第一讲 曲线运动 讲义 -2024-2025高一下学期物理粤教版（2019）必修第二册

粤教版2019必修第二册期中复习讲义 第一讲 曲线运动 考点 具体内容 1. 曲线运动 1. 理解曲线运动的条件和性质 2. 掌握常见曲线运动的规律 2. 运动的合成与分解 1. 理解合运动与分运动的关系 2. 掌握运动合成与分解的方法 3. 理解并会应用合成与分解解决小船渡河及关联速度等问题 一、曲线运动的速度方向 1．质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向． 2．速度是矢量，它既有大小，又有方向．由于曲线运动中，速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动． 二、物体做曲线运动的条件 1．动力学角度看：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动． 2．运动学角度看：物体的加速度方向与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动． 考点一：曲线运动的理解 1．曲线运动在某点的速度方向一定沿着曲线上该点的切线方向． 2．曲线运动一定是变速运动，但是变速运动不一定是曲线运动；曲线运动一定有加速度，但加速度不一定变化． 3．对曲线运动性质的分析 (1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动． (2)物体所受的合外力为恒力时，它一定做匀变速运动，但可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动． 4．曲线运动性质的两种判断方法 (1)看物体的合力：若物体的合力为恒力，则它做匀变速曲线运动；若物体的合力为变力，则它做变加速曲线运动． (2)看物体的加速度：若物体的加速度不变，则它做匀变速曲线运动；若物体的加速度变化，则它做变加速曲线运动．　 例1. （23-24高一下·天津·期中）一物体在竖直面内某段运动的轨迹如图所示，该物体经过B点时速度方向竖直向上，则该物体在B点所受的合力可能（    ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 例2下列说法正确的是（　　） A．在恒力作用下，物体可能做曲线运动 B．在变力作用下，物体不可能做曲线运动 C．做曲线运动的物体，其运动状态可能不改变 D．物体做曲线运动时，其加速度与速度的方向可能一致 例3（23-24高一下·江西九江·期末）香蕉球（screw shot），足球运动中的技术名词，指运动员运用脚踢出球后，球在空中一边飞行一边自转，香蕉球能巧妙地利用空气对足球的作用，使足球在空中曲线飞行，常用于攻方在对方禁区附近获得直接任意球时，利用其弧线运行状态，避开人墙射门得分。关于足球的这种曲线运动，下列说法正确的是（　　） A．足球在空中做匀速运动 B．足球的速度方向与轨迹相切 C．足球的加速度方向与轨迹相切 D．足球的速度方向与加速度方向相同 考点二、曲线运动条件的理解 1．物体做曲线运动的条件：合力与速度方向不共线． 2．合力与轨迹的关系：物体做曲线运动时，其轨迹总偏向合力所指的一侧，或者说合力总指向运动轨迹的凹侧，也可以说运动轨迹总是夹在合力方向与速度方向之间且与速度方向相切． 3．曲线运动中轨迹规律的进一步理解 (1)具有一定初速度的物体在恒力的作用下做曲线运动时，物体的末速度越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同； (2)物体的运动轨迹与初速度和合力两个因素有关，轨迹在合力与速度所夹区域之间且与速度相切． 4．判断曲线运动轨迹时应注意的问题 (1)与运动轨迹相切的方向为速度方向，不是力的方向； (2)看物体运动轨迹的弯曲情况，物体所受合力的方向指向轨迹凹的一侧； (3)轨迹曲线夹在合力与轨迹切线(即速度方向)之间．　 例1（2024·辽宁·模拟预测）2023年9月，国内首条全自动无人驾驶空中悬挂式单轨列车旅游专线正式开通运营，如图甲所示。假设某次列车在转弯过程中，先后经过A、B、C三个位置，AB段的轨迹是曲线，列车做减速运动，BC段的轨迹是直线，列车做加速运动，其简化模型如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．在BC段，列车加速时加速度的方向与速度的方向相反 B．在AB段，列车减速时加速度的方向与速度的方向相反 C．列车从A到C运动的位移大小等于其前进的路程 D．列车从A到C位移的方向与平均速度的方向相同 例2（24-25高一上·浙江丽水·期末）歼35A是我国自行研发的中型多用途隐身战机。在2024年珠海航展上表演时，战机沿曲线ab向上爬升，关于飞机所受合力的4种方向，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 例3（24-25高一上·云南昆明·期末）在2024年11月珠海航展上，中国自主研制的新一代隐身战斗机歼首次公开亮相。如图所示，歼表演时先水平向左飞行，再沿曲线 abc飞行。若飞行轨迹在同一竖直面内且飞行速率不变，下列说法正确的是（　　） A．歼表演中做匀速运动 B．歼在ab段做变速运动 C．歼在ab段所受合力为零 D．歼在bc段的加速度方向与速度方向在同一条直线上 例4（24-25高一下·全国·课后作业）我国是海洋大国、航海大国、造船大国。截至2022年底，我国海运船队运力规模达3.7亿载重吨，较十年前增长一倍，船队规模跃居世界第二。龙门吊作为港口常用的运输装置，其运输效率的提高对我国港口事业的发展起着重要作用。以水平方向为x轴，竖直方向为y轴，吊机工作过程中货物运动的轨迹如图所示，已知货物的运动由龙门吊的行走运动及货物的起升运动构成，吊机吊起货物与放下货物时竖直方向上的速度大小相等且恒定不变，下列说法正确的是（　　） A．段轨迹，货物加速度方向沿x轴正方向 B．段轨迹龙门吊行走运动的加速度与段相同 C．段轨迹，货物一定做匀速运动 D．在段货物一定做匀速运动 合力与速率变化的关系 分类 速度与合力 间的夹角θ 运动的性质 力的作用效果 直线 运动 θ＝0° 加速直线运动 只改变速度的大小，不改变速度的方向 θ＝180° 减速直线运动 曲线 运动 0°＜θ＜90° 加速曲线运动 既改变速度的大小，又改变速度的方向 90°<θ<180° 减速曲线运动 θ＝90° 速度大小不变 的曲线运动 只改变速度的方向，不改变速度的大小 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动． 2．运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解． 3．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循平行四边形定则(或三角形定则)． 4．合运动与分运动的关系 等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同 等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同 独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响 同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动 考点一、运动的合成与分解 合运动性质的判断方法 判断两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断． (1)判断是否做匀变速运动：若a恒定，物体做匀变速运动；若a变化，物体做变加速运动． (2)判断轨迹的曲直：若a方向与v0方向共线，则做直线运动；若a方向与v0方向不共线，则做曲线运动 例1. （23-24高一下·四川凉山·期末）在光滑水平面上，一物体沿正东方向做匀速直线运动。从某时刻起对物体施加一水平向南的力，若水平力越大，则物体在相等时间内（　　） A．向东发生的位移不变 B．向东发生的位移越大 C．向南发生的位移不变 D．总位移不变 例2. （23-24高一上·河南洛阳·期末）无人机在生产生活已经广泛应用，在某次灾害救援中，无人机在直角坐标系xOy所在的平面内运动规律分别为则（    ） A．无人机的加速度大小为 B．无人机运动轨迹是一条直线 C．1s末无人机的速度大小为10m/s D．ls末无人机的速度方向与x轴夹角为 例3. （23-24高一下·山东临沂·期末）我国无人机技术发展迅猛，应用也越来越广泛，其中无人机配送也实现了无接触配送。某次无人机配送质量为的物件时，物件水平轴方向和竖直轴方向的运动图像分别如图中甲、乙所示，以竖直向上为正方向。