10.1随机事件与概率复习讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1 随机事件与概率 目录 知识点一：有限样本空间与随机事件 2 题型1： 有限样本空间与随机事件的概念辨析 2 题型2：求样本空间 3 知识点二：事件的关系和运算 5 题型3： 基本事件关系的判断 6 题型4： 事件的运算及其含义 8 知识点三：古典概型 9 知识点四：概率的基本性质 9 题型5：古典概型的特征与判断 10 题型6：古典概型的直接求解问题 11 题型7：古典概型的综合应用 13 题型8：利用概率的基本性质求概率 15 知识点一：有限样本空间与随机事件 1. 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment），简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1) 试验可以在相同条件下重复进行. (2) 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个. (3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2. 有限样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 3. 随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randomevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 题型1： 有限样本空间与随机事件的概念辨析 【例1.1.】 从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（    ） A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 【例1.2.】 以下事件是随机事件的是（    ） A． 标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B． 走到十字路口，遇到红灯 C． 长和宽分别为的矩形，其面积为 D． 实系数一元一次方程必有一实根 【例1.3.】 有以下5个命题： ①在样本空间确定之后，随机事件可以看作样本空间的一个子集； ②基本事件就是随机事件； ③样本空间中的两个基本事件可能会同时发生； ④对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同，样本空间也不同； ⑤随机事件通常是用文字叙述的，故随机事件对应于子集是把文字数学化． 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例1.4.】 在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是（    ） A．抽到第一组与抽到第二组 B．抽到第一组与抽到男学生 C．抽到女学生与抽到班干部 D．抽到班干部与抽到学习标兵 【例1.5.】 下列事件： ①空间任意三点可以确定一个平面； ②367个人中至少有两个人的生日在同一天； ③6个人的生日在不同月份； ④掷两次骰子，点数和不小于2； ⑤两条异面直线所成角为钝角. 其中， 是不确定事件， 是必然事件， 是不可能事件（填写序号）. 题型2：求样本空间 方法提炼 样本空间中样本点的求法： （1）列举法：也称枚举法，对于一些情境比较简单，样本点个数较少的概率问题，计算时只需要一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点，注意列举时必须按一定的顺序，做到不重不漏. （2）列表法：列表法是用表格的形式列出所有的基本事件，通常用来解决试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果比较多的基本事件个数的求解问题.表格的行与列分别代表不同的元素，根据试验的要求直接在表格中标出相应的结果，这种方法直观、简洁、不易出错. （3）树状图法：树状图法是利用树状结构把事件中的元素依次写出，然后根据树状图的分支写出基本事件。该方法适用于较复杂问题中基本事件的探索，一般需要分步（两步及两步以上）完成.若是有顺序问题，只需作一个树状图然后乘元素个数即可. 【例2.1.】 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”． （1） 写出试验的样本空间中样本点的个数； （2） 用集合表示事件R、G、M、N； 【例2.2.】 一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点有（    ） A．（男，女），（男，男），（女，女） B．（男，女），（女，男） C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D．（男，男），（女，女） 【例2.3.】 在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 【例2.4.】 用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则所有可能的基本事件共有 个，3个矩形颜色都相同的基本事件有 个，3个矩形颜色都不同的基本事件有 个. 知识点二：事件的关系和运算 1. 事件的包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作（或）. 2. 事件的相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B 3. 事件的并（或和） 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作 A∪B(或A＋B). 4. 事件的交（或积） 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ，记作A∩B(或AB). 5. 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=， 则称事件A与事件B互斥（或互不相容）. 6. 对立事件 一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=且A∩B=，那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为. 综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下表： 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） A与B至少一个发生 或 交事件（积事件） A与B同时发生 或 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， 题型3： 基本事件关系的判断 方法提炼 （1）判断事件间关系时，一要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是对立、互斥，其发生的前提条件都是一样的。二是要考虑事件的结果间是否有交事件。 （2）辨析互斥事件与对立事件，可以从以下几个方面入手： （1） 从公式的角度看 如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B对立，那么 （2） 从发生的角度看 在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个同时发生； 两个对立事件是必有一个发生的互斥事件，但不可能两个同时发生； 即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立。对立事件是互斥事件的一个特例。 （3） 从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件。 （4） 从集合的角度看 事件A与B互斥，即集合； 事件A与B对立，即集合且。 【例3.1.】 已知事件A、B、C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是（    ） A．事件A发生一定导致事件C发生 B．事件B发生一定导致事件C发生 C．事件发生不一定导致事件发生 D．事件发生不一定导致事件发生 【例3.2.】 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 【例3.3.】 从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件 【例3.4.】 （多选）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 【例3.5.】 现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（    ） A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品 【例3.6.】 下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件； ②若，为两个事件，则；③若事件，，彼此互斥，则；④若事件，满足，则，是对立事件.其中错误命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型4： 事件的运算及其含义 【例4.1.】 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 （多选）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【例4.3.】 抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3 【例4.4.】 同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【例4.5.】 打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【例4.6.】 甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④．其中正确的关系式的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点三：古典概型 1. 事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件A的概率用P（A）表示． 2. 古典概型的定义 考察一些试验，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． 3. 古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点四：概率的基本性质 1. 概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有 ． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 ． 性质3：如果事件与事件互斥，那么 互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即 P（A1∪A2∪…∪Am）=P（A1）+P（A2）+…+P（Am）. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 2. 概率的基本性质的理解 (1) 概率为1的事件不一定是必然事件，概率为0的事件不一定为不可能事件，这点在几何概型中我们会加以说明. (2) 互斥事件的概率加法公式中的条件“事件与事件互斥”不可去掉，否则就变成一般事件的概率加法公式，即 (3) 设样本空间包含有个样本点，当事件与事件互斥时，与不含有相同的样本点，此时，结合古典概型的概率公式即可得. (4) 对于任何事件，因为，结合性质5可得.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；事件发生的可能性越小，它的概率越接近0. 题型5：古典概型的特征与判断 方法提炼 判断一个试验是否是古典概型的关键是看这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性. 【例5.1.】 以下试验不是古典概型的有（    ） A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小 B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率 C．近三天中有一天降雪的概率 D．3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率 【例5.2.】 （多选）下列试验中是古典概型的是（　　） A．抛一枚质地均匀的硬币,观察其正面或反面出现的情况 B．口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1个球 C．向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点 D．射击运动员向一靶心进行射击,观察其环数 【例5.3.】 （多选）下列不是古典概型的是（   ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C．在甲、乙、丙、丁名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，求甲被选中的概率 D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 题型6：古典概型的直接求解问题 方法提炼 解决古典概型概率的关键是分清样本空间的样本点总数n和事件A所包含的样本点数，其求解的一般思路为： （1） 明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字等）表示试验的可能结果。 （2） 根据实际问题情境判断样本点的等可能性。 （3） 计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件的概率。 【例6.1.】 在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【例6.2.】 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A． B． C． D． 【例6.3.】 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 【例6.6.】 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 【例6.7.】 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【例6.8.】 中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（    ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 【例6.9.】 一个盒子中装有4个编号依次为1､2､3､4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为. (1)写出试验的样本空间； (2)设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”，事件B=“编号”，分别求事件A，B，AB发生的概率. 【例6.10.】 如图，以边长为4的正方形的中心为原点，构建一个平面直角坐标系．