专题9 立体几何-2025年职教高考数学总复习试卷

[第一部分]》专题检测卷 专题九立体几何 (时间120分钟，满分120分) 第I卷（选择题共60分） 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求，请将符合题目要求的选项选出) 1.棱长都是2的三棱锥的表面积为 A.3 B.23 C.45 D.8√3 尔 2.已知在正四面体A一BCD中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为 A司 B号 c n号 3.已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28π，则该三 棱柱的体积为 ( 数 A.6 B.18 C.123 D.16 4.已知圆锥的高为2√5，底面半径为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为( A.√6 B.√3 C.√2 D.2 5.已知a,3是两个不重合的平面，直线l⊥a,则“a∥”是“lL”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 部 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.a,b,c是空间三条直线，a∥b,a与c相交，则b与c位置关系是 杯 A.相交 B.共面 C.异面或相交 D.相交、平行、异面都有可能 7.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形且PQ∥AC,则在下列说法中， 错误的为 A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC=BD D.异面直线PM与BD所成的角为45° g 翻 8.已知水平放置的△ABC的平面直观图△A'BC'是边长为1的正三角形，则△ABC面积为 A号 B.√6 c D.√3 9.如图，在三棱锥A一BCD中，E,F分别是AB,AD的中点，则下列结论正确的是 A.EF⊥平面BCD B.EF∥平面BCD C.EF∥平面ACD D.EFC平面BCD 10.已知在棱长均为2的正三棱柱ABC一AB,C中，点D为B,C1的中点，若在棱 B AB上存在一点P,使得B,P∥平面ACD,则B,P的长度为 羹 A.2 B.5 C.6 D.3 11.若平面a∥平面B,直线aCa,点M∈B,则过点M的所有直线中 A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线 12.在平行四边形ABCD中，AD=4,CD=3,∠D=60°且PA⊥平面ABCD,PA=6,则PC= A.6 B.7 C.8 D.9 9-1 13.在长方体ABCD-A,B,C,D1中，AB=BC=2,AC1与平面BB,C,C所成的角是30°，则长方体体积 A.8 B.6√2 C.8√2 D.85 14.如图，平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE= A.2 B.3 C.5 D./13 15.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得 到的，G是DF的中点，设P是CE上的一点，且AP⊥BE,则AG与BP所成角的大小为 ( c A.45 B.15 C.30° D.0° 16.如图，在四面体D-ABC中，若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点，则下列结论正 确的是 A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE 17.(2024·新课标I卷，5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3，则圆锥的 体积为 () A.25π B.33π C.6√3x D.93x 18.已知如图，六棱锥P一ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC,则下列结论 不正确的是 () A.CD∥平面PAF B.DF⊥平面PAF C.CF∥平面PAB D.CF⊥平面PAD 19.如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点， 则EF长是 A.1 B.√2 c号 D号 20.已知直线l⊥平面a,直线mC平面B,有下列四个命题：①若a∥B,则l⊥m;②若a⊥B,则l∥m:③若l ∥m,则a⊥B;④若1⊥m,则a⊥B,其中，正确命题的序号是 () A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 9-2 第Ⅱ卷（非选择题共60分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在题中的横线上） 21.若AB=2,线段AB所在直线和平面a成30°角，且A∈a,则点B到平面a的距离= 22.正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，则三棱锥高为 ,体积为 23.