重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．物件在1∼3s内做变减速曲线运动 B．物件在水平方向加速度大小为 C．物件在1s时的速度大小为 D．物件在0∼3s提升的高度为4.5m 例4. （23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如图所示，在一端封闭的长玻璃管内注满水，水中放一个红色柱状小物块（可视为质点），用橡胶塞把玻璃管的开口封闭并竖直倒置，玻璃管以的速度沿水平向右匀速运动，同时红色小物块沿管以某一加速度a匀加速运动，若以初始时刻红色小物块所在位置为坐标原点，建立沿玻璃管运动方向为x轴、沿玻璃管方向为y轴的平面直角坐标系，通过实验得到红色小物块的轨迹满足，已知， 。 （1）求小物块沿管运动的加速度a的大小； （2）小物块运动多长时间其速度方向与x轴正方向的夹角为53°？ 考点二：“关联”速度 1．“关联”速度问题：指物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题． 2．“关联”速度的分解规律 (1)分解依据 ①物体的实际运动是合运动． ②由于绳(杆)不可伸长，所以绳(杆)两端所连物体的速度沿着绳(杆)方向的分速度大小相同． (2)分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量． (3)常见的速度分解情形如下： 例1. 如图所示，物体A和B分别与跨过定滑轮的轻绳两端连接（不计绳与滑轮之间的摩擦），当用水平变力F拉着物体B沿光滑水平面向右做匀速直线运动时，下列判断正确的是（） A．物体A的速度小于物体B的速度 B．物体A的速度大于物体B的速度 C．物体A做匀速直线运动 D．轻绳的拉力大于物体A所受的重力 例2. （24-25高一下·江西·阶段练习）图为电影拍摄过程中吊威亚的情景。工作人员沿直线水平向左拉轻绳，使得工作人员匀速上升，则工作人员（　　） A．在向左加速移动 B．在向左减速移动 C．处于超重状态 D．处于失重状态 例3. （24-25高三上·安徽·阶段练习）如图所示，人在岸上拉动绳子，使小船以速度v沿水面匀速向河岸靠近，当绳子与水面的夹角时，，则下列关于倾斜部分绳子（滑轮与船之间部分）的中点M瞬时速度的大小、方向说法正确的是（　　） A．M点瞬时速度的方向与船速相同 B．M点瞬时速度的方向沿绳指向左上方 C．M点瞬时速度的大小为 D．M点瞬时速度的大小为 例4. 如图为曲柄连杆机构的结构示意图，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动。曲轴可绕固定的O点做匀速圆周运动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，已知转速为2400r/min，OA=40cm，AB=1m。下列说法正确的是（　　） A．OA从竖直方向转到水平方向的过程中，活塞的速度逐渐增大 B．当OA在竖直方向时，活塞的速度大小为32πm/s C．当OA与AB垂直时，活塞的速度大小为32πm/s D．当OA与AB共线时，活塞的速度大小为32πm/s 解答“关联”速度的分解问题的两个关键 (1)弄清合运动与分运动：物体的实际运动是合运动． (2)绳(杆)两端所连物体的速度与沿着绳(杆)方向的分速度大小相等． 1．小船参与的两个分运动 (1)船对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同． (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行． 2．两类最值问题 (1)渡河时间最短问题 由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图甲可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tanθ＝. (2)渡河位移最短问题 情况一：v水＜v船 最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水，即cosθ＝，如图乙所示． 情况二：v水＞v船 合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sinα＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cosθ′＝. 考点一、最短时间渡河 例1.（23-24高一下·福建漳州·期末）消防员驾驶小船救援被困于礁石上的人员，如图所示，A、B为河岸上间距适当的两个位置，B距离礁石最近。假设小船在静水中的运动速率不变，则要使小船在最短时间内抵达礁石，可行的方案是（    ） A．从A处出发，船头垂直于河岸 B．从A处出发，船头朝着礁石方向 C．从B处出发，船头垂直于河岸 D．从B处出发，船头朝着上游方向 例2（24-25高一下·全国·课后作业）如图甲，某同学需要通过小木筏渡过一条河，已知小木筏在静水中的速度大小为。受地形等因素影响，不同位置河水流速会有变化。出发点A下游某位置的水流速度与该位置到A点的沿河距离关系如图乙所示，已知小木筏前端始终垂直河岸，最终到达对岸偏离正对面的B处，则以下说法正确的是（　　） A．小木筏在河水中的轨迹是直线 B．河的宽度为 C．若水流速度恒为，小木筏过河时间将变短 D．若水流速度恒为，小木筏可调节前端指向使轨迹垂直河岸渡河 考点二、最短位移问题 例1（24-25高一下·全国·课后作业）龙舟是我国传统体育活动。关于龙舟的起源，流传最广的说法是为纪念楚国爱国诗人屈原。随着时代的发展，这项体育运动逐渐传播到世界多个国家和地区。若河宽为d，龙舟过河时，船头与河岸夹角为，如图所示，龙舟在静水中的速度为（船速大于水速），水流速度为，则（　　） A．龙舟无论如何调整船头都不可能垂直河岸过河 B．龙舟过河的最小位移为 C．龙舟过河的最短时间为 D．当水的流速减小时，要使龙舟能够到达正对岸，可以减小船速 例2（23-24高一下·重庆·期中）一艘动力小船在宽度为300m的河流中船头正对河对岸过河，到达河对岸。电动机正常工作时动力小船在静水中的速度为3m/s，河水的流速（d为观测点距河岸的距离，）则（    ） A．该小船全程的位移大小为450m B．该小船全程一定是匀变速运动 C．该小船的最大航行速度为6m/s D．该小船在由岸边向河中心航行的过程中轨迹一定是抛物线 例3（23-24高一下·山西太原·阶段练习）如图所示，老师组织物理兴趣小组同学到游乐园一段两岸平行、宽度为的河面上驾驶电动小游船进行学习体验游戏，水流的速度为，其大小可以通过闸门调节；游船在静水中的速度为，其方向决定于船头的朝向。游戏时，小组同学驾驶小游船从河的一边渡到河对岸，，。求： （1）若，，则当小游船过河时间最短时，其运动轨迹与河岸的夹角及经过的距离为多少？ （2）若，，则当小游船过河距离最短时，其船头朝向与河岸的夹角及过河时间为多少？ （3）若，，则当小游船过河距离最短时，其过河通过的最短距离为多少？ 研究小船渡河问题的思路 (1)研究小船渡河时间时：应用v船垂直于河岸的分速度求解，与v水的大小无关． (2)分析小船速度时：可画出小船的速度分解图进行分析． (3)研究小船渡河位移时：要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图． 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北宜昌·期末）篮球从高处无转动下落将沿竖直方向运动，若在释放瞬间给篮球一个转动速度，篮球仍在竖直平面内运动，运动轨迹如图中曲线所示，这种现象称之为马格努斯效应，马格努斯效应在球类运动项目中非常普遍。篮球运动到M点时速度方向如图所示，则其在该点受到的合外力方向可能是（　　） A．竖直向下 B．与速度方向相反 C．垂直速度方向斜向左下 D．斜向右下，指向轨迹曲线内侧 2．（22-23高二上·全国·强基计划）如图甲所示，小球M与小球m用跨搭在一半球形容器壁上边缘的轻绳相连接，半球形容器壁的上边缘是光滑的，小球M位于半球形容器的内壁靠近上边缘处，小球m位于半球形容器外，将小球M由静止释放牵引小球m运动，当小球M运动至半球形容器底部时（如图乙所示），小球m的速度是v，则此时M的速度为（　　） A．v B． C． D． 3．（24-25高三上·陕西西安·期中）如图所示，一条两岸平行的河，水流速度方向平行河岸且大小保持不变。一条小船在河中匀速运动，船在静水中的速度大小为，船头方向与垂直河岸方向的夹角为，船的实际速度（合速度）与河岸的夹角也为，关于与的大小关系，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）如图是频闪照相机拍摄的篮球离开手后在空中的运动轨迹，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．