现做如下试验：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将骰子朝上的点数作为平面直角坐标系中点的坐标（第一次的点数作为横坐标，第二次的点数作为纵坐标）． (1)（i）请用列表的方法，表示出点的坐标的所有可能的结果； （ii）求点在正方形中（含正方形内部和边界）的概率． (2)试将正方形平移整数个单位长度，问是否存在一种平移，使得点在正方形中的概率为？若存在，写出平移方式；若不存在，请说明理由． 题型7：古典概型的综合应用 【例7.1.】 某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率； (3)根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A型手机、B型手机各1万部，有以下两种方案可供选择： 方案一：将甲型芯片应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B型手机，其中该指标大于临界值c的芯片会导致每部手机损失300元； 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由， 【例7.2.】 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数； (2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35-45岁所有人的年龄的方差． 【例7.3.】 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 题型8：利用概率的基本性质求概率 方法提炼 (1) 含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其对立事件，应用求解较好。 (2) 利用概率加法公式求概率的一般步骤： 第一步：分析事件特征，并设出事件“代号”； 第二步：求出相关事件的概率； 第三步：利用加法公式求出结果。 (3) 求对立事件的概率的一般步骤： 第一步：分析事件特征，明确对立关系； 第二步：求各事件的概率； 第三步：利用对立事件概率公式求出满足条件的结果。 【例8.1.】 抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【例8.2.】 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【例8.3.】 已知事件两两互斥，若，，，则（ ）． A． B． C． D． 【例8.4.】 已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 【例8.5.】 若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为（    ） A．0.10 B．0.15 C．0.40 D．0.45 【例8.6.】 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8.7.】 （多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（    ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 【例8.8.】 随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1 随机事件与概率 目录 知识点一：有限样本空间与随机事件 2 题型1： 有限样本空间与随机事件的概念辨析 2 题型2：求样本空间 5 知识点二：事件的关系和运算 8 题型3： 基本事件关系的判断 9 题型4： 事件的运算及其含义 13 知识点三：古典概型 15 知识点四：概率的基本性质 16 题型5：古典概型的特征与判断 17 题型6：古典概型的直接求解问题 18 题型7：古典概型的综合应用 25 题型8：利用概率的基本性质求概率 30 知识点一：有限样本空间与随机事件 1. 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment），简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1) 试验可以在相同条件下重复进行. (2) 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个. (3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2. 有限样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 3. 随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randomevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 题型1： 有限样本空间与随机事件的概念辨析 【例1.1.】 从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（    ） A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 【答案】D 【详解】根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球， 3个都是篮球，至少有1个是排球是随机事件， 3个都是排球是不可能事件，至少有1个是篮球是必然事件； 故选：D． 【例1.2.】 以下事件是随机事件的是（    ） A． 标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B． 走到十字路口，遇到红灯 C． 长和宽分别为的矩形，其面积为 D． 实系数一元一次方程必有一实根 【答案】B 【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意； B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意； C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意； D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意． 故选：B． 【例1.3.】 有以下5个命题： ①在样本空间确定之后，随机事件可以看作样本空间的一个子集； ②基本事件就是随机事件； ③样本空间中的两个基本事件可能会同时发生； ④对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同，样本空间也不同； ⑤随机事件通常是用文字叙述的，故随机事件对应于子集是把文字数学化． 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】①因为随机事件是样本空间中满足一定条件的部分元素组成的集合， 所以在样本空间确定之后，随机事件可以看作样本空间的一个子集，①正确； ②基本事件是样本空间中不可再分的最简单的事件，而随机事件是由基本事件组合而成的，②错误； ③由基本事件的定义可知，样本空间中的两个基本事件不会同时发生，③错误； ④对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同，会导致对样本空间的划分不同，样本空间也不同；④正确； ⑤通过将随机事件对应到样本空间的子集，实现了从文字叙述到数学表达的转化，⑤正确． 故选：D 【例1.4.】 在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是（    ） A．抽到第一组与抽到第二组 B．抽到第一组与抽到男学生 C．抽到女学生与抽到班干部 D．抽到班干部与抽到学习标兵 【答案】A 【详解】在A中，抽到第一组与抽到第二组不能同时发生，都是基本事件，故A正确; 在B中，抽到第一组与抽到男学生有可能同时发生，不都是基本事件，故B错误; 在C中，抽到女学生与抽到班干部有可能同时发生，不都是基本事件，故C错误; 在D中，抽到班干部与抽到学习标兵有可能同时发生，不都是基本事件，故D错误． 