专题02 实数（考题猜想，10种高频易错重难点80题）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（人教版2024）

专题02 实数 （考题猜想，10种高频易错重难点80题专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一：算数平方根（高频） 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）下列各数中，16的算术平方根为（　　） A． B．4 C． D．8 2．（24-25八年级上·广西来宾·期末）若实数、y、z满足，则的算术平方根是（   ） A．3 B． C． D．4 3．（23-24七年级下·四川泸州·期中）已知，那么的值为 ． 4．（23-24七年级下·云南保山·期中）已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 5．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知点在数轴上表示的数的位置如图所示，化简 ． 6．（22-23七年级下·广东广州·期中）求下列各数的算术平方根： (1)121，，，1，900，，； (2)，7，29，106，，． 7．（22-23七年级下·福建莆田·期中）若，c是64的算术平方根，求的值． 8．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）已知实数，，，，，若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，求的值． 9．（23-24七年级下·河北保定·期中）已知：a、b、c三个数，其中任意两个数的积的算术平方根用p表示． (1)若，，时，求p的最小值和最大值； (2)若，，若p的最大值是最小值的2倍，求b的值． 10．（23-24七年级下·湖北·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“绝佳组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“绝佳组合数”． (1)，，这三个数是“绝佳组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“绝佳组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 11．（22-23七年级下·河北唐山·期中）如图，是一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的x值为16时，求输出的y值； (2)是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． (3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 ． 题型二：算数平方根规律探究（易错） 12．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）（1）观察下表，发现规律并填空： （2）已知，根据第（1）题发现的规律，分别求和的近似值． 13．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）先观察下列各式：；；；； (1)计算：_________； (2)已知为正整数，通过观察并归纳，请写出_________； (3)应用上述结论，计算的值． 14．（22-23七年级下·广东珠海·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … … (1)分析发现：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 倍； (2)若一块长方形纸片的面积是400cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到，，． 15．（22-23七年级下·广东韶关·期中）观察下列各式，并解决以下问题． ，，，…… (1)由上可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向右移动______位的变化规律． (2)已知，，则______； (3)若，，则______． 16．（23-24七年级下·北京·期中）研究发现：由于，42没有大于1的平方约数，所以当a为正整数时，为有理数的条件是（其中t为正整数）． (1)若正整数a使得，则a的值为 ； (2)已知a、b、c是正整数，且，当时，称为“团结数组”． ①若为“团结数组”，且，则 ； ②若为“团结数组”，且，则 ， ； ③“团结数组”共有 个． 17．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 18．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 19．（22-23七年级下·河南濮阳·期中）观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算， (2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律 ， (3)计算： 20．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）问题情境： 数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ； ； ； …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：______； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 21．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）找规律并解决问题 (1)填写下表． 1 100 10000 ________ 1 10 ________ 想一想：上表中已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动之间的规律为：已知数的小数点每移动________位，它的算术平方根的小数点相应移动________位； (2)已知，，，用的代数式分别表示，． (3)如果，求的值． 22．（22-23七年级下·湖北鄂州·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律： ； ； ； ． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)________； (2)________；（用含n的代数式表示） (3)________； (4)简便计算：． 题型三：平方根（易错） 23．（23-24七年级下·贵州安顺·期中）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．2 B．0 C． D． 24．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ） A． B． C．5或 D．4或 25．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 26．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）已知与是同类项，则的平方根是 ． 27．（24-25七年级下·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 28．（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 29．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 题型四：立方根（易错） 30．（23-24七年级下·北京·期中）已知 ，且，则的平方根为 ． 31．（23-24七年级下·吉林·期中）求的值： 32．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）已知与互为相反数，与互为倒数，是27的立方根，求的值． 33．（23-24七年级下·广西梧州·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是3，c是最大的负整数． (1)求的值； (2)若是a的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 34．（23-24七年级下·广西柳州·期中）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______． (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，，若______，则；反之也成立． (3)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 35．（22-23七年级下·广西钦州·期中）数学探究活动． 自主探究：完成表格内容． … … … ______ ______ ______ ______ … 发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______； 应用迁移： 根据你发现的规律填空：已知，则______，______； 拓展延伸：，则______，______． 36．（22-23七年级下·山东临沂·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你是怎样确定是几位数的？ (2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定的个位上的数是几的？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你又是怎样确定的十位上的数是几的？ (4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根（直接写出结果）． 题型五：实数（高频） 37．（23-24七年级下·北京·期中）在实数3.1415，，，中，无理数是（　　） A．3.1415 B． C． D． 38．（24-25七年级下·全国·期中）下列各数，，π，，（相邻两个1之间依次增加一个0），其中是无理数的数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 39．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，数轴上，，B，C两点对应的实数分别是和，则点A所对应的实数是（    ） A． B． C． D． 40．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·浙江·期中）已知下列各数：，，，，0． (1)将上述各数表示在数轴上． (2)将上述各数按从小到大的顺序用“”连接． 43．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______； (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）． 题型六：实数的计算与求值（高频） 44．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）的相反数是（    ） A． B． C． D．7 45．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算：＝ ． 46．（23-24七年级下·广西河池·期中）计算：． 47．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期中）计算： (1) (2) 48．（23-24七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 49．（23-24七年级下·广东肇庆·期中） （1）计算： （2）解方程： 50．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）计算求值： (1)计算．； (2)已知，求的值． 51．（23-24七年级下·北京·期中）计算： 题型七：实数开方与小数点移动（易错） 52．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … 250 2500 … 25 250 根据以上规律，若则 53．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）观察被开方数a的小数点与立方根的小数点的移动规律，填空： a 0.001 1 1000 1000000 0.1 1 10 100 已知，则 ． 54．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 ． 55．（22-23七年级下·江西南昌·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： a … 0.04 4 400 4000 … … x 2 y 200 … (1)表格中的两个值分别为：x= ；y= ； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ； ② ； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 ． 56．（22-23七年级下·云南昆明·期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： ．．． ．．． ．．． 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 ．．． (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值；________；________； (3)已知，，，则________，________； (4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若，，________，________． 57．（22-23七年级下·湖北咸宁·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ (2)①已知，则______； ②已知，则______； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，用含的代数式表示． 题型八：实数的整数部分与小数部分（重点） 58．（23-24七年级下·广东潮州·期中）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)的整数部分是______ ，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根； (3)，其中是整数，且1，求的相反数． 59．（23-24七年级下·河南许昌·期中）观察例题； ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 60．（22-23七年级下·山东滨州·期中）观察：因为，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述式子的规律后解答下面问题： (1)规定用符号表示实数m的整数部分，例如，，按此规定______； (2)如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的平方根． 61．（22-23七年级下·广东汕头·期中）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)的整数部分是______ ，小数部分是______ ； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 62．（23-24七年级下·广东汕头·期中）观察：，即，的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题． (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：______；______； (2)如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 题型九：实数的估算与比较大小（高频） 63．（24-25七年级下·全国·期中）估计的值（   ） A．在和之间 B．在和0之间 C．在0和1之间 D．在1和2之间 64．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若实数满足，则，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 65．（23-24七年级下·福建福州·期中）若，则整数可以是 （写出满足条件的一个即可）． 66．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．则的值为 ． 67．（23-24七年级下·广东东莞·期中）比较大小： 4； 1（填“”或“”） 68．（23-24七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 69．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知七个实数，，4，，，0，．其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数______，点表示数______； (2)在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积），并将所有的数用“＜”连接； ______＜______＜ 0 ＜______＜______＜______＜______． 70．（23-24七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 71．（23-24七年级下·福建福州·期中）阅读下面内容，并解决问题：用求差法比较大小 学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数或数量的大小可以通过它们的差来判断．例如，如果两个数或数量为和，那么，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．反过来也正确，即当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有，因此，我们经常把要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”． 请解决以下问题： (1)用“”，“”或“”填空： ； (2)制作某产品有两种用料方案：方案一用3块型钢板，7块型钢板：方案二用2块型钢板，8块型钢板．型钢板的面积比型钢板的面积大．若型钢板的面积为，型钢板的面积为，从省料的角度考虑，应选哪种方案？说明理由． 题型十：实数的应用及综合训练（难点） 72．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x的值为64时，则输出y的值是 ． 73．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 74．