篮球离开手瞬间的加速度为0 B．篮球经过轨迹最高点时的速度为0 C．篮球经过A点处受到的合外力方向沿轨迹的切线方向 D．篮球从离开手到落入篮筐过程中速度变化量的方向始终竖直向下 5．（23-24高一下·河南商丘·期中）嫦娥五号的返回舱采用“打水漂”的技术来减速并成功着陆在预定区域，如图所示为其飞行轨迹的示意图，它的特点是航天器多次进出大气层，这种轨道与传统直接再入式轨道相比，能够有效降低航天器再入式的速度，避免产生较大的过载，安全性好。图中标出了返回舱在飞行轨迹上4个位置处所受合外力的情况，其中一定错误的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·安徽蚌埠·期中）“歼20” 战机在空军航空开放日的飞行表演时做了一个向上超大迎角翻滚动作，图示虚线表示从M到N加速向上攀升过程中的运动轨迹，则下列正确表示飞机的合力F方向的是（　　） A． B． C． D． 7．（22-23高三上·山东青岛·期中）如图，均质细杆的一端A斜靠在光滑竖直墙面上，另一端B置于光滑水平面上，杆在外力作用下保持静止，此时细杆与墙面夹角很小。现撤去外力，细杆开始滑落，某时刻细杆与水平面间夹角为θ，此时A端沿墙面下滑的速度大小为vA．关于细杆的运动，下列说法正确的是（　　） A．细杆滑落过程中，B端的速度一直增大 B．细杆滑落过程中，A端沿墙面下滑速度总大于B端沿水平面运动的速度 C．细杆与水平面间夹角为θ时，B端沿水平面运动的速度大小 D．滑落过程中，细杆上各个点的速度方向都不沿杆的方向 8．（22-23高一下·福建漳州·期中）如图是小船渡河的两种情景，下列说法正确的是（　　）    A．图甲方式渡河，渡河时间 B．图乙方式渡河，渡河时间 C．仅水速增大，图甲方式渡河，渡河时间变短 D．仅水速增大，图乙方式渡河，仍能垂直河岸渡河 9．（23-24高一下·甘肃天水·期中）如图，某建筑工地上的塔吊往高处运送建筑材料。取竖直向上为y轴的正方向，水平向右为x轴的正方向，建立如图所示的坐标系xOy。假设材料从O点处起吊，沿y轴的正方向做匀速运动，沿x轴的正方向做匀加速运动，则材料运动的轨迹可能为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·陕西·期中）河水流速不变，一人划船过河，第一次划船速度为，以最短时间过河，第二次划船速度为，以最短位移过河，结果两次船航行在同一条路径上，已知路径与河岸夹角为，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．第一次划船速度一定大于水流速度 B．第二次划船速度一定小于水流速度 C．两次划船速度的大小之比 D．两次过河时间之比 二、多选题 11．（23-24高三上·山西运城·阶段练习）如图所示，直角三角形斜面体ABC固定在水平面上，、，粗细均匀的直杆竖直立在地面上的B点，滑环Q套在杆上，物块P放在斜面上，P和Q用绕过C点定滑轮的细线连接。让物块P以速度v沿斜面向上匀速运动，不计滑轮的大小，当Q运动到离B、C距离相等的位置时（　　）    A．Q的速度大小为2v B．Q的速度大小为 C．Q的加速度向上 D．Q的加速度为零 12．（24-25高三上·江西·期中）2024年6月以来，受强降雨的影响，江西部分地区出现暴雨到大暴雨，赣江发生2024年第2号洪水，导致江西多地发生洪涝灾害，多条水流超警戒水位。某应急救援分队要渡过宽且两岸平直的河到对岸实施救援，若冲锋舟在静水中划行的速率为，河水的流速为，下列说法正确的是（    ） A．冲锋舟在河水中的合速度大小可能为 B．冲锋舟渡河的位移可能是 C．若该冲锋舟以最小位移渡河，船头应斜向上游，船头与河岸的夹角应为 D．若该冲锋舟保持船头与河岸垂直的方向行驶，渡河中若水流速突然增大，则冲锋舟到达河岸的时间变长 三、解答题 13．（20-21高一下·河南郑州·期中）某工程队不慎将深水泵掉落井中，通过如图所示的装置进行打捞。已知轻绳与水平方向的夹角为，小型卡车向行驶的速度大小为。若深水泵脱离水面后以的速度匀速上升。 (1)分析说明小型卡车应向右做加速、减速还是匀速运动； (2)当时，求小型卡车向右运动速度的大小； (3)若深水泵质量为，小型卡车质量为，重力加速度为，滑轮质量不计，当时，求小型卡车对地面的压力大小（，）。 14．（22-23高一下·安徽·期中）为丰富本校学生的课余生活，增进班级间的友谊，提高同学间的团结协作能力，我校高一学生利用课外活动时间在学校11人制足球场（长105m，宽68m）举行了班级友谊联赛。比赛过程中，某同学刚好经过足球场中心位置，此时开始计时，以足球场的中心为坐标原点，平行于长边为x轴，平行于短边为y轴，建立直角坐标系，下图记录了该同学沿两轴方向的运动图像，则： （1）通过计算说明时，该同学是否出界； （2）时该同学速度。 15．（22-23高一下·山东菏泽·期中）河流某段左右两岸平行，河水流速是2 m/s。某时刻开始，汽艇从左岸出发向对岸行驶，船头方向始终垂直于河岸，汽艇相对静水的速度大小随时间t变化的规律如图所示，时到达右岸。求渡河过程： （1）汽艇的最大速度； （2）汽艇的位移。    18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 粤教版2019必修第二册期中复习讲义 第一讲 曲线运动 考点 具体内容 1. 曲线运动 1. 理解曲线运动的条件和性质 2. 掌握常见曲线运动的规律 2. 运动的合成与分解 1. 理解合运动与分运动的关系 2. 掌握运动合成与分解的方法 3. 理解并会应用合成与分解解决小船渡河及关联速度等问题 一、曲线运动的速度方向 1．质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向． 2．速度是矢量，它既有大小，又有方向．由于曲线运动中，速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动． 二、物体做曲线运动的条件 1．动力学角度看：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动． 2．运动学角度看：物体的加速度方向与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动． 考点一：曲线运动的理解 1．曲线运动在某点的速度方向一定沿着曲线上该点的切线方向． 2．曲线运动一定是变速运动，但是变速运动不一定是曲线运动；曲线运动一定有加速度，但加速度不一定变化． 3．对曲线运动性质的分析 (1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动． (2)物体所受的合外力为恒力时，它一定做匀变速运动，但可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动． 4．曲线运动性质的两种判断方法 (1)看物体的合力：若物体的合力为恒力，则它做匀变速曲线运动；若物体的合力为变力，则它做变加速曲线运动． (2)看物体的加速度：若物体的加速度不变，则它做匀变速曲线运动；若物体的加速度变化，则它做变加速曲线运动．　 例1. （23-24高一下·天津·期中）一物体在竖直面内某段运动的轨迹如图所示，该物体经过B点时速度方向竖直向上，则该物体在B点所受的合力可能（    ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【答案】B 【详解】根据合力、速度、轨迹三者之间的关系可知，合力方向指向轨迹的凹侧，故该物体在B点所受的合力可能向右。 故选B。 例2下列说法正确的是（　　） A．在恒力作用下，物体可能做曲线运动 B．在变力作用下，物体不可能做曲线运动 C．做曲线运动的物体，其运动状态可能不改变 D．物体做曲线运动时，其加速度与速度的方向可能一致 【答案】A 【解析】AB．物体做曲线运动的条件是合外力与速度不共线，力可以是恒力也可以是变力，故A正确，B错误； C．做曲线运动的物体，速度方向时刻发生变化，所以其运动状态一定改变，故C错误； D．物体做曲线运动的条件是加速度与速度不共线，故D错误。 故选 A。 例3（23-24高一下·江西九江·期末）香蕉球（screw shot），足球运动中的技术名词，指运动员运用脚踢出球后，球在空中一边飞行一边自转，香蕉球能巧妙地利用空气对足球的作用，使足球在空中曲线飞行，常用于攻方在对方禁区附近获得直接任意球时，利用其弧线运行状态，避开人墙射门得分。关于足球的这种曲线运动，下列说法正确的是（　　） A．足球在空中做匀速运动 B．足球的速度方向与轨迹相切 C．足球的加速度方向与轨迹相切 D．足球的速度方向与加速度方向相同 【答案】B 【详解】A．球在空中做曲线运动，速度方向不停改变，不可能是匀速运动，故A错误； B．