如图，在正方体ABCD一A1BCD1中，E,F分别是棱AB,BC的中点，O是底面ABCD的中心，则 EF与平面BB,O的位置关系是 .(填“平行”或“垂直”) D D 24.若底面边长为4的正四棱锥与棱长为2的正方体体积相等，则正四棱锥的高等于 25.(2024·全国甲卷，14)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为 2(r2一r1),3(r2一1)，则圆台甲与乙的体积之比为 三、解答题（本大题共5个小题，共40分，解答应写出推理、演算步骤） 26.(本小题7分)一倒置圆锥体的母线长为10cm,底面半径为6cm. (1)求圆锥体的高； (2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间. 27.(本小题8分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC, BC=2AD,P,Q是AB,CD的中点，M,N,分别是SB,CB的中点， 求证：平面AMN∥平面SCD. 9-3 28.(本小题8分)如图所示，在正方体ABCD一A,B,C,D1中，P是棱B,B上的点，求证： (1)AC∥平面APC1: (2)AC⊥DP. 29.(本小题8分)如图，四面体S一ABC中，SA⊥平面ABC,AB=AC,M为BC中 点，SA=8,SM与平面ABC所成角为60°. (1)证明：平面SAM⊥平面SBC; (2)点A到平面SBC的距离. 30.(本小题9分)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等 边三角形，AC⊥BC且AC=BC=√2，O,M分别为AB,VA中点， (1)求证：VB∥平面MOC (2)求证：平面MOC⊥平面VAB. (3)求三棱锥VABC的体积. 9-4 专题九立体儿何 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码粘贴区（居中） 缺考 注意事项 填涂样例 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真在规定位置贴 正确填涂 好条形码。 违纪 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米及以上黑色字 迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚。 错误填涂 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 ☑×D 4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损。 )0力 选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分.） 正确填涂 1AB@回 6ABg回 11AB@回 16AB@回 2囚B@回 7囚®CD 12 BCD 17囚B回回 请在各题 3囚EC回 8ABC回 13AB@回 18囚回回 的 4囚®C回 9囚®g回 14囚B@回 19A®gD 区 内作答 5A®g回 10A@C回 15A®C▣ 20AEC回 ,超出边框 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 非选择题 答案无效 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.） 21. 22 23. 24 25 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（九）第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 解答题（本大题共5小题，共40分.） 26.(7分) 27.(8分) 0 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 D 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（九）第2页（共4页） 考生 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为02 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 28.(8分) 请在各题目的答题区域内作答 29.(8分) ,超出边框的答案无效 M C 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（九）第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 30.(9分) 0 B 请在各题目的答题区域内作答 ,超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（九）第4页（共4页）数学 专题九立体几何 8.A[由题意，直观图△A'B'C'的面积，S△ABC= 1.C[由题意可知，一个三角形面积为S1,则S=4S1= 是X1X1 c-2SafC-9] 4×2×3×2=43.] 9.B[因为E,F分别是AB,AD的中点，所以EF∥ 2.C[如图，设正四面体 BD,又EF丈平面BCD,BDC平面BCD,所以EF∥ A一BCD的棱长为2，取BD的 M 平面BCD.] 