故选：A 【例1.5.】 下列事件： ①空间任意三点可以确定一个平面； ②367个人中至少有两个人的生日在同一天； ③6个人的生日在不同月份； ④掷两次骰子，点数和不小于2； ⑤两条异面直线所成角为钝角. 其中， 是不确定事件， 是必然事件， 是不可能事件（填写序号）. 【答案】 ①③ ②④ ⑤ 【详解】因为空间中不共线的三点可以确定一个平面，所以事件①可能发生也可能不发生，故①是不确定事件； 因为每年有365天或366天，所以事件②一定发生，故②是必然事件； 事件③可能发生也可能不发生，故③是不确定事件； 因为掷两次骰子，点数和的可能结果是：2，3，…，12，所以事件④一定发生，故④是必然事件； 因为两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，所以事件⑤不可能发生，故⑤是不可能事件． 故答案为：①③，②④，⑤． 题型2：求样本空间 方法提炼 样本空间中样本点的求法： （1）列举法：也称枚举法，对于一些情境比较简单，样本点个数较少的概率问题，计算时只需要一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点，注意列举时必须按一定的顺序，做到不重不漏. （2）列表法：列表法是用表格的形式列出所有的基本事件，通常用来解决试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果比较多的基本事件个数的求解问题.表格的行与列分别代表不同的元素，根据试验的要求直接在表格中标出相应的结果，这种方法直观、简洁、不易出错. （3）树状图法：树状图法是利用树状结构把事件中的元素依次写出，然后根据树状图的分支写出基本事件。该方法适用于较复杂问题中基本事件的探索，一般需要分步（两步及两步以上）完成.若是有顺序问题，只需作一个树状图然后乘元素个数即可. 【例2.1.】 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”． （1） 写出试验的样本空间中样本点的个数； （2） 用集合表示事件R、G、M、N； 【详解】方法一：列举法 （1） 用数组表示结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，所以试验的样本空间.故样本点的个数为12. （2）事件，事件，事件， 事件. 方法二：树状图法 从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能结果用树状图表示，如图： （1） 由图知，样本点的个数为12. （2） 事件R包含两个基本事件（已用“√”标出）；事件G包含两个基本事件（已用“△”标出）；事件M包含4个基本事件（已用“○”标出）；事件N包含8个基本事件（已用“◇”标出）. 即事件，事件，事件， 事件. 方法三：列表法 从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能结果 ( 第一次 )如下表： ( 第二次 ) 1 2 3 4 1 （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （3，3） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （1） 由上表可知，样本点的个数为12. （2）事件，事件，事件， 事件. 【例2.2.】 一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点有（    ） A．（男，女），（男，男），（女，女） B．（男，女），（女，男） C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D．（男，男），（女，女） 【答案】C 【详解】由题知所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）. 故选：C. 【例2.3.】 在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 【答案】 24 112 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 【例2.4.】 用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则所有可能的基本事件共有 个，3个矩形颜色都相同的基本事件有 个，3个矩形颜色都不同的基本事件有 个. 【答案】27；3; 6; 【详解】所有可能的基本事件共有个，如图所示： 其中，个矩形都涂同一颜色的基本事件有3个；个矩形颜色都不同的基本事件有6个. 知识点二：事件的关系和运算 1. 事件的包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作（或）. 2. 事件的相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B 3. 事件的并（或和） 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作 A∪B(或A＋B). 4. 事件的交（或积） 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ，记作A∩B(或AB). 5. 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=， 则称事件A与事件B互斥（或互不相容）. 6. 对立事件 一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=且A∩B=，那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为. 综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下表： 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） A与B至少一个发生 或 交事件（积事件） A与B同时发生 或 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， 题型3： 基本事件关系的判断 方法提炼 （1）判断事件间关系时，一要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是对立、互斥，其发生的前提条件都是一样的。二是要考虑事件的结果间是否有交事件。 （2）辨析互斥事件与对立事件，可以从以下几个方面入手： （1） 从公式的角度看 如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B对立，那么 （2） 从发生的角度看 在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个同时发生； 两个对立事件是必有一个发生的互斥事件，但不可能两个同时发生； 即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立。对立事件是互斥事件的一个特例。 （3） 从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件。 （4） 从集合的角度看 事件A与B互斥，即集合； 事件A与B对立，即集合且。 【例3.1.】 已知事件A、B、C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是（    ） A．事件A发生一定导致事件C发生 B．事件B发生一定导致事件C发生 C．事件发生不一定导致事件发生 D．事件发生不一定导致事件发生 【答案】D 【详解】解：由已知可得A⊆C，又因为A⊆B，B⊆C，如图事件A，B，C用集合表示： 则选项A，B正确， 事件，则C正确，D错误 故选：D． 