曲线运动的速度方向总是与轨迹相切，故B正确； CD．曲线运动加速度方向与速度方向不在一条直线上，也不与轨迹相切，故CD错误。 故选B。 考点二、曲线运动条件的理解 1．物体做曲线运动的条件：合力与速度方向不共线． 2．合力与轨迹的关系：物体做曲线运动时，其轨迹总偏向合力所指的一侧，或者说合力总指向运动轨迹的凹侧，也可以说运动轨迹总是夹在合力方向与速度方向之间且与速度方向相切． 3．曲线运动中轨迹规律的进一步理解 (1)具有一定初速度的物体在恒力的作用下做曲线运动时，物体的末速度越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同； (2)物体的运动轨迹与初速度和合力两个因素有关，轨迹在合力与速度所夹区域之间且与速度相切． 4．判断曲线运动轨迹时应注意的问题 (1)与运动轨迹相切的方向为速度方向，不是力的方向； (2)看物体运动轨迹的弯曲情况，物体所受合力的方向指向轨迹凹的一侧； (3)轨迹曲线夹在合力与轨迹切线(即速度方向)之间．　 例1（2024·辽宁·模拟预测）2023年9月，国内首条全自动无人驾驶空中悬挂式单轨列车旅游专线正式开通运营，如图甲所示。假设某次列车在转弯过程中，先后经过A、B、C三个位置，AB段的轨迹是曲线，列车做减速运动，BC段的轨迹是直线，列车做加速运动，其简化模型如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．在BC段，列车加速时加速度的方向与速度的方向相反 B．在AB段，列车减速时加速度的方向与速度的方向相反 C．列车从A到C运动的位移大小等于其前进的路程 D．列车从A到C位移的方向与平均速度的方向相同 【答案】D 【详解】A．在BC段，列车加速时加速度的方向与速度的方向相同，故A错误； B．在AB段，列车做曲线运动，加速度方向一定与速度方向不在同一直线上，减速时加速度方向与速度方向的夹角大于，故B错误； C．由于AB段为曲线运动，所以列车从A到C运动的位移大小小于其前进的路程，故C错误； D．根据 可知列车从A到C位移的方向与平均速度的方向相同，故D正确。 故选D。 例2（24-25高一上·浙江丽水·期末）歼35A是我国自行研发的中型多用途隐身战机。在2024年珠海航展上表演时，战机沿曲线ab向上爬升，关于飞机所受合力的4种方向，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】飞机做曲线运动，所以飞机所受合力位于轨迹的凹侧。 故选C。 例3（24-25高一上·云南昆明·期末）在2024年11月珠海航展上，中国自主研制的新一代隐身战斗机歼首次公开亮相。如图所示，歼表演时先水平向左飞行，再沿曲线 abc飞行。若飞行轨迹在同一竖直面内且飞行速率不变，下列说法正确的是（　　） A．歼表演中做匀速运动 B．歼在ab段做变速运动 C．歼在ab段所受合力为零 D．歼在bc段的加速度方向与速度方向在同一条直线上 【答案】B 【详解】A．歼做曲线运动，速度方向时刻改变，不是匀速运动，A错误； B．歼在ab段做曲线运动，速度方向改变，是变速运动，B正确； C．歼做曲线运动，所受合力不为零，C错误； D．歼在bc段做曲线运动，加速度方向与速度方向不在同一条直线上，D错误。 故选B。 例4（24-25高一下·全国·课后作业）我国是海洋大国、航海大国、造船大国。截至2022年底，我国海运船队运力规模达3.7亿载重吨，较十年前增长一倍，船队规模跃居世界第二。龙门吊作为港口常用的运输装置，其运输效率的提高对我国港口事业的发展起着重要作用。以水平方向为x轴，竖直方向为y轴，吊机工作过程中货物运动的轨迹如图所示，已知货物的运动由龙门吊的行走运动及货物的起升运动构成，吊机吊起货物与放下货物时竖直方向上的速度大小相等且恒定不变，下列说法正确的是（　　） A．段轨迹，货物加速度方向沿x轴正方向 B．段轨迹龙门吊行走运动的加速度与段相同 C．段轨迹，货物一定做匀速运动 D．在段货物一定做匀速运动 【答案】D 【详解】A．由题意可知货物在竖直方向上做匀速直线运动，由加速度方向指向轨迹凹侧可知，对段轨迹，货物加速度方向指向x轴负方向，A错误； B．对段轨迹，加速度指向凹侧，则龙门吊沿x轴正方向加速，段轨迹龙门吊的加速度与段不一致，B错误； C．对段轨迹，龙门吊可沿x轴变速或匀速，由轨迹图无法判断，C错误； D．由题意及题图可知，在段货物的轨迹为直线，又竖直方向上加速度为0，则货物在水平方向上的加速度也应为0，则货物一定做匀速运动，D正确。 故选D。 合力与速率变化的关系 分类 速度与合力 间的夹角θ 运动的性质 力的作用效果 直线 运动 θ＝0° 加速直线运动 只改变速度的大小，不改变速度的方向 θ＝180° 减速直线运动 曲线 运动 0°＜θ＜90° 加速曲线运动 既改变速度的大小，又改变速度的方向 90°<θ<180° 减速曲线运动 θ＝90° 速度大小不变 的曲线运动 只改变速度的方向，不改变速度的大小 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动． 2．运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解． 3．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循平行四边形定则(或三角形定则)． 4．合运动与分运动的关系 等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同 等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同 独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响 同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动 考点一、运动的合成与分解 合运动性质的判断方法 判断两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断． (1)判断是否做匀变速运动：若a恒定，物体做匀变速运动；若a变化，物体做变加速运动． (2)判断轨迹的曲直：若a方向与v0方向共线，则做直线运动；若a方向与v0方向不共线，则做曲线运动 例1. （23-24高一下·四川凉山·期末）在光滑水平面上，一物体沿正东方向做匀速直线运动。从某时刻起对物体施加一水平向南的力，若水平力越大，则物体在相等时间内（　　） A．向东发生的位移不变 B．向东发生的位移越大 C．向南发生的位移不变 D．总位移不变 【答案】A 【详解】从某时刻起对物体施加一水平向南的力，若水平力越大，则加速度越大，向南发生的位移和总位移越大，向东方向的运动状态不变，则向东发生的位移不变。 故选A。 例2. （23-24高一上·河南洛阳·期末）无人机在生产生活已经广泛应用，在某次灾害救援中，无人机在直角坐标系xOy所在的平面内运动规律分别为则（    ） A．无人机的加速度大小为 B．无人机运动轨迹是一条直线 C．1s末无人机的速度大小为10m/s D．ls末无人机的速度方向与x轴夹角为 【答案】C 【详解】A．由题意可知 无人机的加速度大小为 选项A错误； B．无人机的合初速度沿x方向即 合加速度方向与x轴成45°角，可知运动轨迹是曲线，选项B错误； CD．1s末无人机沿x方向的速度 沿y方向的速度 则合速度的速度大小为 速度方向与x轴夹角为 选项C正确，D错误。 故选C。 例3. （23-24高一下·山东临沂·期末）我国无人机技术发展迅猛，应用也越来越广泛，其中无人机配送也实现了无接触配送。某次无人机配送质量为的物件时，物件水平轴方向和竖直轴方向的运动图像分别如图中甲、乙所示，以竖直向上为正方向。重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．物件在1∼3s内做变减速曲线运动 B．物件在水平方向加速度大小为 C．物件在1s时的速度大小为 D．物件在0∼3s提升的高度为4.5m 【答案】D 【详解】A．根据物件在水平轴方向的图像可知，x方向做匀速直线运动，有 ， 以竖直向上为正方向，竖直轴方向的运动的图像可知，物件先沿正向做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动，有 ， 则物件在0∼1s做匀变速曲线运动，速度增大，在 1∼3s内做匀变速曲线运动，速度减小，故A错误； B．物件在水平方向做匀速直线运动，加速度大小为零，故B错误； C．物件在1s时的速度大小为 故C错误； D．物件在0∼3s提升的高度即为方向的位移，也是图像的面积，有 故D正确。 故选D。 