专题02 勾股定理（13种经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题02 勾股定理 题型概览 题型01用勾股定理解三角形 题型02已知两点坐标求两点距离 题型03勾股树（数）问题 题型04以直角三角形三边为边长的图形面积 题型05勾股定理与网格问题 题型06勾股定理与折叠问题 题型07勾股定理的证明方法 题型08用勾股定理构造图形解决问题 题型09勾股定理与无理数 题型10勾股定理的应用 题型11判断三边能否构成直角三角形 题型12利用勾股定理的逆定理求解 题型13勾股定理逆定理的实际应用 ( 题型01 ) 用勾股定理解三角形 1．（22-23八年级下·吉林四平·期中）如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与点、重合），点沿以的速度从点开始向点运动，当是直角三角形时，运动的时间为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·吉林四平·期中）一个门框的尺寸如图所示、要使一张圆形桌面（厚度忽略不计）能从门框内通过，则圆形桌面的直径最大为（    ）    A． B． C． D． 3.（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知， ， 为直角的三边，若， ， 则的长度为 ． 4.（24-25八年级上·吉林长春·期中）阅读材料：若，求，的值． 解：， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_____，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长为，，，且，满足，请直接写出的周长． ( 题型 02 ) 已知两点坐标求两点距离 1.（23-24八年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B．3 C． D． 2.（22-23八年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 3．（20-21八年级下·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的距离为 ． ( 题型0 3 ) 勾股树（数）问题 1.（23-24八年级下·吉林松原·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5 2．（22-23八年级上·吉林长春·期末）在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（    ） A．15，8，19 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，4 3.（22-23八年级上·吉林长春·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 4．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为 ． ( 题型0 4 ) 以直角三角形三边为边长的图形面积 1.（22-23八年级下·吉林白山·期中）如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的． 每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ）    A．6 B．1 C．8 D．7 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，以的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形．若斜边，则图中阴影部分面积的和是（    ）    A．50 B．30 C．25 D．无法确定 3.（23-24八年级下·吉林·期中）如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形．若其中3个正方形的面积如图所示，则以为边的正方形的面积为 ． 4．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，以直角三角形的三条边为边长向外作3个正方形，其中两个正方形的面积分别为12和17，则正方形A的面积为 ．    5．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、已知，， ． ( 题型0 5 ) 勾股定理与网格问题 1.（20-21八年级下·吉林·期末）如图，由边长为1m的正方形地砖铺设的地面．一只蚂蚁沿图中A→B→C的线路爬行，则蚂蚁沿该路线从点A爬行到点C的路程长为 m（结果保留根号）． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，是格点三角形（顶点在网格线的交点上），则在图中能够作出与全等且有一条公共边的格点三角形（不含）的有 个． 3.（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫格点，分别按下列要求画图．（要求用无刻度直尺画图，不需要写画法） (1)在图1中，画一个顶点都在格点上的正方形，使它的面积是10； (2)在图2中，画一个顶点都在格点上的，使它的三边长分别，并计算边上的高为_______（直接写出计算结果） 4．（24-25八年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中画，使． (2)在图②中画，使，其中点E在边上． (3)在图③中画，使，其中点M在边上（与（2）中的位置不同）． ( 题型0 6 ) 勾股定理与折叠问题 1.（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图一直角三角形纸片，两直角边，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（    ）cm A． B． C． D． 2.（22-23八年级下·吉林·期中）如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点点重合，折痕为，则的长为 ．    3．（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，Rt△ABC中，AB，BC＝3，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ． 4.（22-23八年级上·吉林辽源·期末）如图所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知．求的长． 5．（22-23八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线折叠，使点落在边上的点处，连接，过点作，垂足为．    (1)求证：； (2)若，则线段的长为_______． ( 题型0 7 ) 勾股定理的证明方法 1.（23-24八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 2.（22-23八年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】下图是华师版八年级上册124页的部分内容． 【证明定理】如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)请用文字语言叙述勾股定理的内容：______； (2)请从下列3种常见的证明图形中任选一种来证明该定理．（下图中的图形均满足证明勾股定理所需的条件） 4．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，．延长到点，使；过点作的垂线并在垂线上截取，连结和．求证： (1)． (2)利用此图的面积表示式证明． ( 题型0 8 ) 用勾股定理构造图形解决问题 1.