精品解析：福建省龙岩市实验学校2024-2025学年下学期八年级数学第一次质量检测

2024-2025学年第二学期八年级数学第一次质量检测 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第一部分（选择题共36分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 10，8，6 B. ，， C ，， D. 10，15， 2. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A B. C. D. 3. 在平行四边形中，，则（    ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上的点A所表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 在下列条件中：①在中，；②三角形三边长分别为，，；③在中，三边a，b，c满足；④三角形三边长分别为，，（为大于1的整数），能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 现有一个体积为的长方体纸盒，该纸盒的长为，宽为，则该纸盒的高为（ ） A. B. C. D. 7. 图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（   ） A. B. C. D. 8. 如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 9. 如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 第二部分（非选择题 共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若是最简二次根式，则m的值可以是_____（写一个即可）． 12. 已知实数x，y满足 ，则的值为_______． 13. 若二次根式与的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为 ___． 14. 如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____． 15. 如图，在中，，点D是上的点，若，，则的值为______． 16. 如图，在平行四边形中，平分交于点，连接，若，，，______________ 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在四边形中，，且． （1）求的度数； （2）若，则四边形的面积为_____． 20. 如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长． 21. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处． （1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）当时，求蚂蚁爬过最短路径长的平方． 22. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，�长BC为10cm.当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）. (1)求BF的长；(2)求EC的长. 23. 探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 24. 阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． （1）计算：； （2）m 是正整数， a ，b 且．求 m． （3）已知，求值． 25. 如图，在中，，，D是边上一动点． （1）如图①，若，，求的长； （2）如图②，D是边的中点，E是延长线上一点，连接，过点A作于点F，过点B作交延长线于点G，连接．请猜想、、的关系，并证明你的结论； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期八年级数学第一次质量检测 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第一部分（选择题共36分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 10，8，6 B. ，， C. ，， D. 10，15， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，解题的关键是掌握两数平方和等于第三个数平方的三个正整数是勾股数． 【详解】解：A、∵， ∴10，8，6是勾股数，符合题意； B、∵， ∴，，不是勾股数，不符合题意； C、∵，，不是正整数， ∴，，不是勾股数，不符合题意； D、∵不是正整数， ∴10，15，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 2. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从根指数，被开方数两个基本条件去判断即可． 【详解】∵的根指数是2，被开方数是7，是非负数， ∴是二次根式，故A符合题意； ∵的根指数是3， ∴不是二次根式，故B不符合题意； ∵的根指数是2，被开方数是x，不一定是非负数， ∴不是二次根式，故C不符合题意； ∵的根指数是2，被开方数是-15，无意义， ∴不是二次根式，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的基本条件是解题的关键． 3. 在平行四边形中，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行得到，再根据已知条件求出的度数即可得到答案． 【详解】解；∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，数轴上的点A所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴．利用勾股定理求得的长，再根据数形结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点A所表示的数为． 故选：C． 5. 在下列条件中：①在中，；②三角形三边长分别为，，；③在中，三边a，b，c满足；④三角形三边长分别为，，（为大于1的整数），能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】解：①设，则，， ∵，即：，可得：， ∴，则是直角三角形； ②∵，，，， ∴三边长分别为，，的三角形不是直角三角形； ③∵，则， ∴，则以a，b，c为边的是直角三角形； ④∵，且， ∴以，，（为大于1的整数）为边的不是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的有①③，共2个， 故选：B． 6. 现有一个体积为的长方体纸盒，该纸盒的长为，宽为，则该纸盒的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体的体积公式进行求解．长方体的体积=长×宽×高，已知体积和长宽，由此代入数据即可解答出高的数值． 【详解】由题意得， 高为：÷÷= . 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握长方体的体积公式以及二次根式的乘除法运算规则是解答本题的关键．学生要学会这一类的题目，并且举一反三，融会贯通. 7. 图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：D． 8. 如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，在直角三角形中，若a,b是直角边，c是斜边，那么a2+b2=c2，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积. 【详解】根据勾股定理，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积. 即：SA+SB+SC+SD=SE=2+5+1+2=10 故选B 【点睛】勾股定理在面积中的运用. 9. 如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意， ∴， 故选：C． 10. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，易得AE+AF=AE+DE=A'E+DE，当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接DE， 根据正方形的性质及BE=CF， ∴DF=CE，AD=CD， ∴△DCE≌△ADF（SAS）， ∴DE=AF， ∴AE+AF=AE+DE， 作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′， 则AE=A′E， 即AE+AF=AE+DE=A'E+DE， 当D、E、A′同一直线时，AE+AF最小， AA′=2AB=4， 此时，在Rt△ADA′中，DA′=， 故AE+AF的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质和最短距离问题，解题的关键是把两条线段的和转化在同一条线段上求解． 第二部分（非选择题 共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若是最简二次根式，则m的值可以是_____（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，最简二次根式的定义，不等式的解法，根据二次根式有意义可得，再结合最简二次根式的定义可得答案. 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∵是最简二次根式， ∴的值可以是或等； 故答案为： 12. 已知实数x，y满足 ，则值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组、代数式的求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到，解出的值，进而求出的值，再代入代数式即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ， ． 故答案为：． 13. 若二次根式与的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为 ___． 【答案】6 【解析】 【分析】利用同类二次根式的定义，当a为正整数时，2a为3的完全平方数倍，从而可确定a的最小值． 【详解】解：∵二次根式与的和是一个二次根式， ∴与为同类二次根式， ∴当a为正整数时，2a为3的完全平方数倍， ∴正整数a的最小值为6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 14. 如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____． 【答案】15 【解析】 【详解】∵▱ ABCD的周长为36， ∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18． ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12， ∴OD=OB=BD=6． 又∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE=CD． ∴OE=BC． ∴△DOE的周长="OD+OE+DE=" OD +（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15． 故答案是：15． 15. 如图，在中，，点D是上的点，若，，则的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】在和中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 故答案为：16 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 16. 如图，在平行四边形中，平分交于点，连接，若，，，______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长． 【详解】解：∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠BEC＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BC＝BE＝5， ∴AD＝5， ∵EA＝3，ED＝4， 在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°， 在Rt△EDC中，CE4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是掌握平行四边形对边平行且相等． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查是零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的加减运算； （1）先计算零次幂，负整数指数幂，化简二次根式，再合并即可； （2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入进行二次根式化简． 【详解】解：原式= 当时，原式 19. 如图，在四边形中，，且． （1）求的度数； （2）若，则四边形的面积为_____． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）连接，设、、、分别为、、、，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可； （2）根据（1）的结论，利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：连接， 设、、、分别、、、， ，， ，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ，，， 由勾股定理得， 由（1）知： ∴． 20. 如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）只要证明，即可． （2）先证明得，再在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． （2）四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ， 在中， ，，， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处． （1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）蚂蚁可从柜角A处沿着木柜的前面和右侧面爬到柜角处；也可从柜角A处沿着木柜的前面和上面爬到柜角处； （2）分别计算和即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示： 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的和 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴蚂蚁爬过最短路径长的平方为 【点睛】本题考查了勾股定理与最短路径问题．根据立体图形的侧面展开图找到最短路径是解题关键． 22. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，�长BC为10cm.当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）. (1)求BF的长；(2)求EC的长. 【答案】（1）6cm；（2）3cm 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质得到AD=BC=10，DC=AB=8，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，则可利用勾股定理计算出BF； （2）计算出CF的长，设EC=x，则DE=EF=8-x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】解：(1) ∵四边形ABCD是长方形 ∴AD=BC=10 ∴AF=AD=10 由勾股定理，得：BF===6 (cm) (2)∵BF=6 ∴FC=4 设EC=x cm,则EF=（8-x）cm 由勾股定理，得：（8-x）2=x2+42 解得：x=3 所以，EC的长为3cm 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和长方形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键． 23. 探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（）；（）直角；（）；（） 【解析】 【分析】（）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解； （）设直角三角形的三边分别为，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积； （）根据（）可得阴影部分的面积直角三角形的面积，据此解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，， ∴， 故答案为：； （）∵的面积为，的面积为，同时的面积为， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （），理由如下： 设直角三角形的三边分别为， 则，，， ∵， ∴； （）由图②可得，． 24. 阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． （1）计算：； （2）m 是正整数， a ，b 且．求 m． （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2）m=2 （3） 【解析】 【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可； （2）先求出再由进行变形再求值即可； （3）先得到，然后可得，最后由，求出结果 【小问1详解】 原式 ， 【小问2详解】 ∵a ，b ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴2， ∵m 是正整数， ∴m=2． 【小问3详解】 由得出， ∴， ∵， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 25. 如图，在中，，，D是边上一动点． （1）如图①，若，，求的长； （2）如图②，D是边的中点，E是延长线上一点，连接，过点A作于点F，过点B作交延长线于点G，连接．请猜想、、的关系，并证明你的结论； 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）如图，过点D作于点E，在上取一点F，使得，连接．设，则，构建方程求出m即可； （2）结论：．如图，连接，延长到T，交于．利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解决问题即可． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点E，在上取一点F，使得，连接． ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：结论：． 理由：如图，连接，延长到T，交延长线于． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴．， ∴， ∴， 即，而， ∴，， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的运算等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$