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 75．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 76．（22-23七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 77．（22-23七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 78．（23-24七年级上·四川广元·期中）已知有理数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是的差倒数是，如果是的差倒数，是的差倒数是的差倒数．．．依此类推，解答下面的问题： (1)___________，___________，___________； (2)求的值． 79．（23-24七年级上·四川成都·期末）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元． (1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？ (3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元． 80．（23-24七年级下·北京·期中）对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：．请回答下列问题： (1)______，______； (2)当时，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）； ①；②；③；④若（为整数），则． (3)当时，解关于的方程． $$专题02 实数 （考题猜想，10种高频易错重难点80题专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一：算数平方根（高频） 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）下列各数中，16的算术平方根为（　　） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：16的算术平方根为4， 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西来宾·期末）若实数、y、z满足，则的算术平方根是（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查非负性的运用，算术平方根．根据非负数的性质列方程求出x、y、z的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】解：由题意得，， 解得， 所以，， 所以，的算术平方根是． 故选：D． 3．（23-24七年级下·四川泸州·期中）已知，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 4．（23-24七年级下·云南保山·期中）已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查的是算术平方根，代数式求值，熟练掌握相关定义是解题的关键．首先依据算术平方根的定义求得x、y的值，从而可求得代数式的值． 【详解】解：，是4的算术平方根， ， ， 故答案为：11． 5．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知点在数轴上表示的数的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简绝对值，求一个数的算术平方根，先根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再根据绝对值的意义和算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（22-23七年级下·广东广州·期中）求下列各数的算术平方根： (1)121，，，1，900，，； (2)，7，29，106，，． 【答案】(1)11；；；1；；； (2)；；；；；3 【分析】根据算术平方根的定义逐个解答即可． 【详解】（1）解：121的算术平方根为； 的算术平方根为； 的算术平方根为； 1的算术平方根为； 900的算术平方根为； 的算术平方根为； 的算术平方根为； （2）解：的算术平方根为； 7的算术平方根为； 29的算术平方根为； 的算术平方根为； 的算术平方根为； 的算术平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟记算术平方根的定义是解决本题的关键． 7．（22-23七年级下·福建莆田·期中）若，c是64的算术平方根，求的值． 【答案】64 【分析】根据负数没有算术平方根，即被开平方数是非负数，求出a，进而求出b，根据算术平方根的含义求出c，即可作答． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， ∵c是64的算术平方根， ∴， 则． 【点睛】本题考查了被开平方数是非负数、求解算术平方根，根据求出a是解答本题的关键． 8．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）已知实数，，，，，若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，求的值． 【答案】1 【分析】此题主要考查了实数运算，求代数式的值．直接利用互为相反数以及倒数和绝对值的性质得出代数式的值，进而得出答案． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2， ∴，，， ∴ ． 9．（23-24七年级下·河北保定·期中）已知：a、b、c三个数，其中任意两个数的积的算术平方根用p表示． (1)若，，时，求p的最小值和最大值； (2)若，，若p的最大值是最小值的2倍，求b的值． 【答案】(1)p的最小值为2，p的最大值为6． (2)9或 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，算术平方根的运算． （1）分别求出任意两个数的积，根据积的大小即可求出p的最小值和最大值． （2）根据题意，分别求出两个数的积，据积即可分别出p的最小值和最大值，再根据p的最大值是最小值的2倍，即可求出b的值． 【详解】（1）解∶∵，， ∴a、b、c三个数中任意两个数的积分别为4，9，36． p的最小值为：， p的最大值为：， （2）∵，， ∴a、b、c三个数中任意两个数的积分别为，，， 当p的最大值为：，p的最小值为：， ∵p的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：． 当p的最大值为：，p的最小值为： ∵p的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：． 10．（23-24七年级下·湖北·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“绝佳组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“绝佳组合数”． (1)，，这三个数是“绝佳组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“绝佳组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 【答案】(1)，，这三个数是“绝佳组合数”，见解析 (2)或 【分析】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解“绝佳组合数”的定义，利用分类讨论的思想进行求解． （1）根据“绝佳组合数”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“绝佳组合数”的定义进行判断即可． 【详解】（1），，这三个数是“绝佳组合数”，理由如下： ，，，且18，6，9都是整数， ，，这三个数是“绝佳组合数”； （2） 三个数，m，是“绝佳组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12， 这两个数的乘积为144， 当时，则， ， ，符合题意； 当时，则， ， ，此时符合题意； 综上所述，或． 11．（22-23七年级下·河北唐山·期中）如图，是一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的x值为16时，求输出的y值； (2)是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． (3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 ． 【答案】(1) (2)存在，或1或负数 (3)25或36或49或64 【分析】此题考查了算术平方根的计算和性质． （1）按照程序依次计算即可得到答案； （2）或1时，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数，负数没有算术平方根，据此即可进行解答； （3）根据平方根的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 则； （2）存在， 当或1，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数；负数没有算术平方根， ∴当或1或负数时，始终输不出值， 综上所述，或1或负数． （3）或或或． 则两位数或36或49或64， 故答案为：25或36或49或64 题型二：算数平方根规律探究（易错） 12．