【例3.2.】 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 【答案】B 【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：, 事件3可表示为：,事件4可表示为：, 因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误； 因为为不可能事件，为必然事件， 所以事件1与事件2互为对立事件，B正确； 因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误； 因为为不可能事件，不为必然事件， 所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误； 故选：B. 【例3.3.】 从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件 【答案】A 【详解】根据题意 ， 则，所以与是互斥事件，A正确； ，所以与是互斥且对立事件，B错误； ，所以与是互斥且对立事件，C错误； 所以与不是对立事件，D错误. 故选：A. 【例3.4.】 （多选）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 【答案】BD 【详解】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确； “恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确． 故选：BD． 球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 【例3.5.】 现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（    ） A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品 【答案】C 【详解】根据题意，选项A中事件为互斥事件，不是对立事件； 选项B、D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件； 选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件. 故选：C. 【例3.6.】 下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件； ②若，为两个事件，则；③若事件，，彼此互斥，则；④若事件，满足，则，是对立事件.其中错误命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确； ②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的； ③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1； ④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝. 所以错误命题有3个. 故选：D 题型4： 事件的运算及其含义 【例4.1.】 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，， 故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确， 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生， 故，D错误， 故选：D. 【例4.2.】 （多选）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】事件A表示表示“两次都投中”；事件B表示“两次都未投中”； 事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”， A：事件A表示表示“两次都投中”，事件D表示“至少有一次投中”，故，故A正确； B：事件B和事件D是对立事件，故，故B正确； C：事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”， 而事件表示“两次都未投中”、 “两次都投中”或“恰有一次投中”，故C错误； D：事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，故D正确. 故选：ABD. 【例4.3.】 抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3 【答案】C 【详解】解：由题意可知，，，，， 所以，，2，， 则表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确． 故选：C． 【例4.4.】 同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【答案】C 【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， 其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}， 所以. 故选：C. 【例4.5.】 打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【答案】B 【详解】表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发. 故选：B. 【例4.6.】 甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④．其中正确的关系式的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题可得：①，正确；②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，所以②错误； ③，正确，④表示靶被击中，所以④错误；正确的是①③． 故选：B 知识点三：古典概型 1. 事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件A的概率用P（A）表示． 2. 古典概型的定义 考察一些试验，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． 3. 古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点四：概率的基本性质 1. 概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有 ． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 ． 性质3：如果事件与事件互斥，那么 互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即 P（A1∪A2∪…∪Am）=P（A1）+P（A2）+…+P（Am）. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 2. 概率的基本性质的理解 (1) 概率为1的事件不一定是必然事件，概率为0的事件不一定为不可能事件，这点在几何概型中我们会加以说明. (2) 互斥事件的概率加法公式中的条件“事件与事件互斥”不可去掉，否则就变成一般事件的概率加法公式，即 (3) 设样本空间包含有个样本点，当事件与事件互斥时，与不含有相同的样本点，此时，结合古典概型的概率公式即可得. (4) 对于任何事件，因为，结合性质5可得.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；事件发生的可能性越小，它的概率越接近0. 