中点N,连接MN,CN, :M是AB的中点，.MNB 10.B[如图，设点P为AB的中 ∥AD, 点，取A1B1的中点Q,连接 A ∴.∠CMN是直线CM与AD AQ,DQ, 所成的角（或其补角）， 则B1P∥AQ,又B1P寸平面 设MN的中点为E,则CE⊥MN, AQD,AQC平面AQD,∴ 在△CME中，ME-名，CM-厅， B1P∥平面AQD, 1 易知AC∥DQ,故平面AQD与平面ACD是同一个 ∴cos∠CME- CM3 6' 平面， 直线CM与AD所成角的余孩值为停] ∴.B1P∥平面ACD,此时B1P=√5.] 1l.D[显然M任a,过点M和直线 3.B[设球O的半径为r,则A, a/y a确定平面为y,设y∩B=b,又Y 4πr2=28π，则r=√7， B ∩a=a, 设三棱柱ABC一A1B1C1的棱 由于a∥B,所以a∥b, 长为a, B c- 连接△ABC,△A1B1C1的外心 假设平面B内过B还有一个直线 02,01,则0201的中点0即为 c与a平行，即c∥a,则c∥b,但b,c有公共点B,矛 球心， 盾，因此过M有且只有一条直线与a平行.] 且0，c-,0,=号 12.B[由余弦定理有，AC2=AD2 +CD2-2AD·CD·cosD= (停+（侵了-=，=2瓜 16+9-2×4×3×号-13. V-唱。2×a-g。=18] 所以AC=√13，因为PA⊥平 4.A[设球的半径为r,因为圆维的高为2√5，底面半径 面ABCD,AC在平面ABCD内，所以PA⊥AC, 为4，所以圆维的母线长为：√(2⑤)2十42=6，由题意 所以PC=√PA2+AC=√36+13=7.] 可知：元·4·6=4·π·2→r=√6.] 13.C[连接BC1,:AB⊥平面 0 5.C[一条直线垂直于两平行平面的一个平面，则一定 BB1C1C,.∠AC1B=30°， 会垂直于另一个平面，故是充分条件：反之，同时垂直 AB⊥BC1,.△ABC1为直 于一条直线的两个平面平行，故是必要条件， 故“a∥”是“1⊥”的充要条件.] 角三角形，又AB=2,.BC 6.C[若b∥c,由a∥b,得a∥c,与a与c相交矛盾.] =2W3,又B1C1=2, 7.C[A:由题设，易知QM∥BD,又PQ⊥QM,PQ∥ ∴.BB1=√(23)2-22=2√2..V=2X2X2√2= AC,即有AC⊥BD,正确； B:由PQ∥AC,PQC裁面PQMN,AC丈戴面 8√2.] PQMN,则AC∥截面PQMN,正确； 14.D[平行四边形中，ED=AF=2,AF∥ED,AF⊥平 C:仅当P,Q为中，点时AC=BD,故错误； 面ABCD,所以ED⊥平面ABCD,文CDC平面AB D:由A知：异面直线PM与BD所成的角为∠PMQ CD,所以ED⊥CD, 4,正确.] 所以CE=√DE2+CD2=√/22+32=√13.] 答案-18 参考答案 15.C[因为AP⊥BE,AB⊥BE,AP 又BO∩BB1=B, ∩AB=A,故BE⊥平面ABP,故 ∴.AC⊥平面BB1O. BE⊥BP, EF是△ABC的中位线， 取孤C的中点H,连接BH,GH, ∴.EF∥AC, 易得AG∥BH,且∠EBH=60°， .EF⊥平面BB1O. 故AG与BP所成角即∠PBH= 答案：垂直 90°-60°=30°.] 24.解析：由题意可知正方体的体积V=23=8,设正四棱 16.C[因为AB=CB,且E是AC的中点，所以BE⊥ AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平而BDE.因为AC 维的高为，则有8=号×2×2弘，6=6. 在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于 答案：6 ACC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.] 17.B[由题意，侧面积相等，则圆锥的母线长是圆柱高 鲤=2=E,Y== 25.解析：由题意知2=3气22V2方2 的2倍，即2√3，故其底面半径为3，所以圆锥的体积 为号×x×32×5=33x] √3(n1-r2)6 22(m1-r2)4 18.D 19.B[取BC中点D,连接ED与FD,:E,F分别是 答案 SC和AB中点，点D为BC中点，.ED∥SB,FD∥ 26.解析：(1)设圆锥体的高为h,底面半径为R,母线长 AC,而SB⊥AC,SB=AC=2,则△EDF为等腰直角 为1，则h=√2-R=√102-62=8(cm), 三角形，则ED=FD=1,即EF=√2.] (2)球放入圆锥体后的轴截面如图 20.C[对于①中，若α∥B,得到直线⊥平面β，所以1⊥ 所示，设球的半径为， m,所以是正确的： 由△0CD∽△AC01得，O1A OD 对于②中，若aLB,直线l在B内或者l∥B,则l与m 的位置关系不确定，所以不正确： OC 对于③中，若l∥m,则直线m⊥a,由面面垂直的性质 AC 定理，可得α⊥B,所以正确： 所以百-8。，解得3 对于④中，若⊥m,则a与B可能不垂直，所以不正确.] 圆锥体剩余的空间为圆锥体的体积减去球的体积， 21.解析：如图所示： 中Va-Vk-号×x×62×8-专x×83=96x 36π=60π(cm3). 27.