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）（1）观察下表，发现规律并填空： （2）已知，根据第（1）题发现的规律，分别求和的近似值． 【答案】（1）200，2000；（2）0.161，161 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的之间的变化规律，根据表格发现规律是解答本题的关键．由表中数据可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动一位． 【详解】解：（1）由表中数据可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动一位． ，， 故答案为：200，2000； （2）∵， ∴，． 故答案为：0.161，161． 13．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）先观察下列各式：；；；； (1)计算：_________； (2)已知为正整数，通过观察并归纳，请写出_________； (3)应用上述结论，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）利用所得规律求解可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）． 【点睛】本题考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． 14．（22-23七年级下·广东珠海·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … … (1)分析发现：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 倍； (2)若一块长方形纸片的面积是400cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到，，． 【答案】(1) (2)这块长方形纸片的长为，宽为 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致； （2）设这块长方形的纸片的宽为，则长为，根据题意列出方程，进而根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍； 故答案为：． （2）设这块长方形的纸片的宽为，则长为， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， 答：这块长方形纸片的长为，宽为． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 15．（22-23七年级下·广东韶关·期中）观察下列各式，并解决以下问题． ，，，…… (1)由上可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向右移动______位的变化规律． (2)已知，，则______； (3)若，，则______． 【答案】(1)两，一 (2) (3) 【分析】（1）观察题目即可得到答案； （2）（3）根据（1）的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位， 故答案为：两，一； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键． 16．（23-24七年级下·北京·期中）研究发现：由于，42没有大于1的平方约数，所以当a为正整数时，为有理数的条件是（其中t为正整数）． (1)若正整数a使得，则a的值为 ； (2)已知a、b、c是正整数，且，当时，称为“团结数组”． ①若为“团结数组”，且，则 ； ②若为“团结数组”，且，则 ， ； ③“团结数组”共有 个． 【答案】(1)168 (2)①378，②1512，168，③3 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将转化为几个分子为1的分数和为1的分数的式子求解是解题关键． （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）①由可得，即可解答；②，，（t，m为正整数，且），由已知条件可得，进行求解即可；③设，，（x，y，z为正整数而且），可得，根据分子为1的分数和为1的分数的特点进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：168． （2）①∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：378． ②∵ ∴， 由① ∴ 设，，（t，m为正整数，且） ∴，即，则， ∵，而时，，则， ∴， ∴， 故答案为：1512，168． ③设，，（x，y，z为正整数而且）， ∵ ∴ ∴， 又∵， ∴， ， 当时，，此时，， 当时，，∴， 当时，同②，，，， 当时，，，，， 综上所述，“三元数组”共有3个． 故答案为：3． 17．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 18．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的 【分析】本题考查算术平方根中的规律探究： （1）根据算术平方根的定义，填表即可； （2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可； （3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 19．（22-23七年级下·河南濮阳·期中）观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算， (2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律 ， (3)计算： 【答案】(1)6，27 (2)或 (3) 【分析】（1）利用二次根式的运算法则和算式规律进行计算即可； （2）根据原题的算式写出规律即可； （3）利用（2）中找到的规律化简每个算式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6，27； （2）由题意得到或； （3） ； 【点睛】此题考查了二次根式的运算，读懂题意，熟练应用二次根式的运算法则，找到规律是解题的关键． 20．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）问题情境： 数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ； ； ； …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：______； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 【详解】（1）解：； 故答案为； （2）解：由题意得： ； （3）解：∵； ； ； ……； ∴，…..； ∴， 即， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 21．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）找规律并解决问题 (1)填写下表． 1 100 10000 ________ 1 10 ________ 想一想：上表中已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动之间的规律为：已知数的小数点每移动________位，它的算术平方根的小数点相应移动________位； (2)已知，，，用的代数式分别表示，． (3)如果，求的值． 【答案】(1)，100，两，一； (2)，； (3) 【分析】（1）先补全表格信息，再根据被开方数的小数点以及对应的算术平方根的小数点移动规律进行分析，即可得到答案； （2）被开方数的小数点向左平移两位，对应的算术平方根的小数点向左移动一位，即缩小10倍；被开方数的小数点向右平移两位，对应的算术平方根的小数点向右移动一位，即扩大10倍； （3）算术平方根扩大100倍，被开方数应扩大10000倍，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：表格如下： 1 100 10000 1 10 100 由图表可知，规律为：的小数点向右（左）移动两位，的小数点向右（左）移动一位， 故答案为：，100，两，一； （2）解：，，， ， ； （3）解：， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，发现开方数的小数点以及对应的算术平方根的小数点移动规律是解题关键． 22．（22-23七年级下·湖北鄂州·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律： ； ； ； ． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)________； (2)________；（用含n的代数式表示） (3)________； (4)简便计算：． 【答案】(1)15，225 (2) (3)5050 (4)41075 【分析】（1）根据代数式所呈现的规律可得答案； （2）根据规律得出，再利用求和公式求出结果即可； （3）根据（2）中得出的结论计算即可得到答案； （4）将原式化为（1）中的形式，利用简便方法求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：15，225； （2）解：由（1）可得： ， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：5050； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查与算术平方根有关的规律探索，列代数式，熟练理解算术平方根的意义，找出题目中所呈现的规律是解题的关键． 