专题5 数列-2025年职教高考数学总复习试卷

[第一部分>专题检测卷 () 专题五 数 列 (时间120分钟,满分120分) 第I卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共20个小题,每小题3分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求,请将符合题目要求的选项选出) ( _~_ B.a.=(-1)*.1 C.a.=(-1*1.1 2.若数列a.的前n项和S.-2n十n,则a= B.2 C.3 A.1 D.4 3.若S.为数列a.)的前n项和,且S.一2a.一2,则a.与a..的关系为 B.。-d,1 A.a.-2a一1 1 C.a.--2a一1 D.a. 2~: 4.数列a.中,a.二一n*十1ln,则此数列最大项的值是 ( A.121 B.30 C.31 D.32 & 5.在等差数列(a。中,a。十a.-a。-8,则a。= B.17 A.16 C.18 D.20 6.在等差数列a.中,已知a一2,a。十a。=10,则该数列的公差是 B.2 A.1 C.3 D.4 7.已知数列(a.)满足a-1,a.-a..-a.a(nN),则aso2t= C02 D0 A.2024 B.2025 一 8.设{a.)是等比数列,且a+a+a-l,a+a:十a-2,则a。十a+a= A.12 B.24 C.30 D.32 9.已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1012,偶数项之和为2024,则这个数列的公比为 _ A.8 B-2 C.4 D.2 10.已知数列a.)是等差数列,且a。十a。十a。一n,则tan(a十a。)一 _ ) A.③ D.一3 11.在各项为正的递增等比数列(a.)中,aa^{}-64,a:+a。十a-21,则a。= f A.3X21 B.2X3-1 C.2 D.21 12.③,a十1,3③成等比数列,则实数a一 ) A.2 B一4 C.-2或4 D.2或一4 13.等比数列a.中,al-1,a。=-8a。,aa。,则a。等于 B.-(-2): A.(一2)。~: C.(-2) D.一(一)) 5-1 %y $B1# # A.+6 ##1# $a-b 15.若等差数列a.满足2a。一a。一6,则它的前13项和为 B.78 C.55 A.110 D.45 16.(2024·全国甲卷(文),4)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是 _ B C . D 17.设a.是公比为a的等比数列,S.是它的前n项和,若S.是等差数列,则a等于 . A1 B0 C.1或0 D.一1 18.已知a.)是递增的等比数列,其前n项和为S.(nEN),满足a。-6.S一26,若S.十a.>2024,则 的最小值是 ) A.6 B7 C. D.10 19.已知数列a.为等比数列,a.=1.a=2,且第n项至第n(m<n)项的和为112,则m十n的值为 A.11 B.12 C.13 D.14 20.我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位(1533一1606年)所著,程少年 时,读书极为广博,对书法和数学颇感兴趣,20岁起便在长江中下游一带经商,因商 业计算的需要,他随时留心数学,遍访名师,搜集很多数学书籍,刻苦钻研,时有心 得,终于在他60岁时,完成了《算法统宗》这本著作,该书中有如下问题:“远望巍巍 塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”根据诗词的意思,可 得塔的最底层共有灯 C.3盏 A.192盏 B.128盏 D.1盏 第II卷(非选择题 共60分) 二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,请将答案填在题中的横线上) 21.设等差数列(a。)的前n项和为S。,已知a。十2a。十a。-32,则S。-__. 22.(2024·新课标llI卷,12)设S.为等差数列a.)的前n项和,若a十a.-7,3a。十a-5,则S。= 23.已知数列a.)满足a.-a.-2,a.--5,则la|+la。|十lal+.十a[= 24.数列(a.)中,a.-2,a。-aa.,若a.+a。十..^a.-2ot-2,则十s- 25.已知数列a.为等比数列,且a·a:三3a,设等差数列(b.)的前n项和为S.,若b.三a,则S 5-2 三、解答题(本大题共5个小题,共40分,解答应写出推理、演算步骤) 26.(本小题7分)已知等差数列a.)满足;a.一7,a。十a。一26,(a.)的前n项和为S。 (1)求a.及S。: 一1 27.(本小题8分)记S.是公差不为0的等差数列a.)的前n项和,若a。一S,aa一S.求数列(a.)的通 项公式a 28.(本小题8分)设a.)是公比大于1的等比数列,S.为数列a.的前n项和.已知S.一7,且a+3 3a。.a。十4构成等差数列. (1)求数列。)的诵项公式 (2)令b.-”,求数列(6.)的前n项和T.. . 5-3 29.(8分)已知数列a.是等差数列,S.是a.)的前n项和,a一8,a。=16. (1)判断2024是否是数列z中的项,并说明理由 (2)求S.的最小值 30.(本小题9分)如图所示,已知等边△ABC的边长为6,顺次连接△ABC各边的中 点,构成△A.B.C,再顺次连接△A.B.C 各边的中点,构成△A.B.C,依此进行下 去,直至构成△A.B.C.,这n个新构成的三角形的边长依次记作a,a。,..f,a. (1)求a,,a的值; (2)若△AB.C.的边长小于0.01,求n的最小值。 5-1 专题五 数列 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码粘贴区(居中 注意事项 缺考 填涂样例 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真在规定位置贴 正确填涂 好条形础。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米及以上黑色字 ■ 违纪 迹的答字笔书写,要求字体工整,笔迹清楚。 错误填涂 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效 · 4.保持卡面清洁,不装订,不要折叠,不要破损。 选择题(本大题共20小题,每小题3分,共60分.) 正确填涂 1ABCD 6ABCD 11ABCD 16ABCD 7ABCD 12ABCD 2ABCD 在的到在的到·的本 17ABCD 8ABCD 3ABCD 13ABCD 18ABCD 4ABCD 9ABCD 14ABCD 19ABCD 5ABCD 10ABCD 15ABCD 20ABCD (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 非选择题 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.) 21. 22. 23. 2&. 25. 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 第1页 数学答题卡(五) (共4页) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 解答题(本大题共5小题,共40分.) 26.(7分) 在密错如·到的的本 27.(8分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 第2页 数学答题卡(五) (共4页) 考生 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 姓名 座号 必填 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字,填写样例:若座号02,则填 写为02 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 28.(8分) 在如·如 29.(8分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 第3页 数学答题卡(五) (共4页) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 30.(9分) 在的到量的到·到的层 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 第4页 数学答题卡(五) (共4页)参考答案 (2)由g(x)一m十f(x). _(n)(c)-o0(1-) 10.D[在等差数列a。中,a十a5十as=π,则有3a #3 [1o0g,1og31. =-3.] 11.C [设等比数列(a.的公比为q(q1),则aìa^②}-a 专题五 数列 (q})?-(aq^{})③-64,所以aq{}-4,即a-4. 1.B [法一:对各选项的公式进行赋值运算求出前三 又a+a+a-21,得{+a+a3·{}-21,即4 项,即可判断出正确的为B; ” 4$+4^{②}-21整理得4q-17^{}+4-0,解得q^$}-4或$ #{}一(含去) 所以q-2或--2(含去)#,所以a --4-1,所 11 1,数列一1,1, 列1,,3...