第5章 专题6 传送带问题和滑块—木板问题-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第一册创新导学案word（鲁科版2019）

专题六　传送带问题和滑块—木板问题 课题任务1　传送带问题 1．传送带问题涉及摩擦力的判断、物体运动状态的分析和动力学知识的运用，重点考查学生分析问题和解决问题的能力。主要有如下两类： (1)水平传送带问题 当传送带水平时，应特别注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化。摩擦力的突变，常常导致物体的受力情况和运动性质的突变。静摩擦力达到最大值，是物体和传送带恰好保持相对静止的临界状态；滑动摩擦力存在于发生相对运动的物体之间，因此两物体的速度达到相同时，滑动摩擦力要发生突变(滑动摩擦力变为0或变为静摩擦力)。 (2)倾斜传送带问题 当传送带倾斜时，除了要注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化外，还要注意物体与传送带之间的动摩擦因数μ和传送带倾斜角度θ对受力的影响，从而正确判断物体的速度和传送带速度相等时物体的运动性质。 2．倾斜传送带问题的两种情况 倾斜传送带问题可分为倾斜向上传送和倾斜向下传送两种情况(物体从静止开始，传送带匀速运动且足够长)： 条件 运动性质 倾斜向上传送 μ>tanθ 物体先沿传送带做向上的匀加速直线运动，速度相同以后二者相对静止，一起做匀速运动 μ＝tanθ 物体保持静止 μ<tanθ 物体沿传送带做向下的匀加速直线运动 倾斜向下传送 μ≥tanθ 物体先相对传送带向上滑，沿传送带向下做初速度为零的匀加速直线运动，速度相同后二者相对静止，一起做匀速运动 μ<tanθ 物体先相对传送带向上滑，沿传送带向下做初速度为零的匀加速直线运动，速度与传送带速度相同后滑动摩擦力反向，物体相对传送带下滑，继续沿传送带向下做匀加速直线运动 例1　如图所示，水平传送带两端相距x＝8 m，工件与传送带间的动摩擦因数μ＝0.6，工件向左滑上A端时速度vA＝10 m/s，设工件到达B端时的速度为vB。(g取10 m/s2) (1)若传送带静止不动，求vB。 (2)若传送带顺时针转动，工件还能到达B端吗？若不能，说明理由；若能，则求出到达B端的速度vB。 (3)若传送带以v＝13 m/s逆时针匀速转动，求vB及工件由A到B所用的时间。 [规范解答]　(1)根据牛顿第二运动定律可知μmg＝ma，则a＝μg＝6 m/s2，且v－v＝－2ax，故vB＝2 m/s。 (2)能。当传送带顺时针转动时，工件受力不变，其加速度不发生变化，仍然始终减速，故工件到达B端的速度vB＝2 m/s。 (3)开始时工件所受滑动摩擦力向左，加速度a＝＝μg＝6 m/s2，假设工件能加速到13 m/s，则工件速度达到13 m/s所用时间为t1＝＝0.5 s， 匀加速运动的位移为s1＝vAt1＋at＝5.75 m<8 m， 则工件在到达B端前速度就达到了13 m/s，此后工件与传送带相对静止，因此工件先加速后匀速。 匀速运动的位移s2＝x－s1＝2.25 m，t2＝≈0.17 s，工件由A到B所用的时间为t＝t1＋t2＝0.67 s。 [完美答案]　(1)2 m/s　(2)能　2 m/s　(3)13 m/s　0.67 s 模型点拨 分析传送带问题的三个步骤 (1)初始时刻，根据v物、v带的关系，确定物体的受力情况，进而确定物体的运动情况。 (2)确定临界状态v物＝v带的受力情况，判断之后的运动形式。 (3)运用相应规律，进行相关计算。 [变式训练1]　如图所示，传送带与水平地面的倾角为θ＝37°，AB的长度为64 m，传送带以20 m/s的速度沿逆时针方向转动，在传送带上端A点无初速度地放上一个质量为8 kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为0.5，求物体从A点运动到B点所用的时间。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2) 答案　4 s 解析　开始时物体下滑的加速度： a1＝g(sin37°＋μcos37°)＝10 m/s2， 物体运动到与传送带共速的时间： t1＝＝ s＝2 s， 物体下滑的位移：s1＝a1t＝20 m； 由于tan37°＝0.75>μ，故共速之后物体加速下滑，且此时的加速度：a2＝g(sin37°－μcos37°)＝2 m/s2， 根据s2＝vt2＋a2t，且s＝s1＋s2， 解得：t2＝2 s， 故物体从A点运动到B点所用的时间：t＝t1＋t2＝4 s。 课题任务2　滑块—木板问题 1．模型特点 滑块(视为质点)置于长木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动。如图所示。 2．板块模型的三个基本关系 (1)加速度关系：如果滑块与木板之间没有发生相对运动，可以用“整体法”求出它们一起运动的加速度；如果滑块与木板之间发生相对运动，应采用“隔离法”分别求出滑块与木板运动的加速度。应注意找出滑块与木板是否发生相对运动等隐含条件。 (2)速度关系：滑块与木板之间发生相对运动时，认清滑块与木板的速度关系，从而确定滑块与木板受到的摩擦力。应注意当滑块与木板的速度相同时，摩擦力会发生突变的情况。 滑块与木板如果速度不相同，则它们之间存在滑动摩擦力，应用“隔离法”分析各自的加速度。几种典型情况如下： ①滑块与木板“一快一慢”：较快的受到的对方给它的摩擦力为阻力，较慢的受到的对方给它的摩擦力为动力。 ②滑块与木板“一动一静”：运动的受到的对方给它的摩擦力为阻力，静止的受到的对方给它的摩擦力为动力。 ③滑块与木板“一左一右”：两者受到的对方给它的摩擦力都是阻力。 (3)位移关系：滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板向同一方向运动，则滑块的位移大小和木板的位移大小之差等于木板的长度；若滑块和木板向相反方向运动，则滑块的位移大小和木板的位移大小之和等于木板的长度。 例2　质量M＝3 kg的长木板放在光滑的水平面上。在水平拉力F＝11 N的作用下由静止开始向右运动。如图所示，当速度达到1 m/s时，将质量m＝4 kg的物块轻轻放到木板的右端。已知物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.2，物块可视为质点。(g＝10 m/s2)求： (1)物块刚放置在木板上时，物块和木板的加速度分别为多大？ (2)木板至少多长物块才能与木板最终保持相对静止？ (3)物块与木板相对静止后物块受到的摩擦力大小。 [规范解答]　(1)物块刚放置在木板上时， 物块的加速度大小a1＝＝μg＝2 m/s2， 木板的加速度大小a2＝＝1 m/s2。 (2)当物块和木板速度相同后，二者保持相对静止， 故a1t＝v0＋a2t，得t＝1 s， 1 s内木板的位移s2＝v0t＋a2t2＝1.5 m， 物块的位移s1＝a1t2＝1 m， 所以若要使物块最终与木板保持相对静止， 板长至少为L＝s2－s1＝0.5 m。 (3)相对静止后，对整体有F＝(M＋m)a， 对物块有f＝ma， 故f＝m≈6.29 N。 [完美答案]　(1)2 m/s2　1 m/s2　(2)0.5 m (3)6.29 N 模型点拨 叠放在一起的滑块与木板，它们之间一般存在相互作用力，解题时受力分析和运动过程分析是关键。对此类问题的分析，必须清楚加速度、速度、位移等物理量的关系。 [变式训练2]　如图甲所示，质量M＝1 kg的薄木板静止在水平面上，质量m＝1 kg的铁块静止在木板的右端，可视为质点。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。现给铁块施加一个水平向左的力F，力F从零开始逐渐增加，且铁块始终在木板上没有掉下来，铁块受到的摩擦力f随力F大小变化的图像如图乙所示。 (1)求木板与水平面间的动摩擦因数μ1和铁块与木板间的动摩擦因数μ2； (2)若力F恒为4 N，作用1 s后撤去F，最终铁块恰好能运动到木板的左端，求木板的长度L。 答案　(1)0.05　0.2　(2) m 解析　(1)由题图乙可以看出，在F从3.0 N逐渐增加到4.5 N的过程中，f不变，则此时的f是滑动摩擦力，即μ2mg＝2.0 N，解得μ2＝0.2。 在F从1.0 N逐渐增加到3.0 N的过程中，铁块和木板相对静止，并且一起加速运动， 当F1＝2.0 N时铁块所受摩擦力大小为f铁＝1.5 N， 设此时铁块的加速度大小为a铁， 则F1－f铁＝ma铁，解得a铁＝0.5 m/s2， 木板的加速度大小a板＝a铁， 对整体运用牛顿第二运动定律有 F1－μ1(m＋M)g＝(M＋m)a板， 解得μ1＝0.05。 (2)设当F＝4 N时，铁块的加速度大小为a铁1， 由牛顿第二运动定律有F－μ2mg＝ma铁1， 解得a铁1＝2 m/s2， 设木板的加速度大小为a板1， 则μ2mg－μ1(m＋M)g＝Ma板1， 解得a板1＝1 m/s2， 因此在t＝1 s内，铁块运动的位移为 s铁＝a铁1t2＝1 m， 木板的位移为s板＝a板1t2＝0.5 m， 在t＝1 s时，铁块的速度v铁＝a铁1t＝2 m/s， 木板的速度v板＝a板1t＝1 m/s， 此后，铁块减速，设其加速度大小为a铁2， 则μ2mg＝ma铁2，得a铁2＝2 m/s2， 木板加速，设其加速度大小为a板2， 则μ2mg－μ1(m＋M)g＝Ma板2， 得a板2＝1 m/s2， 当两者达到共同速度时有 v＝v铁－a铁2t′＝v板＋a板2t′， 得t′＝ s，v＝ m/s， 此后两者保持相对静止直到减速至停止。 从撤去力F到两者达到共同速度的过程中， 铁块的位移s铁1＝t′，得s铁1＝ m， 木板的位移s板1＝t′，得s板1＝ m， 则木板长度为L＝(s铁－s板)＋(s铁1－s板1)＝ m。 1.(多选)如图所示，一足够长的水平传送带以恒定的速度向右传动。将一物体轻轻放在传送带的左端，以v、a、s、f表示物体的速度大小、加速度大小、位移大小和所受摩擦力的大小。下列选项中正确的是(　　) 答案　AB 解析　在0～t1时间内物体受到向右恒定的滑动摩擦力而做匀加速直线运动，加速度不变，速度与时间的关系为v＝at，v­t图像是过原点的倾斜直线；当物体的速度与传送带的速度相同后，物体不受摩擦力作用而做匀速直线运动，速度不变，加速度为0，故A、B正确，C错误；根据物体的运动情况，并结合匀变速直线运动和匀速直线运动的位移—时间图像，可知D错误。 2.如图所示，质量为m的木块在质量为M的长木板上受到水平向右的拉力F的作用而向右滑行，长木板保持静止不动。已知木块与长木板之间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面之间的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是(　　) A．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ1Mg B．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ2(m＋M)g C．只要拉力F增大到足够大，长木板一定会与地面发生相对滑动 D．无论拉力F增大到多大，长木板都不会与地面发生相对滑动 答案　D 解析　长木板保持静止不动，对其进行受力分析，水平方向受到木块的滑动摩擦力和地面的静摩擦力，由长木板水平方向受力平衡知，长木板受到地面的摩擦力大小一定等于物块对长木板的摩擦力大小，即为μ1mg，A、B错误；木块与长木板之间的滑动摩擦力大小为μ1mg，是定值，则无论F增大到多大，长木板的受力情况都不变，长木板都不会与地面发生相对滑动，C错误，D正确。 3.如图所示，一条足够长的浅色水平传送带自左向右匀速运行。现将一个木炭包无初速度地放在传送带的最左端，木炭包在传送带上将会留下一段黑色的径迹。下列说法中正确的是(　　) A．黑色的径迹将出现在木炭包的左侧 B．开始时木炭包相对于传送带向右运动 C．木炭包的质量越大，径迹的长度越短 D．木炭包与传送带间的动摩擦因数越大，径迹的长度越短 答案　D 解析　设木炭包的质量为m，传送带的速度为v，木炭包与传送带间的动摩擦因数为μ。对木炭包运动过程进行分析知，木炭包放上传送带时，木炭包相对传送带向左运动，则木炭包受到传送带向右的摩擦力，且在该摩擦力作用下向右做加速运动。开始时木炭包速度小于传送带速度，径迹出现在木炭包右侧，直到木炭包与传送带速度相等，一起做匀速运动，径迹不再变化。木炭包相对传送带运动时，其加速度大小为μg，径迹长度s＝，即传送带速度越大，径迹越长；动摩擦因数越大，径迹越短；径迹的长度与木炭包的质量无关。综上所述，A、B、C错误，D正确。 4．(多选)如图所示，一条水平传送带以速度v0逆时针匀速转动，现有一物体以速度v向右冲上传送带，若物体与传送带间的动摩擦因数恒定，规定向右为正方向，则物体在传送带上滑动时的速度随时间变化的图像可能是下图中的(　　) 答案　BC 解析　物体刚冲上传送带时，在传送带上受到重力、传送带的支持力和摩擦力作用，由于摩擦力的方向与初速度方向相反，所以物体先向右做匀减速直线运动，若物体的初速度v足够大，则物体在速度减小到0前，已经滑出传送带右端，B正确。若物体的初速度v比较小，则物体在速度减小到0时，仍未滑到传送带右端，即物体的速度等于0时，仍然在传送带上，由于传送带向左运动，物体在传送带上受到向左的摩擦力，将向左做加速运动，由运动的对称性可知，若传送带的速度v0大于物体冲上传送带的速度v，则物体一直加速，返回到出发点时的速度大小仍然等于v；若传送带的速度v0小于物体冲上传送带的速度v，则当物体的速度与传送带的速度相等后，物体以传送带的速度随传送带一起做匀速直线运动，C正确，A、D错误。 5.(多选)一长轻质木板置于光滑水平地面上，木板上放着质量分别为mA＝1 kg和mB＝2 kg的A、B两物块，A、B与木板之间的动摩擦因数都为μ＝0.2，水平恒力F作用在A物块上，如图所示(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2)。则(　　) A．若F＝1 N，则物块、木板都静止不动 B．若F＝1.5 N，则A物块所受摩擦力大小为1.5 N C．若F＝4 N，则B物块所受摩擦力大小为2 N D．若F＝8 N，则B物块的加速度为1 m/s2 答案　CD 解析　A与木板间的最大静摩擦力fAmax＝μmAg＝2 N，B与木板间的最大静摩擦力fBmax＝μmBg＝4 N。若F＝1 N<fAmax，则A、B与木板保持相对静止，整体在F作用下向左做匀加速运动，A错误；若F＝1.5 N<fAmax，则A、B与木板保持相对静止，整体在F的作用下向左做匀加速运动，根据牛顿第二运动定律得F＝(mA＋mB)a，解得a＝0.5 m/s2，对A有F－fA＝mAa，解得fA＝1 N，B错误；若F＝4 N>fAmax，则A在木板上滑动，B和木板整体受到的摩擦力大小为f＝fAmax＝2 N，轻质木板的质量不计，所以B的加速度aB＝＝1 m/s2，对B根据牛顿第二运动定律，有fB＝mBaB＝2 N，C正确；若F＝8 N>fAmax，则A相对于木板滑动，B和木板整体受到的摩擦力大小为f＝fAmax＝2 N，轻质木板的质量不计，所以B的加速度aB＝＝1 m/s2，D正确。 6．(多选)如图甲所示，倾角为θ的足够长的传送带以恒定的速率v0沿逆时针方向运动。t＝0时将质量为m＝1 kg的小物块(可视为质点)轻放在传送带上，小物块相对地面的v­t图像如图乙所示。设沿传送带向下为正方向，取重力加速度g＝10 m/s2。则(　　) A．传送带的速率v0＝10 m/s B．传送带的倾角θ＝30° C．小物块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5 D．0～2.0 s内小物块在传送带上留下的痕迹的长度为6 m 答案　AC 解析　由v­t图像可知，在0～1 s，小物块在传送带上做加速度 a1＝10 m/s2的匀加速运动，在1～2 s，小物块做初速度为10 m/s、加速度为a2＝2 m/s2的匀加速运动，故传送带的速率v0＝10 m/s，由牛顿第二运动定律得：mgsinθ＋μmgcosθ＝ma1，mgsinθ－μmgcosθ＝ma2，联立解得θ＝37°，μ＝0.5，B错误，A、C正确；0～1 s内传送带位移s1＝v0t1＝10 m，小物块位移s2＝a1t＝5 m，小物块相对传送带的位移大小Δs1＝s1－s2＝5 m，相对传送带向上，1～2 s内传送带位移s3＝v0t2＝10 m，小物块位移s4＝v0t2＋a2t＝11 m，故小物块相对传送带的位移大小Δs2＝s4－s3＝1 m，相对传送带向下，故小物块在传送带上留下的痕迹的长度为5 m，D错误。 7．如图所示，水平传送带正在以恒定的速率v＝4 m/s顺时针转动，质量为m＝1 kg的某物块(可视为质点)与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，将该物块从传送带左端无初速度地轻放在传送带上(g取10 m/s2)。 (1)如果传送带长度L＝4.5 m，求经过多长时间物块将到达传送带的右端？ (2)如果传送带长度L＝20 m，求经过多长时间物块将到达传送带的右端？ 答案　(1)3 s　(2)7 s 解析　物块放到传送带上后，在滑动摩擦力的作用下先向右做匀加速运动； 由μmg＝ma得a＝μg， 若传送带足够长，匀加速运动到与传送带同速后再与传送带一同向右匀速运动。 物块匀加速运动的时间t1＝＝＝4 s， 物块匀加速运动的位移s1＝at＝μgt＝8 m。 (1)若传送带长度L＝4.5 m，因为4.5 m<8 m， 所以物块一直在传送带上加速， 由L＝at2得t＝＝＝3 s。 (2)若传送带长度L＝20 m，因为20 m>8 m，所以物块速度达到与传送带的速度相同后，摩擦力变为0，此后物块与传送带一起做匀速运动， 物块匀速运动的时间t2＝＝ s＝3 s， 故物块到达传送带右端的时间t′＝t1＋t2＝7 s。 8.长为L＝1.5 m的木板B静止放在水平冰面上，可视为质点的小物块A以初速度v0从左端滑上木板B，一段时间后A、B达到相同的速度v＝0.4 m/s，而后A、B又一起在水平冰面上滑行了s＝8 cm后停下。已知物块A与木板B的质量相同，A、B间的动摩擦因数μ1＝0.25，g取10 m/s2。 (1)求木板与冰面间的动摩擦因数μ2； (2)求小物块A的初速度v0的大小； (3)为了保证小物块不从木板的右端滑落，求小物块滑上木板的最大初速度v0m。 答案　(1)0.1　(2)2.4 m/s　(3)3 m/s 解析　(1)小物块和木板一起做匀减速运动时，根据速度与位移的关系式可得加速度大小 a＝＝ m/s2＝1 m/s2， 对整体，由牛顿第二运动定律得： μ2(2m)g＝2ma， 解得：μ2＝0.1。 (2)小物块滑上长木板后做匀减速运动，其加速度大小a1＝＝μ1g＝2.5 m/s2， 木板做匀加速运动，有：μ1mg－μ2(2m)g＝ma2， 解得a2＝0.5 m/s2， 设小物块滑上木板经时间t后速度减到v， 对木板有v＝a2t， 解得t＝＝ s＝0.8 s， 小物块滑上木板的初速度 v0＝v＋a1t＝2.4 m/s。 (3)当小物块以最大初速度v0m滑上木板，则到达木板最右端时木板B和小物块A的速度恰好相同，则 物块的位移为s物＝v0mt1－a1t， 木板的位移为s板＝a2t， 且s物－s板＝L，v0m－v′＝a1t1，v′＝a2t1， 由以上各式解得v0m＝3 m/s。 学科网（北京）股份有限公司 $$