题型三：平方根（易错） 23．（23-24七年级下·贵州安顺·期中）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根概念的理解，根据“任何数的平方都不能为负数，所以负数没有平方根”即可得到答案． 【详解】解：∵负数没有平方根，， ∴没有平方根， 故选：C． 24．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ） A． B． C．5或 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和倒数的性质，以及求一个数的平方根，互为相反数的两数和为零，互为倒数的两数积为，9的平方根是，据此即可求解. 【详解】解：由题意得； 当时，； 当时，； 故选：C 25．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根，平方根，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用算术平方根和平方根的定义得出答案． 【详解】解：的算术平方根是， 的平方根是， 故答案为：；． 26．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）已知与是同类项，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项、平方根的概念，根据同类项的概念即可求出m与n的值，从而可求出答案． 【详解】解：由题意可知：，， ∴，， ∴， ∵36的平方根为， ∴的平方根是． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)原方程无解 【分析】本题考查了利用平方根解方程，能熟练利用平方根的定义解方程是解题的关键． （1）将方程化为，由平方根的定义，即可求解； （2）将方程化为，由平方根的性质，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， 负数没有平方根， 原方程无解． 28．（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 29．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 题型四：立方根（易错） 30．（23-24七年级下·北京·期中）已知 ，且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，平方根，先由，分别得，，结合，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵16的平方根是 故答案为：． 31．（23-24七年级下·吉林·期中）求的值： 【答案】 【分析】本题主要考查了求立方根的方法解方程，先把方程两边同时除以8，再把方程两边同时开立方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 32．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）已知与互为相反数，与互为倒数，是27的立方根，求的值． 【答案】8 【分析】本题考查代数式求值，相反数，倒数，立方根，结合已知条件求得，，是解题的关键． 根据相反数的性质，倒数的定义可分别求得，，再由是27的立方根求得，将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：与互为相反数，与互为倒数，是27的立方根， ，，， ． 33．（23-24七年级下·广西梧州·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是3，c是最大的负整数． (1)求的值； (2)若是a的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】(1)26 (2) 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根以及立方根的概念熟练掌握平方根的性质算术平方根的性质以及立方根的概念是解题的关键； （1）由正数的两个平方根分别是和，可求得的值，由的立方根是3，可以求得的值，由c是最大的负整数，可求得的值，即可求得的值； （2）根据算术平方根的概念即可求得的值，从而求得的值，根据立方根的概念可求得的值，从而求得的值，即可求得结果． 【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 又∵的立方根是3， ∴， ∴， 又∵c是最大的负整数， ∴， ； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴，， ∴， ∴4的平方根是． 34．（23-24七年级下·广西柳州·期中）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______． (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，，若______，则；反之也成立． (3)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：观察规律可写出类似的等式，如， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （3）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． 35．（22-23七年级下·广西钦州·期中）数学探究活动． 自主探究：完成表格内容． … … … ______ ______ ______ ______ … 发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______； 应用迁移： 根据你发现的规律填空：已知，则______，______； 拓展延伸：，则______，______． 【答案】自主探究：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位； 应用迁移：，； 拓展延伸：， 【分析】（）自主探究：根据表格规律即可求解； （）应用迁移：根据表格规律即可求解； （）拓展延伸：被开方数的小数点（向左或者右）每移动三位，其立方根的小数点相应的向相同方向移动一位即可； 本题考查了算术平方根，立方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，再根据规律确定结果是解题的关键． 【详解】解：自主探究：根据表格规律可知，，，，， 由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， 故答案为：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位； 应用迁移：，， 故答案为：，； 拓展延伸：，， 故答案为：，． 36．（22-23七年级下·山东临沂·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你是怎样确定是几位数的？ (2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定的个位上的数是几的？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你又是怎样确定的十位上的数是几的？ (4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根（直接写出结果）． 【答案】(1)59319的立方根为两位数 (2)个位数字为9，见解析 (3)十位上的数字为3，见解析 (4)19，27，48 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，理解一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数是解题的关键． （1），，且，得出，即可得出结论； （2）根据1到9的立方个位数字出现的规律，即可得出结论 （3）根据，，且，即可得出结论； （4）先用（1）的方法确定是两位数，再用（2）的方法确定个位数字为9，再用（3）的方法确定6859十位数字为1，则；同理可得：；1． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴59319的立方根为两位数； （2）解：∵，，，，，，，，，根据个位数字出现的规律， 由59319的个位上的数是9，因此的个位数字为9； （3）解：划去59319后面的三位319得到数59， ∵，， ∴， ∴的十位上的数字为3； （4）解：∵，，且， ∴是两位数， ∵6859个位数字为9， ∴个位数字为9， ∵，，且， ∴6859十位数字为1， ∴； 同理可得：；1． 题型五：实数（高频） 37．（23-24七年级下·北京·期中）在实数3.1415，，，中，无理数是（　　） A．3.1415 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数进行判断即可． 【详解】解：A、3.1415是有理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 38．（24-25七年级下·全国·期中）下列各数，，π，，（相邻两个1之间依次增加一个0），其中是无理数的数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查无理数的判断，根据无限不循环小数是无理数逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， π，（相邻两个1之间依次增加一个0）是无理数， 故选：A． 