2.1从位移、速度、力到向量（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

2.1从位移、速度、力到向量 题型一 向量的概念与表示 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）下列各量中是向量的为（    ） A．时间 B．体积 C．重力 D．密度 2．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）以下选项中，都是向量的是（   ） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 3.（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 4.（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 5.（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 题型二 相等向量与共线向量 1．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．实数可以比较大小，向量也可以比较大小 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D．若向量与不共线，则与都是非零向量 2．（24-25高一下·山东·阶段练习）以下说法中正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 C．单位向量都是共线向量 D．零向量的长度为0，没有方向 3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知非零向量与共线，下列说法正确的是（   ） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 4．（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25高一下·湖北荆州·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 题型三 相等的夹角 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·随堂练习）在等边三角形中，与的夹角为 ；点为的中点，则与的夹角为 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，D是的中点.    (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 4．（21-22高一·全国·假期作业）如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题． (1)分别写出与、、相等的向量； (2)分别写出与、、共线的向量； (3)分别写出与，与的夹角； (4)分别写出与，与的夹角． 5．（20-21高一·全国·课后作业）如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量， (1)与的夹角是多少？ (2)与垂直的向量有哪些？ 1．（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高一下·北京·期中）给出下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 4．（20-21高一·全国·课后作业）若向量，满足，，求的最大值及最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1从位移、速度、力到向量 题型一 向量的概念与表示 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）下列各量中是向量的为（    ） A．时间 B．体积 C．重力 D．密度 【答案】C 【分析】根据向量的定义判断可得出结论. 【详解】由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量. 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）以下选项中，都是向量的是（   ） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 【答案】D 【分析】根据向量的定义判定. 【详解】时间、海拔、质量、体积均只有大小，没有方向，不是向量. 位移，加速度，浮力、速度既有大小又有方向，是向量. 故选：D 3.（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【分析】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【详解】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 4.（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为，最小值为． 【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量，再通过观察图形计算的最大值和最小值. 【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． 5.（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】4个． 【分析】利用平面向量的定义结合给定条件求解即可. 【详解】如图，我们标注一些点， 由图得与向量同向且长度为的向量有，共4个． 题型二 相等向量与共线向量 1．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．实数可以比较大小，向量也可以比较大小 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D．若向量与不共线，则与都是非零向量 【答案】D 【分析】根据向量的定义即可判断A；根据单位向量的定义即可判断B；根据共线向量的定义即可判断CD. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，故向量不能比较大小，故A错误； 对于B，因为单位向量的方向不确定，故B错误； 对于C，方向相反的两个向量一定共线，故C错误； 对于D，因为零向量与任意向量共线，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·山东·阶段练习）以下说法中正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 C．单位向量都是共线向量 D．零向量的长度为0，没有方向 【答案】B 【分析】根据向量的定义判断． 【详解】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，A错； 对于B，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，B正确； 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，D错， 故选：B． 3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知非零向量与共线，下列说法正确的是（   ） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 【答案】D 【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项. 【详解】当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，所以AB选项错误； 若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误； 根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确； 故选：D. 4．（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据向量是具有大小和方向的量以及零向量的含义，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A错误； 对于B，若，即的模相等，方向相同，则，B正确； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小， 即，不能得出，C错误； 对于D，若，则，D错误， 故选：B 5．（24-25高一下·湖北荆州·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误. 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误. 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确. 故选：D. 题型三 相等的夹角 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，结合平面向量的概念即可求解. 【详解】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为． 故选：D 2．（22-23高一·全国·随堂练习）在等边三角形中，与的夹角为 ；点为的中点，则与的夹角为 ． 【答案】 / / 【分析】根据平面几何的性质及向量夹角的定义计算可得. 【详解】在等边三角形中，所以与的夹角为，    因为点为的中点，所以，所以与的夹角为. 故答案为：； 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，D是的中点.    (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】由题意可得，，结合向量夹角的定义即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. （2）由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. 4．（21-22高一·全国·假期作业）如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题． (1)分别写出与、、相等的向量； (2)分别写出与、、共线的向量； (3)分别写出与，与的夹角； (4)分别写出与，与的夹角． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析. 【分析】（1）根据正六边形的性质以及相等向量的概念可得结果； （2）根据正六边形的性质以及共线向量的概念可得结果； （3）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果. （4）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果. 【详解】（1）解：由正六边形的性质可知，与相等的向量有：、、， 与相等的向量有：、、， 与相等的向量有：、、. （2）解：与共线的向量有：、、、、、、、、， 与共线的向量有、、、、、、、、， 与共线的向量有：、、、、、、、、. （3）解：与的夹角，与的夹角. （4）解：与的夹角为，与的夹角. 5．（20-21高一·全国·课后作业）如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量， (1)与的夹角是多少？ (2)与垂直的向量有哪些？ 【答案】(1)45° (2). 【分析】(1)根据给定条件求出弧DE所对圆心角即可得解. (2)根据给定条件可得OD⊥BF，再探求图中与BF平行的线段即可得解. 【详解】（1）因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H， 则弧DE所对圆心角是45°，即有∠DOE=45°， 所以与的夹角为45°. （2）因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H， 显然，BF是圆O的直径，，，如图： 所以与垂直的向量有：. 1．（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量平行的意义进行判断即可. 【详解】一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立； 另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立. 故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件. 故选：B 2．（22-23高一下·北京·期中）给出下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误， 对于B，若，，则，∴B正确， 对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误， 对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误. 故选：B． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【答案】(1)8个 (2)个 【分析】（1）按向量的模长进行分类求解； （2）按向量的模长进行分类求解． 【详解】（1）解：当时，则等分点有，，，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点时， 模长为1时，有2个，为：， 模长为2时，有2个，为：， 模长为3时，有2个，为：， 模长为4时，有2个，为：， 总共有8个． （2）由（1）知，当模长为1时，有2个， 当模长为2时，有2个， 当模长为3时，有2个，依次类推，当模长为时，有2个， 总共有个． 4．（20-21高一·全国·课后作业）若向量，满足，，求的最大值及最小值. 【答案】最大值是18，最小值是6. 【分析】根据向量的三角不等式即可求解. 【详解】因为，， 所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号； ，当且仅当向量，方向相反时取得等号. 所以的最大值是18，最小值是6. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$