例4. （23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如图所示，在一端封闭的长玻璃管内注满水，水中放一个红色柱状小物块（可视为质点），用橡胶塞把玻璃管的开口封闭并竖直倒置，玻璃管以的速度沿水平向右匀速运动，同时红色小物块沿管以某一加速度a匀加速运动，若以初始时刻红色小物块所在位置为坐标原点，建立沿玻璃管运动方向为x轴、沿玻璃管方向为y轴的平面直角坐标系，通过实验得到红色小物块的轨迹满足，已知， 。 （1）求小物块沿管运动的加速度a的大小； （2）小物块运动多长时间其速度方向与x轴正方向的夹角为53°？ 【答案】（1）；（2） 【知识点】研究蜡块运动的分解 【详解】（1）以物块为研究对象，x方向上有 y方向有 解得 又 解得 （2）根据题意得 解得 考点二：“关联”速度 1．“关联”速度问题：指物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题． 2．“关联”速度的分解规律 (1)分解依据 ①物体的实际运动是合运动． ②由于绳(杆)不可伸长，所以绳(杆)两端所连物体的速度沿着绳(杆)方向的分速度大小相同． (2)分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量． (3)常见的速度分解情形如下： 例1. 如图所示，物体A和B分别与跨过定滑轮的轻绳两端连接（不计绳与滑轮之间的摩擦），当用水平变力F拉着物体B沿光滑水平面向右做匀速直线运动时，下列判断正确的是（） A．物体A的速度小于物体B的速度 B．物体A的速度大于物体B的速度 C．物体A做匀速直线运动 D．轻绳的拉力大于物体A所受的重力 AD 【解析】 AB．设物体B的运动速度为vB，将B的速度沿绳和垂直绳的方向进行分解，沿绳方向的速度即为物体A的运动速度，则有 则物体A的速度小于物体B的速度，A正确，B错误； C．根据 在物体B运动过程中θ不断变小，则vA会不断增大，故物体A做加速运动，C错误； D．物体A做加速运动，则有 说明轻绳的拉力大于物体A所受的重力，D正确。 故选AD。 例2. （24-25高一下·江西·阶段练习）图为电影拍摄过程中吊威亚的情景。工作人员沿直线水平向左拉轻绳，使得工作人员匀速上升，则工作人员（　　） A．在向左加速移动 B．在向左减速移动 C．处于超重状态 D．处于失重状态 【答案】B 【详解】AB．设轻绳与水平方向的夹角为，工作人员、的速度大小分别为、，则有 随着工作人员匀速上升，变小，变大，减小，故A错误、B正确； CD．工作人员没有竖直方向上的加速度，既不处于超重状态，也不处于失重状态，故CD错误。 故选B。 例3. （24-25高三上·安徽·阶段练习）如图所示，人在岸上拉动绳子，使小船以速度v沿水面匀速向河岸靠近，当绳子与水面的夹角时，，则下列关于倾斜部分绳子（滑轮与船之间部分）的中点M瞬时速度的大小、方向说法正确的是（　　） A．M点瞬时速度的方向与船速相同 B．M点瞬时速度的方向沿绳指向左上方 C．M点瞬时速度的大小为 D．M点瞬时速度的大小为 【答案】C 【详解】M点的瞬时速度有延绳子方向的分量和垂直与绳子方向的分量， M点瞬时速度的大小为 M点瞬时速度的方向与船速不同，并不沿着绳子，故ABD错误，C正确； 故选 C。 例4. 如图为曲柄连杆机构的结构示意图，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动。曲轴可绕固定的O点做匀速圆周运动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，已知转速为2400r/min，OA=40cm，AB=1m。下列说法正确的是（　　） A．OA从竖直方向转到水平方向的过程中，活塞的速度逐渐增大 B．当OA在竖直方向时，活塞的速度大小为32πm/s C．当OA与AB垂直时，活塞的速度大小为32πm/s D．当OA与AB共线时，活塞的速度大小为32πm/s 【答案】B 【解析】A．根据题意，活塞可沿水平方向往复运动，所以，OA从竖直方向转到水平方向的过程中，活塞的速度先增大后减小，故A错误； B．由公式可得，A点线速度为 将A点和活塞的速度沿杆和垂直杆分解，如图所示 由几何关系有可得 故B正确； C．同理可知，A点的速度沿杆方向，活塞的速度分解如图 所以 由几何关系得 可得 故C错误； D．同理可知，A点在沿杆方向的分速度是0，所以活塞的速度为0，故D错误。 故选B。 解答“关联”速度的分解问题的两个关键 (1)弄清合运动与分运动：物体的实际运动是合运动． (2)绳(杆)两端所连物体的速度与沿着绳(杆)方向的分速度大小相等． 1．小船参与的两个分运动 (1)船对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同． (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行． 2．两类最值问题 (1)渡河时间最短问题 由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图甲可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tanθ＝. (2)渡河位移最短问题 情况一：v水＜v船 最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水，即cosθ＝，如图乙所示． 情况二：v水＞v船 合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sinα＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cosθ′＝. 考点一、最短时间渡河 例1.（23-24高一下·福建漳州·期末）消防员驾驶小船救援被困于礁石上的人员，如图所示，A、B为河岸上间距适当的两个位置，B距离礁石最近。假设小船在静水中的运动速率不变，则要使小船在最短时间内抵达礁石，可行的方案是（    ） A．从A处出发，船头垂直于河岸 B．从A处出发，船头朝着礁石方向 C．从B处出发，船头垂直于河岸 D．从B处出发，船头朝着上游方向 【答案】A 【详解】要使小船在最短时间内抵达礁石，则应使垂直河岸方向分速度最大，即船头应垂直于河岸；由于沿河岸方向会发生一定的位移，则小船应从A处出发。 故选A。 例2（24-25高一下·全国·课后作业）如图甲，某同学需要通过小木筏渡过一条河，已知小木筏在静水中的速度大小为。受地形等因素影响，不同位置河水流速会有变化。出发点A下游某位置的水流速度与该位置到A点的沿河距离关系如图乙所示，已知小木筏前端始终垂直河岸，最终到达对岸偏离正对面的B处，则以下说法正确的是（　　） A．小木筏在河水中的轨迹是直线 B．河的宽度为 C．若水流速度恒为，小木筏过河时间将变短 D．若水流速度恒为，小木筏可调节前端指向使轨迹垂直河岸渡河 【答案】B 【详解】A．由题图乙可知，小木筏在沿水流方向上做变减速运动，垂直河岸方向上做匀速直线运动，合外力与合速度不共线，轨迹一定为曲线，故A错误； B．设在沿河方向运动极短距离耗时，根据瞬时速度定义，则有 渡河总时间 河宽 故B正确； C．过河时间取决于河宽和小木筏垂直河岸的分速度，由题可知小木筏前端始终垂直，则小木筏垂直河岸的分速度始终为，小木筏过河时间不受水流速度影响，故C错误； D．当水流速度恒为时，无论如何调节小木筏前端指向，水速和木筏速度都无法合成垂直河岸的速度，故此时无法使轨迹垂直河岸渡河，故D错误。 故选B。 考点二、最短位移问题 例1（24-25高一下·全国·课后作业）龙舟是我国传统体育活动。关于龙舟的起源，流传最广的说法是为纪念楚国爱国诗人屈原。随着时代的发展，这项体育运动逐渐传播到世界多个国家和地区。若河宽为d，龙舟过河时，船头与河岸夹角为，如图所示，龙舟在静水中的速度为（船速大于水速），水流速度为，则（　　） A．龙舟无论如何调整船头都不可能垂直河岸过河 B．龙舟过河的最小位移为 C．龙舟过河的最短时间为 D．当水的流速减小时，要使龙舟能够到达正对岸，可以减小船速 【答案】BD 【详解】AB．由于龙舟的速度大于水流的速度，只要调整船头的速度方向，龙舟有可能垂直河岸过河，且最小位移为，故A错误，B正确； C．当龙舟速度垂直于河岸时，龙舟过河时间最短，最短时间等于，故C错误； D．设水流速度减为，为保持航线不变，到达正对岸，由速度分解图可知 则可以减小船速，故D正确。 故选BD。 例2（23-24高一下·重庆·期中）一艘动力小船在宽度为300m的河流中船头正对河对岸过河，到达河对岸。电动机正常工作时动力小船在静水中的速度为3m/s，河水的流速（d为观测点距河岸的距离，）则（    ） A．该小船全程的位移大小为450m B．该小船全程一定是匀变速运动 C．该小船的最大航行速度为6m/s D．该小船在由岸边向河中心航行的过程中轨迹一定是抛物线 【答案】D 【详解】AB．