39．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，数轴上，，B，C两点对应的实数分别是和，则点A所对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、一元一次方程的应用，设点所对应的实数是，根据和数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设点所对应的实数是， 由题意得：， 解得， 故选：B． 40．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法，确定取值范围，对照数轴覆盖数的范围判定即可． 【详解】解：根据数轴信息，得到被墨迹覆盖的数x满足， A、，则不符合题意； B、，即，则符合题意； C、，即，则不符合题意； D、，即，则不符合题意； 故选：B． 41．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由数轴得到点A分别到点B的距离是解题关键． 由数轴得到，因此，于是，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵面积为S的正方形的顶点A在数轴上， ∴， ∴， 故选：C． 42．（24-25七年级上·浙江·期中）已知下列各数：，，，，0． (1)将上述各数表示在数轴上． (2)将上述各数按从小到大的顺序用“”连接． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，准确熟练在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． （1）在数轴上找到各数对应的点，即可解答； （2）根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大，即可解答． 【详解】（1）解：，， 如图， （2）解：． 43．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______； (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)， (3)1，作图见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数与数轴是一一对应的，正确理解算术平方根的定义、实数与数轴的关系及正确进行实数运算是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义解答； （2）先表示出线段的长度，再通过计算得出点所表示的数； （3）根据题意可得图中阴影部分正方形的边长，先确定长为的线段表示方法，再在数轴上找表示的点． 【详解】（1）解：∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即， 故答案为：； （2）解：如图，设数轴原点为，数1表示的点为， ∵图中小正方形对角线长为， ∴， ∴，， ∴，两点表示的数分别为和， 故答案为：，； （3）解：根据图3作法，则图中阴影部分正方形的边长为； 图3拼成的大正方形面积为5， 则大正方形边长为， 即图3裁出的长方形的对角线长为， 则可利用如下图所示作图： 其中，，， ∴， ∴点表示的数为． 题型六：实数的计算与求值（高频） 44．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）的相反数是（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此判断即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 45．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算：＝ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 46．（23-24七年级下·广西河池·期中）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查实数的混合运算，先开方，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 47．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)10 (2)6 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据算术平方根和立方根的意义化简，再算加减； （2）根据乘法分配律和算术平方根的意义计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 48．（23-24七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，解决本题的关键是熟练掌握算术平方根及立方根的性质． （1）先根据算术平方根及立方根的性质进行计算，再进行相减即可； （2）先根据算术平方根及立方根的性质进行计算，再进行相减即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 49．（23-24七年级下·广东肇庆·期中） （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）或 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，化简绝对值，利用平方根的性质解方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减； （2）利用平方根的性质求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解得或． 50．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）计算求值： (1)计算．； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，立方根的计算， （1）先根据算术平方根，立方根，绝对值的性质化简，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据求一个数的立方根的计算方法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 移项得，， ∴， ∴， ∴． 51．（23-24七年级下·北京·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 题型七：实数开方与小数点移动（易错） 52．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … 250 2500 … 25 250 根据以上规律，若则 【答案】41.4 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意．理解图表是解题的关键． 根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，则． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ． 故答案为：． 53．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）观察被开方数a的小数点与立方根的小数点的移动规律，填空： a 0.001 1 1000 1000000 0.1 1 10 100 已知，则 ． 【答案】 【分析】根据题中所给规律可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： ∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键． 54．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3为对应的立方根的小数点向左或向右移动1为求解即可． 【详解】若， 则， 故答案为：． 55．（22-23七年级下·江西南昌·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： a … 0.04 4 400 4000 … … x 2 y 200 … (1)表格中的两个值分别为：x= ；y= ； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ； ② ； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 ． 【答案】(1)0.2，20 (2)①0.1435；②14.35 (3)12.60 【分析】（1）依据算术平方根的意义解答即可； （2）依据从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （3）根据（2）中的规律进行类比解答即可； 【详解】（1）由题意，， ，故； ， ，故． 综上，，； （2）由题意得，被开方数扩大或缩小倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则算术平方根的小数点就向左或向右移动位．即有： ， ，； （3）类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小倍，立方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动位．即有： ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于从小数点的移动位数找出规律来解题． 