3．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数的图象的是(　　) 答案　B 解析　显然B中图象与y轴有两个交点，即有两个函数值与x＝0对应，所以它不能表示以x为自变量的函数的图象. 知识点二 求函数的解析式 4．求下列函数的解析式： (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； (2)已知f(x)－2f＝3x＋2，求f(x)； (3)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)． 解　(1)解法一：(配凑法)∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6. 解法二：(换元法)令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6. (2)(方程组法)令t＝，则x＝， ∴f－2f(t)＝＋2， 即f－2f(x)＝＋2.与原式联立，得 解得f(x)＝－x－－2. 故所求函数为f(x)＝－x－－2(x≠0)． (3)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3， ∴解得或 故所求函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3. 知识点三 分段函数 5．已知函数f(x)＝则f(x)的图象大致是(　　) 答案　A 解析　当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，显然D错误；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错误；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错误．故选A. 6．已知函数f(x)＝则f(－4)＝________，f(f(2))＝________. 答案　18　12 解析　∵－4∈(－∞，2]，∴f(－4)＝(－4)2＋2＝18.∵2∈(－∞，2]，∴f(2)＝22＋2＝6，∵6∈(2，＋∞)，∴f(f(2))＝f(6)＝2×6＝12. 7．已知函数f(x)＝若f(x)≥4，则x的取值范围是________． 答案　[－1,2] 解析　若x≤1，由f(x)≥4得x＋5≥4，即x≥－1，此时－1≤x≤1.若x＞1，由f(x)≥4得－2x＋8≥4，即x≤2，此时1＜x≤2.综上，－1≤x≤2. 8．已知函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，当x∈[0,1]时，对应关系为y＝x；当x∈(1,2]时，对应关系为y＝2－x，试分别用解析法与图象法表示这个函数． 解　函数y＝f(x)用解析法可表示为 y＝ 用图象法表示这个函数，它由两条线段组成，如图所示． 9．已知函数f(x)＝|x－2|(x＋1)． (1)作出函数f(x)的图象； (2)判断关于x的方程|x－2|(x＋1)＝a的解的个数． 解　(1) 函数f(x)＝|x－2|·(x＋1)，去掉绝对值符号，有f(x)＝ 根据二次函数的图象特点可得函数f(x)的图象如图所示． (2) 关于x的方程|x－2|(x＋1)＝a的解的个数就是直线y＝a与y＝f(x)的图象的交点的个数，由图可知， 当a＜0时，有一个交点； 当a＝0时，有两个交点； 当0＜a＜时，有三个交点； 当a＝时，有两个交点； 当a＞时，有一个交点． 所以，当a＜0或a＞时，方程有一个解； 当a＝0或a＝时，方程有两个解； 当0＜a＜时，方程有三个解． 易错点 换元法(配凑法)求函数解析式时忽略定义域 10．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式． [易错分析]　本题因没有注意换元前后自变量的取值范围是否相同，导致所求函数中自变量的取值范围变大． 正解　设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故f(x)＝x2－1(x≥1)． 一、选择题 1．已知f(x)＝则f(f(f(5)))为(　　) A．0 B．－1 C．5 D．－5 答案　D 解析　根据分段函数解析式可知f(f(f(5)))＝f(f(0))＝f(－1)＝－5. 2．函数f(x)＝x＋的图象是(　　) 答案　C 解析　f(x)＝x＋＝由x≠0可排除A，B，又x<0时，f(x)＝x－1，可排除D.故选C. 3．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　∵∴∴f(x)＝当x≤0时，方程x2＋4x＋2＝x即x2＋3x＋2＝0，∴x＝－1或x＝－2.当x>0时，方程为x＝2，∴方程f(x)＝x有三个解．故选C. 4．已知函数f(x)＝若f(t－4)＞f(3)，则实数t的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1,4) D．(－∞，4) 答案　D 解析　根据分段函数的解析式可知，f(3)＝1，所以当t－4＞0，即t＞4时，f(t－4)＝1＞1，此时不等式无解；当t－4≤0，即t≤4时，f(t－4)＝1＋(t－4)2＞1，解得t≠4，此时不等式的解集为(－∞，4)．故实数t的取值范围是(－∞，4)． 5．[多选]已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝④f(x)＝中，满足“倒负”变换的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案　AC 解析　对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，故①满足“倒负”变换；对于②，f(x)＝x＋，f＝＋x＝f(x)，故②不满足“倒负”变换；对于③，当0＜x＜1时，＞1，f＝－x＝－f(x)，满足题意，当x＞1时，0＜＜1，f＝＝－f(x)，满足题意，当x＝1时，f＝－f(x)，满足题意，故③满足“倒负”变换；对于④，f(x)＝，f＝≠－f(x)，故④不满足“倒负”变换．故选AC. 二、填空题 6. 如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3))的值为________． 答案　2 解析　由函数f(x)的图象可知f(3)＝1，f(f(3))＝f(1)＝2. 7．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为________． 答案　－3 解析　若a>0，则f(a)＝2a.由f(a)＋f(1)＝0，得2a＋2＝0，∴a＝－1，与a>0矛盾，舍去；若a≤0，则f(a)＝a＋1.由f(a)＋f(1)＝0，得a＋1＋2＝0，∴a＝－3，符合题意． 8．已知f(x)满足f(x)＋2f＝3x，则f(2)＝________. 答案　－1 解析　令t＝，则x＝，∴f＋2f(t)＝，即f＋2f(x)＝.与原式联立解得f(x)＝－x(x≠0)，∴f(2)＝－2＝1－2＝－1. 三、解答题 9．画出下列函数的图象： (1)y＝|x－5|＋|x＋3|； (2)y＝2x－3，x∈Z，且|x|≤2； (3)y＝x2－2|x|－1； (4)y＝ 解　(1)y＝|x－5|＋|x＋3| ＝图象如图A所示． (2)y＝2x－3，∵x∈Z且|x|≤2， ∴x＝±2，±1,0，图象如图B中的五个点． (3)y＝x2－2|x|－1＝ 图象如图C所示． (4)y＝的图象如图D所示． 10. 已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7，腰长为2，当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，设BF＝x，直线l左边部分的面积为y. (1)写出y与x的函数解析式； (2)画出此函数的图象． 解　(1) 过A，D分别作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2， ∴BG＝AG＝DH＝HC＝2，又BC＝7， ∴AD＝GH＝3，当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝2＋2(x－2)＝2x－2；当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝－(x－7)2＋10. ∴函数的解析式为 y＝ (2)函数图象如下： 学科网（北京）股份有限公司 $$