设河宽为L，则垂直河岸方向有 解得过河的时间 t=100s 根据 可知小船沿水流方向做匀加速运动，加速度 a=0.06m/s2 则到达河中间时沿水流方向的位移 该小船全程的位移大小为 该小船全程上半段时间和下半段时间内加速度方向相反，则全程不是匀变曲速运动，选项AB错误； C．该小船的最大航行速度为 选项C错误； D．该小船在由岸边向河中心航行的过程中沿水流方向做匀加速运动，垂直水流方向做匀速运动，则轨迹一定是抛物线，选项D正确。 故选D。 例3（23-24高一下·山西太原·阶段练习）如图所示，老师组织物理兴趣小组同学到游乐园一段两岸平行、宽度为的河面上驾驶电动小游船进行学习体验游戏，水流的速度为，其大小可以通过闸门调节；游船在静水中的速度为，其方向决定于船头的朝向。游戏时，小组同学驾驶小游船从河的一边渡到河对岸，，。求： （1）若，，则当小游船过河时间最短时，其运动轨迹与河岸的夹角及经过的距离为多少？ （2）若，，则当小游船过河距离最短时，其船头朝向与河岸的夹角及过河时间为多少？ （3）若，，则当小游船过河距离最短时，其过河通过的最短距离为多少？ 【答案】（1），100m；（2），20s；（3）100m 【详解】（1）船头的指向垂直于河岸方向时，过河时间最短，即分速度的方向垂直于河岸，水流速度为，速度矢量图如图甲所示。 由图甲可求轨迹与河岸的夹角，有 得 过河经过的距离为 （2）小游船的实际速度即合速度v垂直于河岸时，过河距离最短，速度矢量图如图乙所示。由图可知，船头的指向即的方向指向上游方向与河岸夹角，有 得 过河时间为 由图可得 联立解得 （3）由于小于，只有当合速度v的方向与河岸夹角最大，即与c的方向垂直时，过河距离最小，速度矢量图如图内所示。根据几何关系有 得 所以最短距离为 研究小船渡河问题的思路 (1)研究小船渡河时间时：应用v船垂直于河岸的分速度求解，与v水的大小无关． (2)分析小船速度时：可画出小船的速度分解图进行分析． (3)研究小船渡河位移时：要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图． 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北宜昌·期末）篮球从高处无转动下落将沿竖直方向运动，若在释放瞬间给篮球一个转动速度，篮球仍在竖直平面内运动，运动轨迹如图中曲线所示，这种现象称之为马格努斯效应，马格努斯效应在球类运动项目中非常普遍。篮球运动到M点时速度方向如图所示，则其在该点受到的合外力方向可能是（　　） A．竖直向下 B．与速度方向相反 C．垂直速度方向斜向左下 D．斜向右下，指向轨迹曲线内侧 【答案】D 【详解】篮球做曲线运动时，合外力的方向应该指向其轨迹的凹侧。 故选D。 2．（22-23高二上·全国·强基计划）如图甲所示，小球M与小球m用跨搭在一半球形容器壁上边缘的轻绳相连接，半球形容器壁的上边缘是光滑的，小球M位于半球形容器的内壁靠近上边缘处，小球m位于半球形容器外，将小球M由静止释放牵引小球m运动，当小球M运动至半球形容器底部时（如图乙所示），小球m的速度是v，则此时M的速度为（　　） A．v B． C． D． 【答案】C 【详解】将小球M的速度分解为沿细绳方向的速度和垂直细绳方向的速度，则沿细绳方向的速度等于小球m的速度v，则由速度的分解可得 解得 故选C。 3．（24-25高三上·陕西西安·期中）如图所示，一条两岸平行的河，水流速度方向平行河岸且大小保持不变。一条小船在河中匀速运动，船在静水中的速度大小为，船头方向与垂直河岸方向的夹角为，船的实际速度（合速度）与河岸的夹角也为，关于与的大小关系，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意作出船的运动图示如下，由于垂直河岸方向的夹角为，与河岸的夹角也为，在矢量三角形OAB中，OA表示，OB表示，根据几何知识可得 则有 在中，由正弦定理可得 即有 整理可得 故选A。 4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）如图是频闪照相机拍摄的篮球离开手后在空中的运动轨迹，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．篮球离开手瞬间的加速度为0 B．篮球经过轨迹最高点时的速度为0 C．篮球经过A点处受到的合外力方向沿轨迹的切线方向 D．篮球从离开手到落入篮筐过程中速度变化量的方向始终竖直向下 【答案】D 【详解】A．篮球离开手瞬间的加速度为g，故A错误； B．篮球经过轨迹最高点时水平方向仍有速度，速度不为0，故B错误； C．忽略空气阻力，篮球经过A点处受到的合外力方向竖直向下，故C错误； D．篮球从离开手到落入篮筐过程中速度变化量的方向为加速度方向，始终竖直向下，故D正确。 故选D。 5．（23-24高一下·河南商丘·期中）嫦娥五号的返回舱采用“打水漂”的技术来减速并成功着陆在预定区域，如图所示为其飞行轨迹的示意图，它的特点是航天器多次进出大气层，这种轨道与传统直接再入式轨道相比，能够有效降低航天器再入式的速度，避免产生较大的过载，安全性好。图中标出了返回舱在飞行轨迹上4个位置处所受合外力的情况，其中一定错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】做曲线运动的物体，受到的合外力一定指向轨迹的凹侧，所以位置处标记的返回舱的受力一定是错误的。 故选B。 6．（23-24高一下·安徽蚌埠·期中）“歼20” 战机在空军航空开放日的飞行表演时做了一个向上超大迎角翻滚动作，图示虚线表示从M到N加速向上攀升过程中的运动轨迹，则下列正确表示飞机的合力F方向的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】曲线运动合力方向总是指向凹的一侧，且做加速运动，合力方向偏向N，故选C. 7．（22-23高三上·山东青岛·期中）如图，均质细杆的一端A斜靠在光滑竖直墙面上，另一端B置于光滑水平面上，杆在外力作用下保持静止，此时细杆与墙面夹角很小。现撤去外力，细杆开始滑落，某时刻细杆与水平面间夹角为θ，此时A端沿墙面下滑的速度大小为vA．关于细杆的运动，下列说法正确的是（　　） A．细杆滑落过程中，B端的速度一直增大 B．细杆滑落过程中，A端沿墙面下滑速度总大于B端沿水平面运动的速度 C．细杆与水平面间夹角为θ时，B端沿水平面运动的速度大小 D．滑落过程中，细杆上各个点的速度方向都不沿杆的方向 【答案】C 【详解】A．细杆滑落过程中，开始时B端速度为零，当A端滑到地面时B端的速度也为零，可知整个过程中B端的速度先增大后减小，选项A错误； BC．细杆与水平面间夹角为θ时，由速度分解知识可知 即B端沿水平面运动的速度大小 则当θ角从0~45°时；当θ角从45°~90°时；即细杆滑落过程中，A端沿墙面下滑速度先小于B端沿水平面运动的速度，后大于B端沿水平面运动的速度，选项B错误，C正确； D．滑落过程中，A点的速度竖直向下，B点的速度水平向右，则杆上其他各点的速度方向介于两者之间，则必有一点的速度方向沿杆的方向，选项D错误。 故选C。 8．（22-23高一下·福建漳州·期中）如图是小船渡河的两种情景，下列说法正确的是（　　）    A．图甲方式渡河，渡河时间 B．图乙方式渡河，渡河时间 C．仅水速增大，图甲方式渡河，渡河时间变短 D．仅水速增大，图乙方式渡河，仍能垂直河岸渡河 【答案】A 【详解】A．图甲方式渡河，渡河时间，A正确； B．图乙方式渡河，渡河时间，B错误； C．根据合运动与分运动的等时性知，仅水速增大，按图甲方式渡河时间不变，C错误； D．仅水速增大，图乙方式渡河，水速和船速合速度不再垂直河岸，不能垂直渡河，D错误。 故选A。 9．（23-24高一下·甘肃天水·期中）如图，某建筑工地上的塔吊往高处运送建筑材料。取竖直向上为y轴的正方向，水平向右为x轴的正方向，建立如图所示的坐标系xOy。假设材料从O点处起吊，沿y轴的正方向做匀速运动，沿x轴的正方向做匀加速运动，则材料运动的轨迹可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】假设材料从O点处起吊，沿y轴的正方向做匀速运动，沿x轴的正方向做匀加速运动，则由牛顿第二定律可知，材料在y轴方向没有加速度，有沿x轴的正方向的加速度。合力方向与加速度方向相同，合力沿x轴的正方向。又曲线运动，合力指向轨迹的凹侧。 故选D。 10．（24-25高三上·陕西·期中）河水流速不变，一人划船过河，第一次划船速度为，以最短时间过河，第二次划船速度为，以最短位移过河，结果两次船航行在同一条路径上，已知路径与河岸夹角为，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．第一次划船速度一定大于水流速度 B．第二次划船速度一定小于水流速度 C．两次划船速度的大小之比 D．两次过河时间之比 【答案】B 【详解】A．