第1章 2.1 第2课时 充要条件-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

第2课时　充要条件 知识点一 充要条件的判断 1.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件． 2．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形．故选C. 3．判断下列各题中p是否为q的充要条件？ (1)p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (2)p：|x|>3，q：x2>9； (3)p：a＞b，q：a2＞b2. 解　(1)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件． (2)因为p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件． (3)因为pq，且qp，所以p不是q的充要条件． 知识点二 利用充分、必要条件求参数的值或取值范围 4.“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________． 答案　a<－1 解析　方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a<－1. 5．已知A＝{x|3x＋a≥0}，B＝{x|x≥2}，若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则a＝________. 答案　－6 解析　3x＋a≥0化为x≥－.由题意知＝{x|x≥2}，所以－＝2，a＝－6. 6．已知p：－2≤－1≤2，q：1－m≤x≤1＋m. (1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 解　(1)由题意知p：－2≤－1≤2⇔－1≤≤3⇔－2≤x≤10， q：1－m≤x≤1＋m， 因为p是q的充分不必要条件， 所以或 解不等式组得m≥9， 所以实数m的取值范围是[9，＋∞)． (2)因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m. 若p是q的充要条件，则无解． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 知识点三 充要条件的证明与探究 7.已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 证明　①充分性： ∵a＋b＝1，∴b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. ②必要性： ∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0，∴a≠0，且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0. ∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 8．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件，并说明理由． 解　“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下： 当a，b，c∈R，a≠0时， 若“a－b＋c＝0”，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”， 故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件． 若“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”， 故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件． 综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件． 易错点 利用不等式的性质判断充要条件出错 9.“－>0”是“a2－b2>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [易错分析]　该题容易忽略若a>b≥0，则|a|>|b|，误认为两者没关系，错选D. 答案　A 正解　由－>0可得a>b≥0，故有a2－b2>0成立，故充分性成立． 由a2－b2>0可得|a|>|b|，不能推出－>0，故必要性不成立． 故“－>0”是“a2－b2>0”的充分不必要条件．故选A. 一、选择题 1．“x＞2023”是“x＞2022”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由于“x＞2023”时，一定有“x＞2022”，反之不成立，所以“x＞2023”是“x＞2022”的充分不必要条件． 2．设A，B是两个集合，则“A∪B＝B”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　∵A∪B＝B⇔A⊆B，∴“A∪B＝B”是“A⊆B”的充要条件． 3．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x||x|≥1}，则“x∈A，且xB”成立的充要条件是(　　) A．－1＜x≤1 B．x≤1 C．x＞－1 D．－1＜x＜1 答案　D 解析　由题意可知，x∈A⇔x＞－1，xB⇔－1＜x＜1，所以“x∈A，且xB”成立的充要条件是－1＜x＜1.故选D. 4．命题p：x≤1，命题q：≤1，则q是p的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　D 解析　由q：≤1，得到x≥1，或x<0，则q是p的既不充分也不必要条件．故选D. 5．[多选]下列说法中正确的有(　　) A．“x>3”是“x>2”的必要条件 B．“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件 C．“x＝2，或x＝－3”是“x2＋x－6＝0”的充要条件 D．“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件 答案　BC 解析　对于A，“x＞3”是“x＞2”的充分条件，故A错误；对于B，x2＝1⇔x＝－1或x＝1，即“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件，故B正确；对于C，“x＝2，或x＝－3”是“x2＋x－6＝0”的充要条件，故C正确；对于D，“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，例如当a＝－3，b＝－5时，a＞b，但a2＝9＜b2＝25，反之，当a＝－1，b＝0时，a2＞b2，但a＜b，故D错误．故选BC. 二、填空题 6．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． 答案　m＝－2 解析　由函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，得－＝1，即m＝－2.当m＝－2时，y＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 7．命题p：x＞0，y＜0，命题q：x＞y且＞，则p是q的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”) 答案　充要 解析　当x＞0，y＜0时，x＞y且＞成立；当x>y且＞时，得⇒所以p是q的充要条件． 8．下列各组中，p是q的充要条件的是________(填序号)． ①p：m＝－4或m＝4，q：x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根； ②p：＝0，q：x2－1＝0； ③p：x>2，且y>3，q：x＋y>5； ④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 答案　①④ 解析　①由x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根知Δ＝m2－16＝0，解得m＝－4或m＝4，故p是q的充要条件；②＝0⇔x＝－1，而x2－1＝0⇔x＝±1，故p是q的充分不必要条件；③x>2，且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定成立，如x＝0，y＝6.所以“x>2，且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；④A∩B＝A⇔A⊆B，∁UB⊆∁UA⇔A⊆B，故p是q的充要条件． 三、解答题 9．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么： (1)s是q的什么条件？ (2)p是q的什么条件？ 解　(1)∵q⇒s，s⇒r⇒q，∴s是q的充要条件． (2)∵q⇒s⇒r⇒p，∴p是q的必要条件． 10．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0，∴ac＜0. 充分性：由ac＜0可得b2－4ac＞0及x1x2＝＜0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根． 综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 学科网（北京）股份有限公司 $$