的一个通项公式为an一 #7-) 77 以a-1×2-1-2--1.] -...的一个通项公式为an-(-1)”,故数列-1.,一 12.D [(a+1)②-3x33,a+1-士3,a=2或a--4.] 13.A [设公比为q,则aq--8a9, 又子0,q:0,所以q3--8,q=-2, 2.C [a=S-2x1+1-3] 3.A[:S.-2a-2. 又a>a,所以a<0.a>0. 从而a>0,即a-1,故a-(-2)“-1.] '.当n-1时,a-2a-2,即a-2. 当n2时,a.=S.-S-1=2a.-2aa-1,即a 14.D yy2 -2a-1.] (y1·y2-ab a- 15.B [设等差数列{a。的首项为a,公差为d,则因为 $ a -a-6,所以2(a+7d)-(a+8d)-6,即a+ '当n一5或6时,a。取最大值30.] 13x(13-1)d=13(a)+ $$-6.所以S3-13a+ 5.C 等差数列a中,设首项为a,公差为d, 2 ((a:+d)+(a+3d)-8 $ $)-13 6-78.] 由a十a-as-8,得! . (a.+4d-8 16.B [甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能,丙 解得a-0,d-2. 不在排头,且甲或乙在排尾的共有8种可能,P- 24 所以a。-a+9d-18.] -. 6.B [设等差数列的公差为d,由aì-2,a+a3-10, 可解a+a+a-12,可解3a-12,.a-4,' 17.A [设等比数列a.)的首项为a(a关0),则S= a-a1-4-2-2.] a,S-aì+aìq,S-a:+aq+aq?, 7.C [因为a1,a-dn1-an+1,则有1-1, .S.是等差数列, anl 故数列(是以1为首项,公差d-一1的等差数列,故 '2(a+aq)-a+a+aq+aq?, 整理得q^{②}-q-0,解得q-1或q-0(舍去).] 1-1+(n-1)d-n. 18.B [设等比数列{a。的公比为?, d。 {a1-6 (a=2(“1=18 所以a.二 +aq+aq2-26(q-3 8.D[设公比为q, 所以a=2·3"-1.S.-2(1-3”)-3-1, 因为{a。)是等比数列,且a十a+a③-l,a十aa+a 1-3 -2. 由$+a-3-1+2·3-1-5·3"-1-12024, 所以a。+a+a=q(a:+a十a),所以q-2, 3-1>405. 所以a+a+a=q{(a:+a+a)-32] 3-243 405 729-3,所以n的最小值为7.] 答案-9 数学 (2):a=2n+1,a2-1=4n(n+1. 1-2 (() 即2-1.(2-*+1-1)-2 7, (2--1-2 故T.=b+b+.+b。 则{ ,解得/=5 ,所以n+n=12.] -寸(-) 2*-m+1-1-7 n-7 20.A [设这个塔顶层有工盏灯, -(1)-) 则问题等价于一个首项为x,公比为2的等比数列的 前7项和为381, ·数列(b。)的前n项和T。-4(n十1) 所以(27-1)-381,解得x=3. 2-1 27.解:由等差数列的性质可得:S-5a,则:a-5a3· ',a-0,设等差数列的公差为d,从而有:a2a-(a 所以这个塔的最底层有3×27-1-192(盏).] -d)(a+d)--d,S =a+a+a+a:-(a- 21.解析:因为a+2a +ao-2a+2a=4a5=32,所以 $d)+(a-d)+a+(a+d)=-2d,从而:-d -8. 9(a+as)_9a-72. 一2d,由于公差不为零,故;d一2,数列的通项公式 故S一 2 为:a-a+(n-3)d-2n-6. 答案:72 28.解析:(1)设等比数列a。的公比为g,且q1. ·S-7,且a十3,3a,a+4构成等差数列, 22.解析:设a.=a;+(n-1)d,则由条件得2a+5d-7. .((1十)7 4a+7d-5,解得a--4,d-3. 6aq-a+3+ag{+4 则S。-5(2a+9d)-95. 答案:95 解得(“:=1(1=4 ,或 1(舍去). 1-2' ##{# 23.解析:因为a-a-2,a=-5..,数列a是一个 '-ag”-1-2-1. 以一5为首项,以2为公差的等差数列,..a.一一5十 (n-D×2-2n-7.'a|+l|+..+la|=-5l +1-31+1-11+1+3+5+7-25. 答案:25 24.解析:令m-1,则a1-a1·a.-2a. 2-12” 所以数列{a。)是以2为首项,2为公比的等比数列, #1-)#- 所以a-2“, 2. 所以a+1+a+2+..+a+,=2k+1+2+2+.十 .T-4-n+2 2- 1-2 29.