题型5：古典概型的特征与判断 方法提炼 判断一个试验是否是古典概型的关键是看这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性. 【例5.1.】 以下试验不是古典概型的有（    ） A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小 B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率 C．近三天中有一天降雪的概率 D．3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率 【答案】C 【详解】A选项，从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性相等，满足有限性和等可能性，是古典概型； B选项中，同时同时掷两枚骰子，点数和为7的事件是不可能事件，有限性和等可能性，是古典概型； C选项中，不满足等可能性，不是古典概型； D选项中，3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率，满足有限性和等可能性，是古典概型． 故选：C． 【例5.2.】 （多选）下列试验中是古典概型的是（　　） A．抛一枚质地均匀的硬币,观察其正面或反面出现的情况 B．口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1个球 C．向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点 D．射击运动员向一靶心进行射击,观察其环数 【答案】AB 【详解】选项A,正面和反面出现的概率相同,是古典概型； 选项B,每个球被抽到的概率相等,是古典概型； 选项C,样本点有无限个,不是古典概型； 选项D,命中10环,9环,…,0环的概率不等,不是古典概型, 故选:AB. 【例5.3.】 （多选）下列不是古典概型的是（   ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C．在甲、乙、丙、丁名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，求甲被选中的概率 D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 【答案】ABD 【详解】A选项，任意抛掷两枚骰子，所得点数之和不满足“等可能”，所以A选项不是古典概型. B选项，取出的正整数不满足“有限”，所以B选项不是古典概型. C选项，在甲、乙、丙、丁名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目， 基本事件是有限的，且是等可能的，所以求甲被选中的概率属于古典概型， 所以C选项是古典概型. D选项，抛掷的次数不满足“等可能”，所以D选项不是古典概型. 故选：ABD 题型6：古典概型的直接求解问题 方法提炼 解决古典概型概率的关键是分清样本空间的样本点总数n和事件A所包含的样本点数，其求解的一般思路为： （1） 明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字等）表示试验的可能结果。 （2） 根据实际问题情境判断样本点的等可能性。 （3） 计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件的概率。 【例6.1.】 在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设3个红球为A,B,C,2个黑球为. 因为试验为“从中依次不放回地随机抽取出2个球”， 故试验的样本空间为：， 记“两次取到的球颜色相同”,则， 由古典概型概率公式，可得. 故选：B. 【例6.2.】 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为，选B． 【例6.3.】 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，从5个点中任取3个有 共种不同取法， 3点共线只有与共2种情况， 由古典概型的概率计算公式知， 取到3点共线的概率为. 故选：A 【例6.4.】 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为. [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C. 【例6.5.】 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 【答案】 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 【例6.6.】 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 【例6.7.】 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【答案】 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种， 所以的概率为. 故答案为：. 【例6.8.】 中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（    ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 【答案】C 【详解】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后 该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共，从中任取1本有种取法. 《牡丹亭》戏曲书籍共，从中任取1本有种取法. 从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为 根据题意可得，解得， 即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本. 故选：C 【例6.9.】 一个盒子中装有4个编号依次为1､2､3､4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为. (1)写出试验的样本空间； (2)设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”，事件B=“编号”，分别求事件A，B，AB发生的概率. 【详解】（1）由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为{， }； （2）由题意可知事件A=，共三个结果，故， 事件B=，共六个结果，故， 事件包含的结果有一个，故. 【例6.10.】 如图，以边长为4的正方形的中心为原点，构建一个平面直角坐标系．现做如下试验：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将骰子朝上的点数作为平面直角坐标系中点的坐标（第一次的点数作为横坐标，第二次的点数作为纵坐标）． (1)（i）请用列表的方法，表示出点的坐标的所有可能的结果； （ii）求点在正方形中（含正方形内部和边界）的概率． (2)试将正方形平移整数个单位长度，问是否存在一种平移，使得点在正方形中的概率为？若存在，写出平移方式；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）（i）设，则点坐标的所有可能结果如下表所示． （ii）由（i）知构成的点的坐标共有36种情况，其中在正方形中的有，，，这4种情况． ∴点在正方形中的概率为． （2）∵点在正方形中的概率为， ∴只能将正方形向上或向右平移整数个单位长度，且使点P在正方形中的情况有12种， ∴满足要求的平移方式有两种，一种是将正方形先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度（先向右再向上亦可）；另一种是将正方形先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度（先向右再向上亦可）． 