（22-23八年级上·吉林长春·期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 2.（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ． 3.（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，人只要移至距该门铃及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，一名身高的学生走到处（），门铃恰好自动响起，即，则该学生此时与超市门口的水平距离长为多少米？ 4．（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题： （1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）． （2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． ( 题型0 9 ) 勾股定理与无理数 1.（23-24八年级下·吉林延边·期末）如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2 2.（22-23八年级下·吉林松原·期中）如图，点到数轴的距离为，，则数轴上点所表示的数为 ．    ( 题型 10 ) 勾股定理的应用 1.（24-25八年级上·吉林四平·期末）《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去木四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（   ） A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺 2．（21-22八年级下·吉林·期中）如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（    ） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 3.（23-24八年级上·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 4.（21-22八年级下·吉林四平·期末）如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是 ． 5.（24-25八年级上·吉林长春·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 6．（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的处有人求救，救生员没有直接从处游向处，而是沿岸边自A处跑到离处最近的点，然后从点游向处，经测量，，若救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是，请分析救生员的选择合理吗？    7．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子的长为米，梯子的底部离墙的距离为米．若梯子的顶部向下滑米到D处，此时梯子的底部向外滑到E处，求梯子的底部向外滑出多少米？ ( 题型 1 1 ) 判断三边能否构成直角三角形 1.（24-25八年级上·吉林长春·期末）下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．1，，2 2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）以下列长度的各组线段为边长，能组成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，有一张四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． ( 题型 12 ) 利用勾股定理的逆定理求解 1.（22-23八年级上·吉林长春·期末）在中，已知，则的面积为（    ） A． B． C．6 D． 2．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（    ） A．3.5 B．2.5 C．2 D．3 3.（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，，，，，求的度数． ( 题型 13 ) 勾股定理逆定理的实际应用 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）图①是某品牌婴儿车，图②是其部分结构示意图．根据安全标准需满足，已知，，，请通过计算说明该车是否符合安全标准． 2.（24-25八年级上·吉林长春·期中）为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米． 3.（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放甲、乙两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积． 4．（23-24八年级下·吉林松原·期中）笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由． 一、单选题 1．（23-24八年级下·吉林·期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，1， B．40，50，60 C．，2， D．13，14，15 2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（   ） A．8 B．4 C．2 D．34 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C．10 D． 4．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，△中，，，边上的高长为，点在数轴上，且对应的数为．以点为圆心，长为半径作圆弧，交数轴于点，则点表示的数是(    ) A．1或 B． C．或 D．或 二、填空题 5．（23-24八年级下·吉林·期中）已知两条线段的长为9和，当第三条线段的长为 ．时，这三条线段首尾相接能组成一个直角三角形． 6．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，则的长为 ．    7．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 三、解答题 8．（23-24八年级下·吉林松原·期中）一个门框尺寸如图所示，一块长2.5米，宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 9．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 10．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在四边形中，，为对角线，，，，．    (1)求的长； (2)求的面积． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 题型概览 题型01用勾股定理解三角形 题型02已知两点坐标求两点距离 题型03勾股树（数）问题 题型04以直角三角形三边为边长的图形面积 题型05勾股定理与网格问题 题型06勾股定理与折叠问题 题型07勾股定理的证明方法 题型08用勾股定理构造图形解决问题 题型09勾股定理与无理数 题型10勾股定理的应用 题型11判断三边能否构成直角三角形 题型12利用勾股定理的逆定理求解 题型13勾股定理逆定理的实际应用 ( 题型01 ) 用勾股定理解三角形 1．（22-23八年级下·吉林四平·期中）如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与点、重合），点沿以的速度从点开始向点运动，当是直角三角形时，运动的时间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，当时，是直角三角形，勾股定理求得，进而等面积法求出的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 当时，是直角三角形， 此时，    在中，， ∵点沿以的速度从点开始向点运动， ∴运动的时间为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（22-23八年级下·吉林四平·期中）一个门框的尺寸如图所示、要使一张圆形桌面（厚度忽略不计）能从门框内通过，则圆形桌面的直径最大为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据勾股定理求出门的对角线长即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，，， ∴， ∴圆形桌面的直径最大为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，求出． 3.（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知， ， 为直角的三边，若， ， 则的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，分为直角边和为斜边时两种情况，利用勾股定理求解即可，解题的关键掌握知识点的应用． 【详解】解：当为直角边时， 则； 当为斜边时， 则； 故答案为：或． 4.（24-25八年级上·吉林长春·期中）阅读材料：若，求，的值． 解：， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_____，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长为，，，且，满足，请直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了因式分解的应用，偶次方的非负性，勾股定理的应用． （1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果； （2）由得，然后由非负数性质求得结果； （3）把原方程化为，然后由非负数性质求得、，进而根据勾股定理求得，便可求得三角形的周长． 【详解】（1）解：由，得， ∵≥0，， ∴，， ∴，． 故答案为：3；0． （2）解：由得：， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵的三边长为，，， ∴或 ∴的周长为或． ( 题型 02 ) 已知两点坐标求两点距离 1.（23-24八年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面上两点间的距离，掌握距离公式是解题的关键． 【详解】解：点到原点的距离是， 故选C． 2.（22-23八年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【答案】13 【分析】直角坐标系中，某点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的确距离是它的横坐标的绝对值，到原点的距离为． 【详解】∵平面直角坐标系中M的坐标为， ∴， 即到原点的距离为13． 故答案为13． 【点睛】此题考查两点间的距离公式，解题关键在于注意求点到原点的距离时要用到勾股定理． 3．（20-21八年级下·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】过作轴于点，勾股定理求得的长度即可． 【详解】如图，过作轴于点 点，点 在中 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，勾股定理，熟练运用勾股定理是解题的关键． ( 题型0 3 ) 勾股树（数）问题 1.（23-24八年级下·吉林松原·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则是直角三角形．根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、，这组数不是勾股数，不符合题意； B、，这组数不是勾股数，不符合题意； C、，这组数不是勾股数，不符合题意； D、，这组数是勾股数，符合题意； 故选：D． 2．（22-23八年级上·吉林长春·期末）在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（    ） A．15，8，19 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，4 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，结合平方差公式判断即可． 【详解】解：∵， ∴A组不是勾股数，符合题意； ∵， ∴B组是勾股数，不符合题意； ∵， ∴C组是勾股数，不符合题意； ∵， ∴D组是勾股数，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，平方差公式，熟练掌握定理，灵活变形运用平方差公式简洁判断是解题的关键． 3.（22-23八年级上·吉林长春·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键． 根据勾股定理和正方形的面积公式，找到正方形的面积之和的递增规律问题可解． 【详解】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c． 根据勾股定理，得， 即两个小正方形面积之和等于大正方形的面积． “生长”1次后，所有正方形的面积和是； “生长”2次后，所有的正方形的面积和是； 推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 故答案为：． 4．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为 ． 【答案】256 【分析】根据勾股定理知，以两条直角边为边作出的两个正方形面积和等于以斜边为边的正方形面积． 【详解】解：如图，由勾股定理可知，正方形A与B的面积和等于正方形M的面积． 正方形C与D的面积和等于正方形N的面积． 并且正方形M与N的面积和等于最大的正方形的面积．因此的面积之和是为最大正方形的面积 ， 故答案为：256． 【点睛】本题考查了勾股定理的意义及应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． ( 题型0 4 ) 以直角三角形三边为边长的图形面积 1.（22-23八年级下·吉林白山·期中）如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的． 每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ）    A．6 B．1 C．8 D．7 【答案】D 【分析】由正方形的性质和勾股定理进行计算即可． 【详解】每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， 由勾股定理得：； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理和正方形的性质，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，以的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形．若斜边，则图中阴影部分面积的和是（    ）    A．50 B．30 C．25 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，先利用勾股定理得到，再根据等腰直角三角形的边长表示出阴影部分的面积， 进而可将阴影部分的面积求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵分别是以为斜边的等腰直角三角形， ∴（可以过直角顶点作斜边的高，可证明高为斜边的一半）， ∴， 故选A． 3.（23-24八年级下·吉林·期中）如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形．若其中3个正方形的面积如图所示，则以为边的正方形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理．利用勾股定理解题即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得： ， ∴， 故答案为：2． 4．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，以直角三角形的三条边为边长向外作3个正方形，其中两个正方形的面积分别为12和17，则正方形A的面积为 ．    【答案】5 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积和正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：正方形的面积等于12，   即， 正方形的面积为17， ， 又为直角三角形，根据勾股定理得： ， ， 则正方形的面积为5． 故答案为：5． 5．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、已知，， ． 【答案】100 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形面积的计算等知识点,熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系是解题的关键． 由勾股定理得出得出，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为：100． ( 题型0 5 ) 勾股定理与网格问题 1.（20-21八年级下·吉林·期末）如图，由边长为1m的正方形地砖铺设的地面．一只蚂蚁沿图中A→B→C的线路爬行，则蚂蚁沿该路线从点A爬行到点C的路程长为 m（结果保留根号）． 【答案】3． 【分析】利用勾股定理分别求出AB，BC的长即可解答． 【详解】解：由勾股定理得： AB＝，BC＝（m）， ∴AB＋BC＝（m）． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，以及二次根式的运算，熟记勾股定理是解题的关键． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，是格点三角形（顶点在网格线的交点上），则在图中能够作出与全等且有一条公共边的格点三角形（不含）的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查利用格点构造全等三角形，勾股定理．和全等，则三条边长分别为3，，，据此找点即可，注意还需要有一条公共边． 【详解】解：如图， 以为公共边时，与全等， 以为公共边时，，，与全等， 以为公共边时，符合条件的三角形有，但是顶点不在网格上． 因此图中能够作出与全等且有一条公共边的格点三角形共有4个， 故答案为：4． 3.（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫格点，分别按下列要求画图．（要求用无刻度直尺画图，不需要写画法） (1)在图1中，画一个顶点都在格点上的正方形，使它的面积是10； (2)在图2中，画一个顶点都在格点上的，使它的三边长分别，并计算边上的高为_______（直接写出计算结果） 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析；高为1 【分析】本题考查了网格与勾股定理，算术平方根，利用网格求三角形面积，画正方形与三角形，掌握网格与勾股定理是解题的关键． （1）所画正方形面积为10，则要求其边长为，为此作边长为的正方形即可； （2）按要求画图即可，割补法求出的面积，再利用面积相等即可求解． 【详解】（1）解：所画的正方形如下，，则其面积为10； （2）解：所画的如图所示； ∵， 而，其中h是边上的高， ∴； 故答案为：1． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中画，使． (2)在图②中画，使，其中点E在边上． (3)在图③中画，使，其中点M在边上（与（2）中的位置不同）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了根据全等三角形的判定，勾股定理．解题的关键在熟练掌握全等的判定，勾股定理． （1）根据全等三角形，三边分别对应相等，作图即可； （2）根据全等三角形，三边分别对应相等，作图即可； （3）根据全等三角形，三边分别对应相等，作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵，，， ∴； （2）解：如图，即为所求； ∵，，， ∴； （3）解：如图，即为所求；    ∵，，， ∴． ( 题型0 6 ) 勾股定理与折叠问题 1.（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图一直角三角形纸片，两直角边，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（    ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质以及勾股定理解直角三角形，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，解题的关键是熟练掌握勾股定理及折叠的性质及其应用． 【详解】由折叠可知：，，， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， ∴， 故选：． 2.（22-23八年级下·吉林·期中）如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点点重合，折痕为，则的长为 ．    【答案】 【分析】由折叠的性质得出，设，则，可得出，可求的值，则可得出答案． 【详解】解：将折叠，使点与点重合，折痕为， ， 设，则， 在中，， ， 解得． ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键． 3．（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，Rt△ABC中，AB，BC＝3，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ． 【答案】2 【分析】根据题意，设，由折叠，在利用勾股定理列方程解出x，就求出BN的长． 【详解】∵D是CB中点，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴． 故答案是：2． 【点睛】本题考查折叠的性质和勾股定理，关键是利用方程思想设边长，然后用勾股定理列方程解未知数，求边长． 4.（22-23八年级上·吉林辽源·期末）如图所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，涉及了勾股定理，设，根据即可求解； 【详解】解：由翻折的性质及长方形性质得：， 在中可得： ， ∴， 设， 在中，，即， 解得 ， ∴的长为 ． 5．（22-23八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线折叠，使点落在边上的点处，连接，过点作，垂足为．    (1)求证：； (2)若，则线段的长为_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可知，又根据，可得，根据折叠的性质，可得，即可证得； （2）由（1）知，得，即可得出． 【详解】（1）解:如图， ∵四边形是矩形,    ∴，，， ∴ ∵, ∴. 由翻折可知:， 在与中， ， ； （2）由（1）知 ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用与折叠，矩形的性质，三角全等等知识，熟练掌握三角全等知识和勾股定理的应用是解题的关键． ( 题型0 7 ) 勾股定理的证明方法 1.（23-24八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 2.（22-23八年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】下图是华师版八年级上册124页的部分内容． 【证明定理】如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程． 【答案】见解析． 【分析】如图，利用等积法，，将边长代入即可． 【详解】解：如图， 【点睛】本题考查了勾股定理的证明；解题的关键是利用等积法证明勾股定理． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)请用文字语言叙述勾股定理的内容：______； (2)请从下列3种常见的证明图形中任选一种来证明该定理．（下图中的图形均满足证明勾股定理所需的条件） 【答案】(1)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么） (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明： （1）根据勾股定理的内容即可得； （2）图1和图2：利用四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和等于大正方形的面积即可得；图3：利用三个直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积即可得； 【详解】（1）解：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）； 故答案为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）； （2）解：图1：大正方形的面积为， 四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为， 则； 图2：大正方形的面积为， 四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为， 则，即； 图3：直角梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 则，即． 4．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，．延长到点，使；过点作的垂线并在垂线上截取，连结和．求证： (1)． (2)利用此图的面积表示式证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）证明即可； （2）梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 整理，得：． ( 题型0 8 ) 用勾股定理构造图形解决问题 1.（22-23八年级上·吉林长春·期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， 设折断处离地面的高度是尺， 由勾股定理得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 2.（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ． 【答案】3cm 【分析】根据半径我们可以求出直径，沿底面的半径切开圆柱，则平面为一个底为6cm，高为8cm的矩形，根据勾股定理可以计算对角线的长度，吸管露出杯口的长度为吸管长减去矩形对角线长． 【详解】解：由题意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm 在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm， 则cm， ∴BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm． 故答案为：3cm． 【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，考查了矩形各内角为直角的性质，本题中正确的根据勾股定理计算AB是解题的关键． 3.（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，人只要移至距该门铃及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，一名身高的学生走到处（），门铃恰好自动响起，即，则该学生此时与超市门口的水平距离长为多少米？ 【答案】 【分析】过作于，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 答：该学生此时距离超市门口长为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键． 4．（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题： （1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）． （2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米． 【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得； （2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可． 【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变， ∴， 故答案为：=； （2）∵A、B、F三点共线， ∴在中， ， ∵， ∴在中， ， 由（1）可得：， ∴， ∴小男孩需移动的距离为米． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． ( 题型0 9 ) 勾股定理与无理数 1.（23-24八年级下·吉林延边·期末）如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和用数轴上的点表示无理数，熟练掌握知识点是解题的关键，先利用勾股定理求出的长度，再根据在数轴的正负半轴求解即可． 【详解】在中，，， ∴， ∵以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点， ∴这个点表示的实数是， 故选：B． 2.（22-23八年级下·吉林松原·期中）如图，点到数轴的距离为，，则数轴上点所表示的数为 ．    【答案】 【分析】运用勾股定理可求出的长，由此可求出的值，根据数值上表示无理数的方法即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∵， ∴， ∵点是数轴的原点， ∴点所表示的数为． 【点睛】本题主要考查勾股定理，数轴上表示无理数，掌握以上知识是解题的关键． ( 题型 10 ) 勾股定理的应用 1.（24-25八年级上·吉林四平·期末）《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去木四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（   ） A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 设尺，则尺，利用勾股定理解答． 【详解】解：设尺，则尺， 在中，，， ∴， 解得：， 故选：A． 2．（21-22八年级下·吉林·期中）如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（    ） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 【答案】D 【分析】烧杯的高、玻璃棒被水淹没部分以及这只烧杯的直径构成一个直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：（cm）． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 3.（23-24八年级上·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 4.（21-22八年级下·吉林四平·期末）如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是 ． 【答案】北偏西60° 【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案． 【详解】解：甲的路程：， 乙的路程：， ， 甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系， 甲客轮沿着北偏东， 乙客轮的航行方向是北偏西60°， 故答案为：北偏西60°． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用、方位角，解题的关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 5.（24-25八年级上·吉林长春·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．根据勾股定理求出，然后求出求出速度，再进行比较即可． 【详解】解：这辆小汽车超速了．理由如下： 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， （米/秒）（千米/时）． 因为， 所以这辆小汽车超速了． 6．（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的处有人求救，救生员没有直接从处游向处，而是沿岸边自A处跑到离处最近的点，然后从点游向处，经测量，，若救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是，请分析救生员的选择合理吗？    【答案】救生员的选择合理，理由见解析． 【分析】分别求得两个路线所用的时间，然后比较后即可得到答案． 【详解】解：救生员的选择合理，理由如下： 由题意得， ，， ， 救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是 救生员由点直接游向处需要的时间为：， 救生员由点跑到再游向处需要的时间为：， ， 救生员的选择合理． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的利用勾股定理求斜边的长． 7．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子的长为米，梯子的底部离墙的距离为米．若梯子的顶部向下滑米到D处，此时梯子的底部向外滑到E处，求梯子的底部向外滑出多少米？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据求出，继而求出；根据求出即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∵ ∴ ∴ 即：梯子的底部向外滑出了 ( 题型 1 1 ) 判断三边能否构成直角三角形 1.（24-25八年级上·吉林长春·期末）下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．1，，2 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【详解】解：A．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D．，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）以下列长度的各组线段为边长，能组成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 根据勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A中的三条线段能组成直角三角形，符合题意； ，故选项B中的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； ，故选项C中的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； ，故选项D中的三条线段组成的是等边三角形，不符合题意； 故选：A． 3.（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，有一张四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 【答案】(1)A、两点之间的距离为 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键． （1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【详解】（1）解：连结． 在中，°，，， ． 即A、两点之间的距离为． （2）解：， ， ， ∴是直角三角形且， 四边形纸片的面积 ． 4．（23-24八年级下·吉林松原·期中）已知a、b、c是的三条边，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形；理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值、偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，熟练掌握算术平方根、绝对值、偶次方的非负性是解题关键．先根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ∵，且， ，，， 解得，，， ， 是直角三角形． ( 题型 12 ) 利用勾股定理的逆定理求解 1.（22-23八年级上·吉林长春·期末）在中，已知，则的面积为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据题意可得出，再由勾股定理的逆定理可得出为，从而得出的面积． 【详解】解：， ， ， 为直角三角形， 的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，已知三角形的三边满足，从而得出三角形为直角三角形． 2．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（    ） A．3.5 B．2.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查垂线段的性质勾股定理的逆定理，解题的关键是学会由面积法求高．根据垂线段最短可知，当P与D重合时取最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 过点B作于点D， 则， ∴， 故选C． 3.（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． ( 题型 13 ) 勾股定理逆定理的实际应用 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）图①是某品牌婴儿车，图②是其部分结构示意图．根据安全标准需满足，已知，，，请通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合安全标准 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．由计算得，得出是直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：符合安全标准，理由如下： ∵，，， ， ， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴符合安全标准． 2.（24-25八年级上·吉林长春·期中）为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：在中， ∵，米，米， ∴（米）， 在中， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴（平方米） 故答案为：． 3.（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放甲、乙两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为18． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识．由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，然后由三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 是直角三角形，且， ． 答：四边形的面积为18． 4．（23-24八年级下·吉林松原·期中）笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由． 【答案】能，原路线长为千米，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理及其逆定理．由已知可得，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据勾股定理，即可得到答案． 【详解】解：能； ，， ． 是直角三角形，且， ． 在中， ， （千米）． 答：原路线长为千米． 一、单选题 1．（23-24八年级下·吉林·期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，1， B．40，50，60 C．，2， D．13，14，15 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c（较长边）满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，1，的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴长为40，50，60的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为，2，的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为13，14，15的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（   ） A．8 B．4 C．2 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的背景图，解题关键是掌握它们的面积与正方形边长的关系，以及各边长之间的关系，据此即可求解． 【详解】解：如图，令直角三角形的三边长分别为， ∴， ∴正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积， ∴正方形B的面积是， ∴正方形B的边长是2， 故选：C ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片．本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 【详解】解：如图，展开长方形，由题意得，，， ∴， ∴蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是， 故选∶ ． 4．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，△中，，，边上的高长为，点在数轴上，且对应的数为．以点为圆心，长为半径作圆弧，交数轴于点，则点表示的数是(    ) A．1或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理，实数与数轴的关系；根据等腰直角三角形的性质求出的长，结合数轴，即可得到答案． 【详解】解：在中，，边上的高长为， ，， 点表示的数为：或， 故选：D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·吉林·期中）已知两条线段的长为9和，当第三条线段的长为 ．时，这三条线段首尾相接能组成一个直角三角形． 【答案】或/或15 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，注意要分两种情况讨论．分为直角边和为斜边两种情况，运用勾股定理计算即可． 【详解】解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为； 当12为斜边时，第三条线段长为， 故答案为：或． 6．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，则的长为 ．    【答案】5 【分析】利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴（负值已舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理．正确的识图，熟练掌握勾股定理，是解题的关键． 7．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理得应用是解题的关键． 【详解】解：根据蚂蚁从点爬过木块到达处爬行最短路程只需如图即可， ∴（米）， ∴由勾股定理得：（米）， 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24八年级下·吉林松原·期中）一个门框尺寸如图所示，一块长2.5米，宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息，理解能通过的条件是解题的关键．连接，由勾股定理求出的长度，然后进行比较，即可得到答案． 【详解】解：结论：能通过． 理由：连接． 在中，，， ． 又， 木板的宽， 木板能从门框内通过． 9．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．由勾股定理求出，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，四边形的面积的面积的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ， ， ∵， ， ， 四边形的面积的面积的面积． 10．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在四边形中，，为对角线，，，，．    (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理逆定理可得出为直角三角形，且，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在直角中，∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$