设水流速度为，第一次以最短时间过河，则船头正对河对岸，则有 若，则，即第一次划船速度小于水流速度，故A错误； B．第二次以最短位移过河，则船头方向与AB垂直，则有 即第二次划船速度一定小于水流速度，故B正确； C．两次划船速度的大小之比为 故C错误； D．两次船的合速度分别为 ， 两次划船位移相同，则两次过河时间之比为 故D错误。 故选B。 二、多选题 11．（23-24高三上·山西运城·阶段练习）如图所示，直角三角形斜面体ABC固定在水平面上，、，粗细均匀的直杆竖直立在地面上的B点，滑环Q套在杆上，物块P放在斜面上，P和Q用绕过C点定滑轮的细线连接。让物块P以速度v沿斜面向上匀速运动，不计滑轮的大小，当Q运动到离B、C距离相等的位置时（　　）    A．Q的速度大小为2v B．Q的速度大小为 C．Q的加速度向上 D．Q的加速度为零 【答案】AC 【详解】AB．当Q运动到离B、C距离相等的位置时，根据几何关系有 设与杆竖直方向的夹角为，可得 根据沿绳方向速度相等可得 可得Q的速度大小为 故A正确，B错误； CD．根据沿绳方向速度相等可得 滑环Q有沿杆向下的速度，随着滑环Q运动，减小，故滑环Q沿杆向下运动的速度减小，则Q的加速度向上，故C正确，D错误。 故选AC。 12．（24-25高三上·江西·期中）2024年6月以来，受强降雨的影响，江西部分地区出现暴雨到大暴雨，赣江发生2024年第2号洪水，导致江西多地发生洪涝灾害，多条水流超警戒水位。某应急救援分队要渡过宽且两岸平直的河到对岸实施救援，若冲锋舟在静水中划行的速率为，河水的流速为，下列说法正确的是（    ） A．冲锋舟在河水中的合速度大小可能为 B．冲锋舟渡河的位移可能是 C．若该冲锋舟以最小位移渡河，船头应斜向上游，船头与河岸的夹角应为 D．若该冲锋舟保持船头与河岸垂直的方向行驶，渡河中若水流速突然增大，则冲锋舟到达河岸的时间变长 【答案】AB 【详解】A．当冲锋舟顺流而下，即冲锋舟的速度与水流速度共线同向时，此时冲锋舟的速度最大 最小合速度 可知冲锋舟在河水中的合速度大小可能为，故A正确 B．由于冲锋舟在静水中划行的速率大于河水的流速，则冲锋舟的合速度方向可以垂直河岸，冲锋舟渡河的位移最小值为河岸宽度，则冲锋舟渡河的位移大于等于，冲锋舟渡河的位移可能是，故B正确； C．若该冲锋舟以最小位移渡河，则合速度方向垂直河岸，如图所示 根据几何关系可得 解得 故C错误； D．在河宽不变的情况下，冲锋舟保持船头与河岸垂直的方向行驶，渡河时间为 渡河中若水流速突然增大，则冲锋舟到达河岸的时间不变，故D错误。 故选AB。 三、解答题 13．（20-21高一下·河南郑州·期中）某工程队不慎将深水泵掉落井中，通过如图所示的装置进行打捞。已知轻绳与水平方向的夹角为，小型卡车向行驶的速度大小为。若深水泵脱离水面后以的速度匀速上升。 (1)分析说明小型卡车应向右做加速、减速还是匀速运动； (2)当时，求小型卡车向右运动速度的大小； (3)若深水泵质量为，小型卡车质量为，重力加速度为，滑轮质量不计，当时，求小型卡车对地面的压力大小（，）。 【答案】(1)向右减速；(2)；(3) 【详解】(1)如图所示，将分解为沿绳方向的分速度和垂直绳方向的分速度， 根据平行四边形定则有 解得                  小型卡车向右运动时，夹角逐渐减小，将逐渐减小，即向右减速。 (2)当时，小型卡车向右运动的速度 (3)对小型卡车受力分析可知，竖直方向受力平衡，满足      解得                  根据牛顿第三定律知，小型卡车对地面的压力大小 14．（22-23高一下·安徽·期中）为丰富本校学生的课余生活，增进班级间的友谊，提高同学间的团结协作能力，我校高一学生利用课外活动时间在学校11人制足球场（长105m，宽68m）举行了班级友谊联赛。比赛过程中，某同学刚好经过足球场中心位置，此时开始计时，以足球场的中心为坐标原点，平行于长边为x轴，平行于短边为y轴，建立直角坐标系，下图记录了该同学沿两轴方向的运动图像，则： （1）通过计算说明时，该同学是否出界； （2）时该同学速度。 【答案】（1）出界；（2），方向与x轴正方向的夹角为37° 【详解】（1）0~8s内，由v−t图像与时间轴所围面积表示位移，可得该同学沿y轴位移为      所以，该同学已出界。 （2）由图像可知，0~4s内，运动员沿x轴正方向做匀速直线运动，由x−t图像的斜率表示速度可得 运动员沿y轴正方向做初速度是0的匀加速直线运动，由v−t图像的斜率表示加速度可得 则有 时运动员的速度大小为 设速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则有 解得 即时该同学速度大小为5m/s，方向与x轴正方向的夹角为37°。 15．（22-23高一下·山东菏泽·期中）河流某段左右两岸平行，河水流速是2 m/s。某时刻开始，汽艇从左岸出发向对岸行驶，船头方向始终垂直于河岸，汽艇相对静水的速度大小随时间t变化的规律如图所示，时到达右岸。求渡河过程： （1）汽艇的最大速度； （2）汽艇的位移。    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）水流速度不变，当汽艇相对静水速度最大时，汽艇速度最大，由图像可知，汽艇相对静水速度的最大速度为 则可知汽艇的最大速度 代入数据解得 （2）汽艇垂直河岸的位移大小即为河宽由图像可知，河宽 汽艇沿河岸的位移大小 渡河过程汽艇的位移 代入数据解得 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北宜昌·期末）篮球从高处无转动下落将沿竖直方向运动，若在释放瞬间给篮球一个转动速度，篮球仍在竖直平面内运动，运动轨迹如图中曲线所示，这种现象称之为马格努斯效应，马格努斯效应在球类运动项目中非常普遍。篮球运动到M点时速度方向如图所示，则其在该点受到的合外力方向可能是（　　） A．竖直向下 B．与速度方向相反 C．垂直速度方向斜向左下 D．斜向右下，指向轨迹曲线内侧 【答案】D 【详解】篮球做曲线运动时，合外力的方向应该指向其轨迹的凹侧。 故选D。 2．（22-23高二上·全国·强基计划）如图甲所示，小球M与小球m用跨搭在一半球形容器壁上边缘的轻绳相连接，半球形容器壁的上边缘是光滑的，小球M位于半球形容器的内壁靠近上边缘处，小球m位于半球形容器外，将小球M由静止释放牵引小球m运动，当小球M运动至半球形容器底部时（如图乙所示），小球m的速度是v，则此时M的速度为（　　） A．v B． C． D． 【答案】C 【详解】将小球M的速度分解为沿细绳方向的速度和垂直细绳方向的速度，则沿细绳方向的速度等于小球m的速度v，则由速度的分解可得 解得 故选C。 3．（24-25高三上·陕西西安·期中）如图所示，一条两岸平行的河，水流速度方向平行河岸且大小保持不变。一条小船在河中匀速运动，船在静水中的速度大小为，船头方向与垂直河岸方向的夹角为，船的实际速度（合速度）与河岸的夹角也为，关于与的大小关系，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意作出船的运动图示如下，由于垂直河岸方向的夹角为，与河岸的夹角也为，在矢量三角形OAB中，OA表示，OB表示，根据几何知识可得 则有 在中，由正弦定理可得 即有 整理可得 故选A。 4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）如图是频闪照相机拍摄的篮球离开手后在空中的运动轨迹，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．篮球离开手瞬间的加速度为0 B．篮球经过轨迹最高点时的速度为0 C．篮球经过A点处受到的合外力方向沿轨迹的切线方向 D．篮球从离开手到落入篮筐过程中速度变化量的方向始终竖直向下 【答案】D 【详解】A．篮球离开手瞬间的加速度为g，故A错误； B．篮球经过轨迹最高点时水平方向仍有速度，速度不为0，故B错误； C．忽略空气阻力，篮球经过A点处受到的合外力方向竖直向下，故C错误； D．篮球从离开手到落入篮筐过程中速度变化量的方向为加速度方向，始终竖直向下，故D正确。 故选D。 5．（23-24高一下·河南商丘·期中）嫦娥五号的返回舱采用“打水漂”的技术来减速并成功着陆在预定区域，如图所示为其飞行轨迹的示意图，它的特点是航天器多次进出大气层，这种轨道与传统直接再入式轨道相比，能够有效降低航天器再入式的速度，避免产生较大的过载，安全性好。图中标出了返回舱在飞行轨迹上4个位置处所受合外力的情况，其中一定错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】做曲线运动的物体，受到的合外力一定指向轨迹的凹侧，所以位置处标记的返回舱的受力一定是错误的。 故选B。 6．