题型7：古典概型的综合应用 【例7.1.】 某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率； (3)根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A型手机、B型手机各1万部，有以下两种方案可供选择： 方案一：将甲型芯片应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B型手机，其中该指标大于临界值c的芯片会导致每部手机损失300元； 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由， 【解析】（1）由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值为： . （2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为A和B，来自乙型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为和， 从中任取两件，样本空间可记为 共包含15个样本点， 记事件E：指标在和各1件，则共包含3个样本点， 所以． （3）设将甲、乙两种型号芯片应用于A型、B型手机时，该科技公司损失为y（万元）， ， 所以当时，； 当时，； 当时，， 综上，当临界值时，选择方案二； 当临界值时，选择方案一和方案二均可； 当临界值时，选择方案一． 【例7.2.】 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数； (2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35-45岁所有人的年龄的方差． 【解析】（1）这些人的平均年龄为（岁）． 由频率分布直方图知，年龄在的频率为， 在的频率为，则第80百分位数为， 由，解得， 所以这些人的平均年龄为（岁），第80百分位数为. （2）依题意，第四组应抽取人，记为,甲，第五组抽取人，记为,乙， 对应的样本空间{(a,b),(a,c),(a,甲),(a,乙),(a,d),(b,c),(b,甲),(b,乙),(b,d),(c,甲),(c,乙),(c,d),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共15个样本点． 设事件“甲、乙两人至少一人被选上”， 则{(a,甲),(a,乙),(b,甲),(b,乙),(c,甲),(c,乙),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共有9个样本点， 所以甲、乙两人至少有一人被选上的概率． （3）设第四组、第五组的年龄的平均数分别为，方差分别为， 则，由第一组有10人，得第四组有40人，第五组有20人， 设第四组和第五组所有人的年龄平均数为，方差为， 则， 因此第四组和第五组所有人的年龄方差为10， 据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10. 【例7.3.】 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 【详解】（1）若时，则，且， 可得， 所以的所有可能取值为0，2，4. （2）设“”为事件M，样本空间为， 因为，可知A共有个，即样本容量， 显然若对调两个位置的序号之差大于2，则， 可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有， 共有3种可能； 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组， 由（1）可知：每组均有3种可能满足， 可得共有种可能； 综上所述：. 所以. （3）不可能，理由如下： 设专家甲的排序为，记； 专家乙的排序为，记； 由题意可得：，， 因为， 结合的任意性可得， 所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为. 题型8：利用概率的基本性质求概率 方法提炼 (1) 含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其对立事件，应用求解较好。 (2) 利用概率加法公式求概率的一般步骤： 第一步：分析事件特征，并设出事件“代号”； 第二步：求出相关事件的概率； 第三步：利用加法公式求出结果。 (3) 求对立事件的概率的一般步骤： 第一步：分析事件特征，明确对立关系； 第二步：求各事件的概率； 第三步：利用对立事件概率公式求出满足条件的结果。 【例8.1.】 抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和． 【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”， ∴P(A)，P(B)， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A和事件B为互斥事件， 则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为 P（A∪B）＝P(A)+P(B)， 故选：A． 【例8.2.】 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【答案】B 【详解】因为事件与事件互为对立，所以， 因为事件与事件互斥，则， 故选：B 【例8.3.】 已知事件两两互斥，若，，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两两互斥，， ，， . 故选：B. 【例8.4.】 已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 【例8.5.】 设是随机事件，且，则 ． 【答案】/0.125 【详解】因为，所以， 故． 故答案为： 【例8.6.】 若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为（    ） A．0.10 B．0.15 C．0.40 D．0.45 【答案】B 【详解】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则为即用现金支付也用非现金支付， 则，，则，. 故选：B. 【例8.7.】 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因随机事件，互斥，则， 依题意及概率的性质得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【例8.8.】 （多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（    ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 【答案】AB 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又且，则， 所以，即，故B正确； 对于C，因为A与B互斥，所以， 则，故C错误； 对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”， 则满足，，但不成立，故D错误； 故选：AB. 【例8.9.】 随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，由， 得，又， 则当时，， 所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是. 故选：C ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$