56．（22-23七年级下·云南昆明·期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： ．．． ．．． ．．． 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 ．．． (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值；________；________； (3)已知，，，则________，________； (4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若，，________，________． 【答案】(1)10 (2)； (3)； (4) 【分析】（1）根据表中的数据找出变化规律； （2）利用（1）中的规律进行求解； （3）利用（1）中的规律进行求解； （4）类比（1）的规律，求解即可． 【详解】（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍， 故答案为：10； （2），， 故答案为：； （3），，， ，， 故答案为：； （4）由（1）的规律可知：被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍， 若，， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用算术平方根的定义进行规律判断，通过已知的数据找出小数点移动的规律是解题的关键． 57．（22-23七年级下·湖北咸宁·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ (2)①已知，则______； ②已知，则______； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，用含的代数式表示． 【答案】(1)数的小数点每移动两位它的算术平方根的小数点相应移动一位； (2)①0.447；②36800； (3)． 【分析】（1）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； （2）根据规律即可得出答案； （3）先探讨被开方数与其立方根小数点移动规律，再根据规律解决此题． 【详解】（1）∵， ∴规律是：数a的小数点每每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； （2）①∵， ∴； ②∵，， ∴． 故答案为：①0.447；②36800； （3）∵， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ∵， ∴． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根，规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． 题型八：实数的整数部分与小数部分（重点） 58．（23-24七年级下·广东潮州·期中）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)的整数部分是______ ，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根； (3)，其中是整数，且1，求的相反数． 【答案】(1)4； (2) (3)12 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根和相反数： （1）根据解答即可； （2）根据得出，根据得出，再把的值代入计算即可； （3）根据得出，得出，求得，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵ ∴， ∴的小数部分， ∵ ∴， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴， ∴的整数部分为， ∵， ∴， ∴的相反数为． 59．（23-24七年级下·河南许昌·期中）观察例题； ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，仿照题意先求出，据此得到a，b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴ 60．（22-23七年级下·山东滨州·期中）观察：因为，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述式子的规律后解答下面问题： (1)规定用符号表示实数m的整数部分，例如，，按此规定______； (2)如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的平方根． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先求出的小数部分为，的小数部分为，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 （2）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分为9， ∴的小数部分为， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】此题考查了无理数的估算、算术平方根和平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 61．（22-23七年级下·广东汕头·期中）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)的整数部分是______ ，小数部分是______ ； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，； (2)的平方根是； (3)的相反数为 【分析】（1）根据解答即可； （2）根据得出，根据得出，再把的值代入计算即可； （3）根据得出，得出，求得，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴的小数部分， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴， ∴的整数为， ∵， ∴， ∴的相反数为． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各无理数的小数部分是解题的关键． 62．（23-24七年级下·广东汕头·期中）观察：，即，的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题． (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：______；______； (2)如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)5；2 (2)1 【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键． （1）根据题目先判断及整数部分，再根据加减法即可得结果； （2）根据无理数的整数部分把小数部分分别表示出来，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5；2； （2）解： ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 题型九：实数的估算与比较大小（高频） 63．（24-25七年级下·全国·期中）估计的值（   ） A．在和之间 B．在和0之间 C．在0和1之间 D．在1和2之间 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．首先先估算出的取值范围，即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 64．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若实数满足，则，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据题意得出，，再结合，即可得出，从而得解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故选：A． 65．（23-24七年级下·福建福州·期中）若，则整数可以是 （写出满足条件的一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，根据二次根式的概念把原式变形为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 66．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 67．（23-24七年级下·广东东莞·期中）比较大小： 4； 1（填“”或“”） 【答案】 < < 【分析】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用平方法比较大小是解题关键． 根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：，． 68．（23-24七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【答案】 【分析】本题考查了作差比较大小，掌握作差的方法是解题的关键．直接作差，再通分计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 69．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知七个实数，，4，，，0，．