（23-24高一下·安徽蚌埠·期中）“歼20” 战机在空军航空开放日的飞行表演时做了一个向上超大迎角翻滚动作，图示虚线表示从M到N加速向上攀升过程中的运动轨迹，则下列正确表示飞机的合力F方向的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】曲线运动合力方向总是指向凹的一侧，且做加速运动，合力方向偏向N，故选C. 7．（22-23高三上·山东青岛·期中）如图，均质细杆的一端A斜靠在光滑竖直墙面上，另一端B置于光滑水平面上，杆在外力作用下保持静止，此时细杆与墙面夹角很小。现撤去外力，细杆开始滑落，某时刻细杆与水平面间夹角为θ，此时A端沿墙面下滑的速度大小为vA．关于细杆的运动，下列说法正确的是（　　） A．细杆滑落过程中，B端的速度一直增大 B．细杆滑落过程中，A端沿墙面下滑速度总大于B端沿水平面运动的速度 C．细杆与水平面间夹角为θ时，B端沿水平面运动的速度大小 D．滑落过程中，细杆上各个点的速度方向都不沿杆的方向 【答案】C 【详解】A．细杆滑落过程中，开始时B端速度为零，当A端滑到地面时B端的速度也为零，可知整个过程中B端的速度先增大后减小，选项A错误； BC．细杆与水平面间夹角为θ时，由速度分解知识可知 即B端沿水平面运动的速度大小 则当θ角从0~45°时；当θ角从45°~90°时；即细杆滑落过程中，A端沿墙面下滑速度先小于B端沿水平面运动的速度，后大于B端沿水平面运动的速度，选项B错误，C正确； D．滑落过程中，A点的速度竖直向下，B点的速度水平向右，则杆上其他各点的速度方向介于两者之间，则必有一点的速度方向沿杆的方向，选项D错误。 故选C。 8．（22-23高一下·福建漳州·期中）如图是小船渡河的两种情景，下列说法正确的是（　　）    A．图甲方式渡河，渡河时间 B．图乙方式渡河，渡河时间 C．仅水速增大，图甲方式渡河，渡河时间变短 D．仅水速增大，图乙方式渡河，仍能垂直河岸渡河 【答案】A 【详解】A．图甲方式渡河，渡河时间，A正确； B．图乙方式渡河，渡河时间，B错误； C．根据合运动与分运动的等时性知，仅水速增大，按图甲方式渡河时间不变，C错误； D．仅水速增大，图乙方式渡河，水速和船速合速度不再垂直河岸，不能垂直渡河，D错误。 故选A。 9．（23-24高一下·甘肃天水·期中）如图，某建筑工地上的塔吊往高处运送建筑材料。取竖直向上为y轴的正方向，水平向右为x轴的正方向，建立如图所示的坐标系xOy。假设材料从O点处起吊，沿y轴的正方向做匀速运动，沿x轴的正方向做匀加速运动，则材料运动的轨迹可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】假设材料从O点处起吊，沿y轴的正方向做匀速运动，沿x轴的正方向做匀加速运动，则由牛顿第二定律可知，材料在y轴方向没有加速度，有沿x轴的正方向的加速度。合力方向与加速度方向相同，合力沿x轴的正方向。又曲线运动，合力指向轨迹的凹侧。 故选D。 10．（24-25高三上·陕西·期中）河水流速不变，一人划船过河，第一次划船速度为，以最短时间过河，第二次划船速度为，以最短位移过河，结果两次船航行在同一条路径上，已知路径与河岸夹角为，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．第一次划船速度一定大于水流速度 B．第二次划船速度一定小于水流速度 C．两次划船速度的大小之比 D．两次过河时间之比 【答案】B 【详解】A．设水流速度为，第一次以最短时间过河，则船头正对河对岸，则有 若，则，即第一次划船速度小于水流速度，故A错误； B．第二次以最短位移过河，则船头方向与AB垂直，则有 即第二次划船速度一定小于水流速度，故B正确； C．两次划船速度的大小之比为 故C错误； D．两次船的合速度分别为 ， 两次划船位移相同，则两次过河时间之比为 故D错误。 故选B。 二、多选题 11．（23-24高三上·山西运城·阶段练习）如图所示，直角三角形斜面体ABC固定在水平面上，、，粗细均匀的直杆竖直立在地面上的B点，滑环Q套在杆上，物块P放在斜面上，P和Q用绕过C点定滑轮的细线连接。让物块P以速度v沿斜面向上匀速运动，不计滑轮的大小，当Q运动到离B、C距离相等的位置时（　　）    A．Q的速度大小为2v B．Q的速度大小为 C．Q的加速度向上 D．Q的加速度为零 【答案】AC 【详解】AB．当Q运动到离B、C距离相等的位置时，根据几何关系有 设与杆竖直方向的夹角为，可得 根据沿绳方向速度相等可得 可得Q的速度大小为 故A正确，B错误； CD．根据沿绳方向速度相等可得 滑环Q有沿杆向下的速度，随着滑环Q运动，减小，故滑环Q沿杆向下运动的速度减小，则Q的加速度向上，故C正确，D错误。 故选AC。 12．（24-25高三上·江西·期中）2024年6月以来，受强降雨的影响，江西部分地区出现暴雨到大暴雨，赣江发生2024年第2号洪水，导致江西多地发生洪涝灾害，多条水流超警戒水位。某应急救援分队要渡过宽且两岸平直的河到对岸实施救援，若冲锋舟在静水中划行的速率为，河水的流速为，下列说法正确的是（    ） A．冲锋舟在河水中的合速度大小可能为 B．冲锋舟渡河的位移可能是 C．若该冲锋舟以最小位移渡河，船头应斜向上游，船头与河岸的夹角应为 D．若该冲锋舟保持船头与河岸垂直的方向行驶，渡河中若水流速突然增大，则冲锋舟到达河岸的时间变长 【答案】AB 【详解】A．当冲锋舟顺流而下，即冲锋舟的速度与水流速度共线同向时，此时冲锋舟的速度最大 最小合速度 可知冲锋舟在河水中的合速度大小可能为，故A正确 B．由于冲锋舟在静水中划行的速率大于河水的流速，则冲锋舟的合速度方向可以垂直河岸，冲锋舟渡河的位移最小值为河岸宽度，则冲锋舟渡河的位移大于等于，冲锋舟渡河的位移可能是，故B正确； C．若该冲锋舟以最小位移渡河，则合速度方向垂直河岸，如图所示 根据几何关系可得 解得 故C错误； D．在河宽不变的情况下，冲锋舟保持船头与河岸垂直的方向行驶，渡河时间为 渡河中若水流速突然增大，则冲锋舟到达河岸的时间不变，故D错误。 故选AB。 三、解答题 13．（20-21高一下·河南郑州·期中）某工程队不慎将深水泵掉落井中，通过如图所示的装置进行打捞。已知轻绳与水平方向的夹角为，小型卡车向行驶的速度大小为。若深水泵脱离水面后以的速度匀速上升。 (1)分析说明小型卡车应向右做加速、减速还是匀速运动； (2)当时，求小型卡车向右运动速度的大小； (3)若深水泵质量为，小型卡车质量为，重力加速度为，滑轮质量不计，当时，求小型卡车对地面的压力大小（，）。 【答案】(1)向右减速；(2)；(3) 【详解】(1)如图所示，将分解为沿绳方向的分速度和垂直绳方向的分速度， 根据平行四边形定则有 解得                  小型卡车向右运动时，夹角逐渐减小，将逐渐减小，即向右减速。 (2)当时，小型卡车向右运动的速度 (3)对小型卡车受力分析可知，竖直方向受力平衡，满足      解得                  根据牛顿第三定律知，小型卡车对地面的压力大小 14．（22-23高一下·安徽·期中）为丰富本校学生的课余生活，增进班级间的友谊，提高同学间的团结协作能力，我校高一学生利用课外活动时间在学校11人制足球场（长105m，宽68m）举行了班级友谊联赛。比赛过程中，某同学刚好经过足球场中心位置，此时开始计时，以足球场的中心为坐标原点，平行于长边为x轴，平行于短边为y轴，建立直角坐标系，下图记录了该同学沿两轴方向的运动图像，则： （1）通过计算说明时，该同学是否出界； （2）时该同学速度。 【答案】（1）出界；（2），方向与x轴正方向的夹角为37° 【详解】（1）0~8s内，由v−t图像与时间轴所围面积表示位移，可得该同学沿y轴位移为      所以，该同学已出界。 （2）由图像可知，0~4s内，运动员沿x轴正方向做匀速直线运动，由x−t图像的斜率表示速度可得 运动员沿y轴正方向做初速度是0的匀加速直线运动，由v−t图像的斜率表示加速度可得 则有 时运动员的速度大小为 设速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则有 解得 即时该同学速度大小为5m/s，方向与x轴正方向的夹角为37°。 15．（22-23高一下·山东菏泽·期中）河流某段左右两岸平行，河水流速是2 m/s。某时刻开始，汽艇从左岸出发向对岸行驶，船头方向始终垂直于河岸，汽艇相对静水的速度大小随时间t变化的规律如图所示，时到达右岸。求渡河过程： （1）汽艇的最大速度； （2）汽艇的位移。    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）水流速度不变，当汽艇相对静水速度最大时，汽艇速度最大，由图像可知，汽艇相对静水速度的最大速度为 则可知汽艇的最大速度 代入数据解得 （2）汽艇垂直河岸的位移大小即为河宽由图像可知，河宽 汽艇沿河岸的位移大小 渡河过程汽艇的位移 代入数据解得 18 学科网（北京）股份有限公司 $$