解析：因为M、N分别是SB,CB的中点，所以MN∥SC, 因为MN丈平面SCD,SCC平面SCD, BO⊥a,因为线段AB所在直线和平面&成30°角， 所以MN∥平面SCD, 所以∠BAO=30°，所以，点B到平面的距离为BO= 又AD∥CN且AD=CN,所以ADCN为平行四边 AB·sin∠BAO=1,故答案为：1. 形，所以AN∥DC, 答案：1 因为AN￠平面SCD,DCC平面SCD,所以AN∥平 22.解析：h=√15-12=√3， 面SCD,又AN∩MN=N,AN,MNC平面AMN, V=号×7×62×i血60×8=9， 所以平面AMN∥平面SCD. 答案：W39 28.解：(1)证明：因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所 23.解析：，ABCD为正方形， 以AA1∥CC1且AA1=CC1,所以四边形AA1C1C .AC⊥BO. 为平行四边形，所以AC∥A]C,又因为AC寸平面 ,BB1⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, A1PC1,A1C1二平面A1PC1,所以AC∥平 ∴.AC⊥BB1, 面A1PC 答案-19 数学 (2)连接B1D1(图略)，因为ABCD-A1B1C1D1为正 3.C[由题意，有四件不同款式的上衣与三条不同颜色 方体，所以四边形A1B1CD1为正方形，所以对角线 的长裤， BD1⊥A1C1,又因为P是棱B1B上的点，所以B1P 从中四件不同款式的上衣中，任选一件有C}=4(种) ⊥平面A1B1C1D1,又因为A1C1二平面A1B1C1D1, 选法， 所以B1P⊥A1C1,又因为B1D1∩B1P=B1,所以 从中三件不同颜色的长裤中，任选一件有C=3(种) A1C⊥平面BD1P,:AC1∥AC,∴AC⊥平面 选法， B1D1P,又因为D1P二平面B1D1P,所以AC⊥D1P. 根据分步乘法计数原理，可得共有4×3=12（种）不同 29.解析：(1)，AB=AC,M为BC中点，.AM⊥BC,又 的选法，门 因为SA⊥平面ABC,∴.SA⊥BC..BC⊥平面 c项2-) 的展开式通项为C(2x)7-「 SAM,又BCC平面SBC,平面SAM⊥平面SBC (2)过点A作AE⊥SM于E,:平面SAM⊥平面 (方-C(-1Dr2x-,令21-子r=0,解得r SBC,.AE⊥平面SBC,即AE为点A到平面SBC =6.∴常数项为C9(-1)8×2=14.] 的距离，，SA⊥平面ABC,AM为SM在平面 ABC上的射影，∴.∠SMA为SM与平面ABC所成 5.B[(-2)°可以看作8个国式(-兰)的来积， 的角，即∠SMA=60°，∴∠ASM=30°，在Rt△SAE 根据多项式乘法法则，展开式中x6项需要从8个因 中，AE=SA·in30=8×号=4，点A到平面 式中取7个江和1个()湘乘得到， SBC的距离为4. 所以由排列组合的知识有展开式中x5的系数一16= 30.解析：(1)证明：，O,M分别为AB,VA中点，.OM C3×(-2a),解得a=1.] ∥VB,,VBt平面MOC,OMC平面MOC,.VB∥ 6.A[当a=1时，b=2,3,4,5,6,7,有6个. 平面MOC. 当a=2时，b=3,4,5,6,7,有5个. (2)AC=BC,O为AB中点，.OC⊥AB,:平面 当a=3时，b=4,5,6,7,有4个. VAB⊥平面ABC,OCC平面ABC.∴.OC⊥平面 当a=4时，b=5,6,7,有3个 VAB,,OCC平面MOC,.平面MOC⊥平面VAB. 当a=5时，b=6,7,有2个. (3)在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=√2，∴AB 由分类加法计数原理得6+5+4+3+2一20（个）. =2,OC=1,.S△AB=V3,OC⊥平面VAB, 7.A[,数列{an}共有六项，其中四项是2，其余两项各 不相同， Vewa=号0C·SaMa=号，iwAc=VeB ∴先排各不相同的两项，有A?种排法，其余4个位置 都是2，有1种排法， 3 ∴.由分步乘法计数原理得满足条件的数列{an}共有： 专题十排列、组合 二项式定理 A号×1=30个.] 3x+x+8=28 8.A[依题意，此题且有顺序的，用排列C·A 1.C[由C活=C8, 3x≤28 ，或 =A2.] x+8≤28 9.D[由题意，按区域分四步：第一步A区域有3种颜 [3x=x十8 色可选；第二步B区域有2种颜色可选； 3x≤28，解得x=4或x=5] 第三步C区域有1种颜色可选：第四步D区战只有1 x+8≤28 种颜色可选， 2.C[按照可能脱落的个数分类讨论， 由分步乘法计数原理可得，共有C·C·C·C= 若脱落1个，则有(1)，(4)两种情况， 6(种)不同的种植方案.] 若脱落2个，则有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)， 10.B[将4人分成3组，一组2人，一组1人，一组1 (3,4)共6种情况， 人，分法有C?种，再分配给3个不同场馆有A, 若脱落3个，则有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)， 所以不同的分配方案种数C隆·A=36种.] 共4种情况， 11.C[从8人中任选3人有C种可能，3人位置全调， 若脱落4个，则有(1,2,3,4)共1种情况， 由于不能是自己原来的位置，因此有A经种，故有 综上共有2+6+4+1=13（种）情况.] CA种.] 答案-20