其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数______，点表示数______； (2)在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积），并将所有的数用“＜”连接； ______＜______＜ 0 ＜______＜______＜______＜______． 【答案】(1)0，，，4 (2)见解析， 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，正确利用数轴比较大小是解答本题的关键. （1）根据在数轴上的位置即可判断出答案； （2）根据数轴是数从左到右是从小到大的顺序即可得出答案； 【详解】（1）根据在数轴上的位置,可知，点表示数，点表示数，点表示数, 点表示数 故答案为:0，，，4； （2）在数轴上准确地表示数 如图所示： 由数轴可知， 故答案为：. 70．（23-24七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解： 以此类推可得， ， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 71．（23-24七年级下·福建福州·期中）阅读下面内容，并解决问题：用求差法比较大小 学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数或数量的大小可以通过它们的差来判断．例如，如果两个数或数量为和，那么，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．反过来也正确，即当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有，因此，我们经常把要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”． 请解决以下问题： (1)用“”，“”或“”填空： ； (2)制作某产品有两种用料方案：方案一用3块型钢板，7块型钢板：方案二用2块型钢板，8块型钢板．型钢板的面积比型钢板的面积大．若型钢板的面积为，型钢板的面积为，从省料的角度考虑，应选哪种方案？说明理由． 【答案】(1) (2)方案二，理由见详解 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和整式的加减运算，理解题意，正确运用“求差法比较大小”的方法是解题关键． （1）利用“求差法比较大小”的方法解答即可； （2）先用、的代数式表示出方案一与方案二的面积，再利用“求差法比较大小”的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）根据题意，型钢板的面积为，型钢板的面积为，型钢板的面积比型钢板的面积大，即， ∴， ∵方案一用料为：，方案二用料为：， 又∵， ∴， ∴从省料的角度考虑，应选方案二． 题型十：实数的应用及综合训练（难点） 72．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x的值为64时，则输出y的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，有理数、无理数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 依据运算程序进行计算即可． 【详解】解：根据步骤，输入64，先有，是有理数，是有理数，返回到第一步，取2的立方根是，是无理数，最后输出 故答案为：． 73．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 74．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 75．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1) (2)30 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式． （1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可； （2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可； （3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， 又∵x为的整数部分， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ， 又∵比小， ∴， ∴， ∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一） 76．（22-23七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 77．（22-23七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 【答案】（1）；（2）120 【分析】此题主要考查了实数运算以及算术平方根，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义得出答案； （2）直接利用得出答案． 【详解】解：， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以； （1）根据题意，当时， 则； （2）． 78．（23-24七年级上·四川广元·期中）已知有理数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是的差倒数是，如果是的差倒数，是的差倒数是的差倒数．．．依此类推，解答下面的问题： (1)___________，___________，___________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了差倒数的定义及数列循环规律的应用，解题的关键是找出数列的循环周期并利用周期计算总和． （1）根据差倒数定义依次计算； （2）确定数列循环周期，计算单个周期和，结合总项数求总和． 【详解】（1）由题知， 故答案为：； （2）根据（1）的计算结果可知， 所以从开始相邻三个数的和为定值． 又， 79．（23-24七年级上·四川成都·期末）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元． (1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？ (3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元． 【答案】(1)1640元 (2)甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人 (3)元 【分析】本题考查实数计算，一元一次方程实际应用， （1）根据题意列出合起来购买服装的算式，再减去分开购买即为本题答案； （2）根据题意设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人，可知甲校参演人数大于人小于人，乙校区参演人数小于人，再列出一元一次方程即可； （3）根据题意先求出服装厂一件成本，再求出丙校区购买套数，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意：（元）， ∵两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元， ∴（元）， 答：甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省1640元； （2）解：设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人， ∵甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人， ∴，解得：， 乙校区参演人数为：（人）， 答：甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人； （3）解：∵甲校区参演人数为60人， 又∵甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%， ∴设服装厂每套服装成本元， ，即：， ∵丙学校购买的服装比甲校区少12套， ∴丙校区购买了：（套）， ∴（元）， 答：服装厂卖给丙学校服装时共获利1440元． 80．（23-24七年级下·北京·期中）对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：．请回答下列问题： (1)______，______； (2)当时，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）； ①；②；③；④若（为整数），则． (3)当时，解关于的方程． 【答案】(1)2，； (2)①②④； (3) 【分析】本题考查了无理数的估算 （1）根据无理数的估算可得，再根据题干规定即可求解； （2）根据题干规定逐一判断即可； （3）根据，方程可变形为，再将代入，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ，， 故答案为：2，； （2）解：表示的小数部分， ， ①命题是真命题； 根据定义可得，， ②命题是正命题； 表示的小数部分， ， ③命题是假命题； ， ， ， ，即， ④命题是真命题， 故答案为：①②④； （3）解：，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的运算，不等式的性质，一元一次方程的应用，真假命题的判断，正确理解题干规定是解题关键． $$