精品解析：江苏省南京市江宁区南京江宁高等职业技术学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

江宁高职校基础教学部 2024-2025学年第二学期月考 高二数学试卷 2025年3月 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填涂在答题卡相应位置． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且为第三象限角，则为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的定义域为，则函数的定义域为（ ）． A. B. C. D. 6. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 15 D. 20 7. 在航天员进行一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ） A. 34种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 8. 在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱与底面所成角为，则侧面积为（ ） A. B. 8 C. D. 12 9. 椭圆的焦点在y轴上，长轴是短轴的两倍，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，若，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 9 D. 16 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 函数在上是增函数，则的范围是_______． 12. 若是实数，且，则的最小值是_______． 13. 已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为_______． 14. 从4台甲型和5台乙型电视中任取3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有_______种． 15. 函数的值域是_______. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知不等式对任意实数恒成立． （1）求的取值范围； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数经过定点A． （1）求点A的坐标； （2）若函数是定义在上的偶函数，且经过点A，当时，．求：（1）的值；（2）当时的解析式． 18. 已知函数 （1）求函数的周期及值域； （2）已知分别为的内角的对边，其中A为锐角，且，求及的面积． 19. 某校数学学习小组有3名男生和4名女生，这7人站成一排留影，求以下有多少种不同的站法． （1）甲乙两人必须站在两头； （2）男生必须排在一起； （3）男生互不相邻； （4）甲乙两人之间恰好间隔1人． 20. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化丁产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； （2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 已知递增的等差数列满足，且，，成等比数列. （1）求等差数列的通项； （2）设，求数列的前n项和. 22. 如图，垂直于圆O所在的平面，是圆O的直径，C是圆周上一点，且. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 23. 已知椭圆 的离心率为，椭圆的右顶点是抛物线的焦点，直线的倾斜角为，且直线过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C相交于两点，O为坐标系原点，以为邻边作平行四边形，若线段AB的长为，求顶点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江宁高职校基础教学部 2024-2025学年第二学期月考 高二数学试卷 2025年3月 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填涂在答题卡相应位置． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合补集的概念和运算，先求出集合A的补集，结合交集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合，所以， 又， 所以. 故选：B. 2. 已知，且为第三象限角，则为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为，且为第三象限角， 所以， 所以. 故选：A. 3. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数和对数函数的定义域及单调性、充分性和必要性的概念，即可判断求解. 【详解】因为函数在定义域R上是增函数，函数在定义域上是增函数 故当时，有，但当时，无意义，故充分性不成立； 当时，有，此时一定成立，故必要性成立； 故命题是命题的必要不充分条件. 故选：B. 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数、指数函数、对勾函数的奇偶性和单调性，即可判断求解. 【详解】因为函数是二次函数，定义域为实数集R，且图像开口向下，对称轴为轴， 所以函数是偶函数，且在区间上为减函数，故选项A不符合题意； 因为函数是指数函数，且为非奇非偶函数，在区间上为增函数， 故选项B不符合题意； 因为函数是对勾函数，在定义域上是奇函数， 且在区间上是减函数，在区间上是增函数，故选项C不符合题意； 因为函数是二次函数，定义域为实数集R，且图像开口向上，对称轴为轴， 所以函数是偶函数，且在区间上为增函数，故选项D符合题意； 故选：D. 5. 已知的定义域为，则函数的定义域为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域概念求解. 【详解】∵的定义域为， ∴求的定义域时，需确定的取值范围. 即，得到. 所以，的定义域为. 故选：B. 6. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为， 令，解得 ， 所以展开式中的常数项为. 故选：C. 7. 在航天员进行一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ） A. 34种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 【答案】C 【解析】 【分析】先将程序B和C看作一个整体，再按程序A的位置进行分类排列即可. 【详解】因为程序B和C在实施时必须相邻， 将程序B和C看作一个整体，它们内部的排列顺序有种排法， 当程序A出现在第一步时，共有种排法， 当程序A出现在最后一步时，共有种排法， 故实验顺序的编排方法共有种. 故选：C. 8. 在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱与底面所成角为，则侧面积为（ ） A. B. 8 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四棱锥的底面边长和侧棱与底面所成角，求得正四棱锥的高，再计算侧面高，即可求解. 【详解】 如图所示，在正四棱锥中底面边长为2，侧棱与底面所成角为， 顶点在底面的投影为正方形的中心，平面， 即是侧棱与底面的所成的角，即， 因为，即， 在中，， 作，易得， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为. 故选：A. 9. 椭圆的焦点在y轴上，长轴是短轴的两倍，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解. 【详解】化简得，由椭圆的焦点在y轴上有； 由长轴是短轴的两倍得，即．将两边平方，得， 则，则. 故选：B. 10. 已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，若，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 9 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对数函数的性质求解点A的坐标，再由基本不等式即可求解最小值. 【详解】函数的图象恒过定点， 所以令，即， 因为点在直线上， 所以，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即当时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：C. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 函数在上是增函数，则的范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，即， 解得. 即的范围是. 故答案为：. 12. 若是实数，且，则的最小值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，结合指数幂的运算及基本不等式，即可求解. 【详解】因为是实数，所以， 又， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值8. 故答案为：8. 13. 已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线方程，先表示出渐近线方程，将已知点代入，可化简得，结合，化简求解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线经过点， 所以，即， 所以，解得. 故答案为：. 14. 从4台甲型和5台乙型电视中任取3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有_______种． 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的概念，先计算选取3台的情况，再减去仅选取甲型和乙型的情况，即可求解. 【详解】从9台电视中任取3台，有种情况， 若只取甲型有种情况，只取乙型有种情况， 所以，满足条件的取法数为. 故答案为： 15. 函数的值域是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，求得分段函数在各范围内的值域，即可求解. 【详解】因为函数， 当时，函数是增函数，， 即时，函数的值域为， 当时，函数是减函数，又， 即时，函数的值域为， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知不等式对任意实数恒成立． （1）求的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立得到判别式小于0，即可求解. （2）由（1）可知，再根据指数函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 因为不等式 对任意实数恒成立， 所以， 即，解得. 【小问2详解】 由（1）得到，所以指数函数在定义域上单调递减， 由不等式可得，即， 可化为，解得或， 即不等式的解集为 17. 已知函数经过定点A． （1）求点A的坐标； （2）若函数是定义在上的偶函数，且经过点A，当时，．求：（1）的值；（2）当时的解析式． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）令，求出的值及对应的函数值，即可求解； （2）根据函数的奇偶性，可得函数过点的关于轴的对称点，将点代入函数在时的解析式，即可求得的值；结合函数的奇偶性的定义，即可求得当时的解析式. 【小问1详解】 因为函数，， 令，则， 所以函数过定点； 【小问2详解】 因为函数是定义在上的偶函数，且经过点， 又点关于y轴的对称点为，所以函数过点， 又当时，， 所以，解得； 因为当时，， 令，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 即时，函数解析式为， 18. 已知函数 （1）求函数的周期及值域； （2）已知分别为的内角的对边，其中A为锐角，且，求及的面积． 【答案】（1）周期；值域为 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正、余弦的二倍角公式，将函数化简为正弦型函数，结合正弦函数的图像和性质，即可求解； （2）根据题意，先求出角A的值，结合余弦定理，即可求得b的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的周期；值域为； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以，即， 又A为锐角，所以， 因为， 所以， 即，解得； 所以. 19. 某校数学学习小组有3名男生和4名女生，这7人站成一排留影，求以下有多少种不同的站法． （1）甲乙两人必须站在两头； （2）男生必须排在一起； （3）男生互不相邻； （4）甲乙两人之间恰好间隔1人． 【答案】（1）240 （2）720 （3）1440 （4）1200 【解析】 【分析】（1）根据特殊元素优先排列的原则，即可求解； （2）根据相邻问题利用捆绑法，即可求解； （3）根据不相邻问题利用插空法，即可求解； （4）结合组合数及排列数的应用，即可求解. 【小问1详解】 由题意，可先让甲乙两人站在两头有种，再让其余5人全排列， 故不同的站法种数为种； 【小问2详解】 由题意，可利用捆绑法，男生之间先全排列，再将3名男生看成一个元素与4名女生全排列， 故不同的站法种数为种； 【小问3详解】 由题意，可利用插空法，将4名女生全排列，产生5个空隙，再让3名男生插空站， 故共有不同的站法种数为种； 【小问4详解】 由题意，可从除去甲乙以外的5人中选1人站到甲乙之间，将此3人看成一个元素，和剩余的4人全排列，甲乙内部排列， 故共有不同的站法种数为种. 20. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化丁产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； （2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）年产量为吨时，生产每吨产品的平均成本最低为万元 （2）年产量为吨时，可获得最大利润万元 【解析】 【分析】（1）根据题意列分式函数，再由基本不等式求最值即可. （2）设利润为，建立二次函数模型，再由二次函数的顶点式确定对称轴，由单调性求最值即可. 【小问1详解】 由题意可知， 生产每吨产品的平均成本为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以年产量为吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为万元. 【小问2详解】 设利润为， 则， 对称轴为，图象开口向下， 又当时，函数图象单调递增， 时，取最大值， 所以当年产量为吨时，可以获得最大利润万元. 21. 已知递增的等差数列满足，且，，成等比数列. （1）求等差数列的通项； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项列式得到关于的一元二次方程求解，再代入等差数列通项公式即可. （2）根据等差数列与等比数列前n项和公式分组求和即可. 【小问1详解】 设等差数列公差为，则， 由，，成等比数列可得：，即， 解得，则. 等差数列的通项为. 【小问2详解】 ， . 数列的前n项和. 22. 如图，垂直于圆O所在的平面，是圆O的直径，C是圆周上一点，且. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合线面垂直的性质定理和判定定理，即可证明结论成立； （2）根据题意，结合线面角的定义，可得是直线与平面所成角，结合解直角三角形，即可求解. 【小问1详解】 由题意，得平面，又平面， 所以， 因为是圆O的直径，所以，即， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知平面， 所以是直线与平面所成角， 因为平面，又平面， 所以， 因为， 所以, 所以, 所以， 即与平面所成角的正弦值是. 23. 已知椭圆 的离心率为，椭圆的右顶点是抛物线的焦点，直线的倾斜角为，且直线过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C相交于两点，O为坐标系原点，以为邻边作平行四边形，若线段AB的长为，求顶点D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合抛物线方程可求得焦点坐标，即椭圆的右顶点，继而求得a的值，结合椭圆的离心率，即可求得c的值及的值，继而求解； （2）根据题意，先表示出直线的方程，将直线与椭圆联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，即可求得m的值，继而求得的值，结合向量的加法法则，即可求解. 【小问1详解】 因为抛物线方程为， 所以焦点坐标为，即椭圆C的右顶点是， 所以， 又椭圆C的离心率为， 所以，， 所以椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 因为直线的倾斜角为，且直线过点， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 所以，消元整理得， 设，则， 所以， 即，解得或（舍）， 所以，， 又， 所以顶点D的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $