精品解析：辽宁省辽阳市部分学校2024—2025学年下学期九年级学情调研二 数学试卷

2024～2025学年辽宁省辽阳市部分学校 九年级学情调研二数学试卷 （本试卷共23小题，满分120分，考试时长共120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．答题结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（ ） A. 39600 B. 396000 C. 0.00396 D. 0.0000396 3. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损失八斗（减少八斗）记为（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 4. 如图，边长为4cm的正方形先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 5. 已知双曲线，的部分图象如图所示，是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交两个图象于点、．若，则的值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 6. 一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约有红球（ ） A. 6个 B. 12个 C. 18个 D. 24个 7. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 3 8. “寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 代数式与代数的值相等，则__________． 12. 在平面直角坐标系中，我们定义：一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，线段位于第一象限，点A在直线上，点B在直线的下方，，轴，当点B的“点积值”为28时，点A的横坐标__________． 13. 如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为28，，则的周长为______． 14. 如图，已知，和相交于，若，则______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元． （1）若小丽家某季度用煤气量为60立方米，则小丽家该季度应交煤气费多少元？ （2）写出当时与之间的表达式； （3）若小丽家第一季度的煤气费为380元，那么她家第一季度所用煤气为多少立方米？ 18. 当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图和扇形图如下所示：（视力分为4.0，4.1，4.2，4.3，4.4，4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2这几种情况，其中视力为4.9及以上为正常）解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽测了______名学生； （2）根据条件补全频数分布直方图； （3）参加抽测的学生的视力中位数在______范围内； （4）试估计该市学生视力正常的人数约为多少？ 19. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） （1）设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 20. 某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点的垂直高度为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上．） （1）求索道的长（结果精确到）； （2）求山顶点到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 21. 如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，过点O作的垂线交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 已知、是等腰直角三角形，，，．将绕顶点A旋转，将线段沿从A到C方向平移，使平移后点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，得到线段，连接，，． 【观察发现】（1）如图1，当点E在线段上时，猜想的形状_______． 【探究迁移】（2）如图2，当点E不在线段上时，（1）猜想的结论是否依然成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）若线段，时，在绕点A旋转过程中．当垂直时，求的正切值． 23 综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t函数解析式为 ． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年辽宁省辽阳市部分学校 九年级学情调研二数学试卷 （本试卷共23小题，满分120分，考试时长共120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．答题结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合． 【详解】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B.原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C.原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D.原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（ ） A. 39600 B. 396000 C. 0.00396 D. 0.0000396 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损失八斗（减少八斗）记为（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，正负数表示具有相反意义的量． 根据题意益实一斗（增加1斗）记为斗，则损失八斗（减少八斗）记为斗，即可得到答案． 【详解】解：根据题意益实一斗（增加1斗）记为斗， 则损失八斗（减少八斗）记为斗， 故选：C． 4. 如图，边长为4cm的正方形先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质分别求出，，再得到，，即可得到答案． 【详解】解：如图，设与交于点E， ∵将边长为4cm的正方形先向上平移2cm，再向右平移1cm， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的平移，正确理解平移的性质是解题关键． 5. 已知双曲线，的部分图象如图所示，是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交两个图象于点、．若，则的值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点坐标为，则点坐标为，据此把代入中即可求出答案． 【详解】解：设点坐标为，则点坐标为， 把代入得，， ∴． 故选：D． 6. 一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约有红球（ ） A. 6个 B. 12个 C. 18个 D. 24个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中红球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球有x个， 根据题意，可得：， 解得：， 经检验：时，， 所以是原方程的解． 故选：B． 7. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠问题，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．由折叠的性质得，，，，由勾股定理求出的长，再证四边形是矩形，即可求出的长． 【详解】解：由折叠的性质得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选： A． 8. “寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红”茶，作为中国传统文化重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．本题的等量关系为：生产茶杯人数+生产茶壶人数；茶壶量茶杯量，据此求解即可． 【详解】解：设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人． ， 故选：C． 9. 如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质，得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为：． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含角直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，作轴于点，可证明是等边三角形，得到，得出，求出，根据勾股定理求出，得到点的坐标为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，作轴于点， 菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 代数式与代数的值相等，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先根据题意列出方程，再解分式方程，再检验即可． 【详解】解：由题意得，， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为：7． 12. 在平面直角坐标系中，我们定义：一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，线段位于第一象限，点A在直线上，点B在直线的下方，，轴，当点B的“点积值”为28时，点A的横坐标__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一次函数，解一元二次方程．设，根据“轴”表示出点B的坐标，再根据“点积值”为28列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：点A直线上， 设， 线段位于第一象限，轴， 点B的坐标为， 点B的“点积值”为28， ，即， 解得，， 点A第一象限， ， 即点A的横坐标为4， 故答案为：4． 13. 如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为28，，则的周长为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查作图角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定和定义．