第1章 2.1 第1课时 必要条件、充分条件-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

§2　常用逻辑用语 2．1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件、充分条件 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一 必要条件与性质定理 1．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案　B 解析　由a∈M∪N a∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即pq，但q⇒p. 2．判断下列各组中是否有p⇒q 或q⇒p 成立，并用必要条件的语言表述： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0. 解　(1)因为两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以q⇒p成立，所以“p：两个三角形相似”是“q：两个三角形全等”的必要条件． (2)因为矩形的对角线相等，而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以p⇒q成立，所以“q：四边形的对角线相等”是“p：一个四边形是矩形”的必要条件． (3)因为(x－1)(x－2)＝0x＝1，但x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，所以p⇒q成立，所以“q：(x－1)(x－2)＝0”是“p：x＝1”的必要条件. 知识点二 充分条件与判定定理 3．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________条件． 答案　充分条件但不是必要 解析　当a＝1时，N＝{1}，此时N⊆M；当N⊆M时，a2＝1或a2＝2，解得a＝1或－1或或－.故“a＝1”是“N⊆M”的充分条件但不是必要条件． 4．判断下列各组中是否有p⇒q 或q⇒p成立，并用充分条件的语言表述： (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x＜3，q：－1＜x＜3. 解　(1)因为数a能被6整除⇒数a能被3整除，但数a能被3整除数a能被6整除，所以p⇒q成立，所以“p：数a能被6整除”是“q：数a能被3整除”的充分条件． (2)因为(－1,3)(－∞，3)，所以q⇒p成立，但pq，所以“q：－1＜x＜3”是“p：x＜3”的充分条件. 知识点三 必要条件、充分条件的应用 5．已知p：－4＜x－a＜4，q：2＜x＜3，若p是q的必要条件，则a的取值范围为________． 答案　[－1,6] 解析　因为p：a－4＜x＜a＋4，又q：2＜x＜3，p是q的必要条件，所以解得－1≤a≤6. 6．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分条件但不是必要条件，则实数m的取值范围是________． 答案　{m|m>1} 解析　由题意，得AB，即解得m>1. 7．是否存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由． 解　假设存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件，由4x＋p<0，得x<－. 当－≤－1，即p≥4时，x<－≤－1⇒x>2或x<－1， ∴存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件，p的取值范围是{p|p≥4}． 8．设命题p：“a－1≤x≤a＋1”，命题q：“2≤x≤3”． (1)当a＝0时，判断p是q的什么条件； (2)若p是q的必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝0时，命题p：“－1≤x≤1”，命题q：“2≤x≤3”，显然p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． (2)命题p：“a－1≤x≤a＋1”，命题q：“2≤x≤3”． 因为p是q的必要条件但不是充分条件， 所以或 解得2≤a≤3， 所以实数a的取值范围是{a|2≤a≤3}． 易错点 没有分清谁是条件谁是结论致误 9．使不等式0<x<2成立的一个充分条件但不是必要条件是(　　) A．0<x<1 B．－<x<1 C．－1<x<2 D．0<x<2 [易错分析]　该题容易由0<x<2⇒－1<x<2，误选C. 答案　A 正解　设命题p所对应的集合为A，命题q所对应的集合为B，由“p成立的充分条件但不是必要条件是q”，得BA，所以不等式0<x<2成立的充分条件但不是必要条件对应的集合是{x|0<x<2}的真子集，根据选项，只有A符合要求．故选A. 一、选择题 1．“x>1或x<－1”是“x<－2”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．既是充分条件，也是必要条件 答案　B 解析　∵x>1或x<－1x<－2，但x<－2⇒x>1或x<－1，∴“x>1或x<－1”是“x<－2”的必要条件但不是充分条件． 2．“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．无法判断 答案　A 解析　当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件． 3．“a>b”是“a>|b|”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案　B 解析　由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|.故“a>b”是“a>|b|”的必要条件但不是充分条件． 4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案　A 解析　因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆Ba＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分条件但不是必要条件． 5．[多选]若－1＜x≤3是－3＜x＜a的充分条件但不是必要条件，则实数a的值可以是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　CD 解析　∵－1＜x≤3是－3＜x＜a的充分条件但不是必要条件，∴{x|－1＜x≤3}{x|－3＜x＜a}，∴a＞3，∴实数a的值可以是4或5.故选CD. 二、填空题 6．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案　必要 解析　a>0，b>0⇒ab>0.故“ab>0”是“a>0，b>0”的必要条件． 7．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0(a≠0)的必要条件但不是充分条件，则实数a的值为________． 答案　－或 解析　p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3. q：ax＋1＝0(a≠0)，即x＝－. 由题意知pq，q⇒p，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝. 综上可知，a＝－或a＝. 8．若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，则m的取值范围为________． 答案　(－∞，1] 解析　因为{x|x<m}⊆{x|x>2，或x<1}，所以m≤1. 三、解答题 9．分别判断下列命题中p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由． (1)p：a是整数，q：a是自然数； (2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解　(1)由于p：a是整数q：a是自然数， q：a是自然数⇒p：a是整数， 所以p是q的必要条件，p不是q的充分条件． (2)由(x－1)2＋(y－2)2＝0得x＝1且y＝2， 所以(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒(x－1)(y－2)＝0， 而由(x－1)(y－2)＝0得x＝1或y＝2， 所以(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0， 所以p是q的充分条件，p不是q的必要条件． 10．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若q是p的充分条件但不是必要条件，求实数m的取值范围． 解　因为q是p的充分条件但不是必要条件， 所以{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或解得m≤3. 又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}． 学科网（北京）股份有限公司 $$