解:(1)由题意得,d-a1o-as-4, (1^+s+1-2024 10-8 所以/ ,所以十;-2023. 1+1-2019 故a=a+(n-8)d-8+4(n-8)=4n-24 令4n-24-2024. 答案:2023 解得n-512. 25.解析:因为数列(a。为等比数列且a·a一3a; 故2024是数列a。中的项,且是第512项 所以a·a5-a{}-3a ,解得a=3或a-0(舍).即$ (2)由题意得,当n>6时,a>0,而a-0. a=b=3,又因为(b)为等差数列,S。= 故当n-5或n-6时,S.取最小值一20+10×4- g(b十b。) 一60. -9bg-27. 2 30.解:(1)因为A,B,C 分别为△ABC各边的中点。 答案:27 所以△ABC.的边长为△ABC各边长的 ,以此 26.解析:(1)设等差数列么.的首项为a,公差为d 类推,所以这n个新构成的三角形的边长依次记作 由于a-7,a+a-26,.,a+2d-7,2a+10d= aǐ,a?,.,a.构成等比数列{a。),其首项a一3,公比 26,解得a-3,d-2. 3 3。 ...-2n十1.S.-n(n+2). 答案-10 参考答案 (2)因为等比数列({an),首aì=3.公比-,所以 9.A [由题可知AB=(cos③-cosa,sin③-sina), 'ABl-(cos a-cos 3)②+(sin ③-sin)②} 通项公式为a。-aìxq”-l-3x -2-2cos(3-a)-2-2co-1.] △A.B.C。的边长小于0.01,即a. 0.01,所以3x ##)## <0.01,解得n-1>8.23,n>9.23.又因为 __→ _-, nN,所以n的最小值为10. 专题六 平面向量 1.C [根据向量相等和平行的定义逐项分析可以求解, - 对于A,AB一一BA,故A错误;对于B,两个单位向量 虽然共线,但方向可能相反,故B错误;对于C,因为零 向量没有方向,所以与任何向量都是共线的,故C正 ar 确;对于D,两个平行向量所在的直线可能重合,故D 'a与b的方向相反, 错误。] .A正确.] (-)-1.(a-3b)· 2.B [在四边形ABCD中,因为AB-DC,所以]AB|= 12.B [:a·b-1x2x( DC ,且AB/DC(一组对边平行且相等).因此四边 $ +b)-2la-5a·b-3lbl-2x1-5(- 形ABCD是平行四边形。] -3×4--5.] 3.C[:D是BC中点..'AC+AB=2AD,即AC+a= 13.A [l2a-bl-(2a-b){}-4a^{-4a·b+b- 2b...AC--a+2b.] 4×42+4×4×8×1+82-83.] 4.D[:a=(AB+CD)+(BC+DA)-(AB+BC)+ 14.B [由向量a-(2,n),b-(2,4),a |b. (CD+DA)-AC+CA-0. *2×2+4×m-0,所以m=-1. ',a=(2,-1),a-b-(0,-5),即la-bl-5.] 又是任一非零向量,.a/b,a+b-b:a+b=a 十b.①③正确.] 15.A[:a/b,.'.m+4-0,即m=-4, *2a+3b-2(1,2)+3(-2,-4)-(-4,-8).] 5.C[.a与b的方向相反,.'a与b的夹角为180{, 16.B [':OA+OC=OB+OD. ',a·b-allbl·cos 180*-4×3x(-1)--12.] :0-o--0c. 6.B [因为向量a-(1,2),b-(1,0). .A-CD. 所以a+xb-(1,2)+(1,0)-(1+,2) 因为(a十xb)/c.c-(3,4). '.四边形ABCD是平行四边形.] 所以1#解得-了 17.D [因为b (b-4a),所以b·(b-4a)-0,则4十 -2-4x-0,解得r-2.] 7.D [由题意 3m-4n-6① 由①-②得n-n-3.] 18.D [因为F=(-2.-1),F-(-3.2),F。=(7.-3). (2m-3n-3②' 所以F+F+F =(-2,-1)+(-3,2)+(7,-3) 8.B [由题意作出图形: 一(2,一2),要想使该物体保持平衡, C 只需F--(2,-2)-(-2,2)] 19.C [c=(3十t,4),cos(a,e)=cos(b,c),即 5C 20.B [如图,设船在静水中的速度 在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,则AM一 为v-10)3kmh,河水的流速 #AB+B_M-a+# 为v-10km h. 水流的速度为v,则由十一 又.N为线段AB上靠近A的三等分点,则AN= ,得(10V③)?十10-, '.v=士20,取v-20kmh,即小船实际航行速度 #NM#_AN---, 的大小为20kmh.] 答案-11