由题意得出为的平分线是解题关键．根据角平分线的作法和定义得出，再结合平行线的性质得出，即可得出，最后求周长即可． 【详解】解：由题意可知为的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵周长为28， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的周长为18． 故答案为：18． 14. 如图，已知，和相交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过作，过作．再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可． 【详解】解：连接，过作，过作， 令，即， 解得或1， ，， ，， ， ． ， 根据垂线段最短可知，的最小值为， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求的最小值转化为求的最小值．属于中考选择题中的压轴题． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据实数的运算法则，先算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，立方根，再进行加减运算即可； （2）根据分式的运算法则，先进行括号内的运算，再进行除法运算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元． （1）若小丽家某季度用煤气量为60立方米，则小丽家该季度应交煤气费多少元？ （2）写出当时与之间的表达式； （3）若小丽家第一季度的煤气费为380元，那么她家第一季度所用煤气为多少立方米？ 【答案】（1）元 （2） （3）立方米 【解析】 【分析】本题考查列关系式，一元一次方程，解决本题的关键是读懂题意，列出表达式. （1）根据题意列出算式求解即可； （2）根据题意列出关系式即可； （3）根据题意列出方程求解即可. 【小问1详解】 根据题意得：小丽家该季度应交煤气费为(元)； 【小问2详解】 当 时, ； 【小问3详解】 解：设小丽家第一季度用气立方米， 因为 所以 由题意，得 解得 答：小丽家第一季度用气立方米. 18. 当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图和扇形图如下所示：（视力分为4.0，4.1，4.2，4.3，4.4，4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2这几种情况，其中视力为4.9及以上为正常）解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽测了______名学生； （2）根据条件补全频数分布直方图； （3）参加抽测的学生的视力中位数在______范围内； （4）试估计该市学生视力正常的人数约为多少？ 【答案】（1）150 （2）见详情 （3） （4）6000 【解析】 【分析】本题考查读频数分布直方图和扇形统计图的能力以及利用统计图获取信息的能力，同时考查中位数的求法∶给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据都一定存在中位数，但中位数不一定是这组数据里的数． （1）由图形统计图可知视力不正常的学生人数为人，由扇形统计图可知视力不正常所占的比例为80%，进而求出抽查的人数． （2）由抽查的总人数减去各组明确的人数即为的人数，由此可补全频数分布直方图． （3）根据中位数的定义填空即可． （4）由抽样中视力正常所占的百分比即可估计该市学生视力正常的人数约为多少． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知视力不正常的学生人数为人，由扇形统计图可知视力不正常所占的比例为，所以本次抽样调查共抽测； 故答案为：150． 【小问2详解】 解：因为在的人数为人，补全频数分布直方图如图所示： ． 【小问3详解】 解：抽查的人数为150人，则第75人和76个数和的平均数为中位数，所以在范围内； 故答案为：． 【小问4详解】 解：因为150人中视力正常所占的百分比为，所以某市30000名学生的视力正常的人数为：（人）． 19. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） （1）设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】（1）， （2）自行车车棚的长为，宽为 （3）自行车车棚面积最大可达到，计算见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽．另外，一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过8米； （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【小问1详解】 解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m． 【小问3详解】 解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． 20. 某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点的垂直高度为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上．） （1）求索道的长（结果精确到）； （2）求山顶点到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）索道； （2）山顶点到水平地面的距离． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握三角函数的概念． （1）根据的余弦直接求解即可得到答案； （2）过点作，垂足为点，根据，两段长度相等及与水平线夹角为，求出到的距离即可得到答案； 【小问1详解】 在中， 索道； 【小问2详解】 过点作，垂足为点 在中， 山顶点到水平地面的距离． 21. 如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，过点O作的垂线交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线的性质可得，即可证明，即可解答； （2）证明，则可得，再解直角三角形求得半径，利用弧长公式即可解答． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，弧长公式等知识点，熟练根据切线，作出辅助线是解题的关键． 22. 已知、是等腰直角三角形，，，．将绕顶点A旋转，将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，得到线段，连接，，． 【观察发现】（1）如图1，当点E在线段上时，猜想的形状_______． 【探究迁移】（2）如图2，当点E不在线段上时，（1）猜想的结论是否依然成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）若线段，时，在绕点A旋转过程中．当垂直时，求的正切值． 【答案】（1）是等腰直角三形；（2）成立，见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）作于，证明四边形是矩形，由，，进而可得， ，即可得结论； （2）①解法一：连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，证明，得，，进而可证明 ，作射线，交于，作于，证明，进而可证明结论． 解法二∶ 连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，作射线，交于，作于，证明∽，得．即，进而证明∽，即可得结论； （3）分两种情况：①过F点作交延长线于H点，证明四边形是矩形，根据矩形性质及勾股定理求得，，进而可求，由三角函数的定义可得答案；②方法同①． 【详解】解：（1）作于， ， ， ， 由题意知∶ ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 中，，， ， ， ， 等腰直角三形． 故答案为：等腰直角三形； （2）①解法一 证明：连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于， ， ， ， ，． ， ，，， ，， ， ， 作射线，交于，作于， ， ， ， 将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴等腰直角三角形． ②解法二∶ 连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，作射线，交于，作于， ， ， ， 将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴∽， ∴．即， ，即， ∵， ∴∽， ∴， ∴即， ∴， ∴为等腰直角三角形． （3）①过F点作交延长线于H点， 四边形中，， ∴， 四边形是矩形， ， ∵，， ∴， 由（2）的结论，，， ∴中，， 中，，， ∴，， ∴， ∴中，． ②如图，于， 四边形中，， ∴， 四边形是矩形， ，，， ∵，， ∴， 由（2）的结论，，， ∴中， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，勾股定理及应用，相似三角形的性质及判定，解直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 23. 综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t的函数解析式为 ． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 【答案】（1）①；②；（2），9；（3）①，② 【解析】 【分析】（1）①先求出，，再利用勾股定理求出，最后根据等边三角形的面积公式求解即可；②仿照①先求出，进而求出，再利用面积公式列关系式即可； （2）根据图象设二次函数为：，代入，即可得到函数关系式，再进一步求解即可； （3）①如图，存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，可得，结合以及对称性可得答案；②由的对称轴为直线：；可得，结合，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， 如图，过作于，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴； （2）由图象可得：二次函数的顶点坐标为：， 设二次函数为：，代入， ∴， 解得：， ∴二次函数为：；即； 当时，， 解得：，（舍去）， ∴； （3）①如图，存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等， ∴， ∵， ∴； ②∵的对称轴为直线：； ∴， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是动态几何的函数图象，等边三角形的性质，锐角三角函数的应用，二次函数的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解图象的含义是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$