第6章 专题强化5 竖直面内的圆周运动-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教版）单选

专题强化5　竖直面内的圆周运动 第六章　圆周运动   [学习目标]　 掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的分析方法(重难点)。 课时作业 巩固提升 类型1　竖直面内圆周运动的轻杆模型 类型2　竖直面内圆周运动的轻绳模型 内容索引 巩固演练 举一反三 类型1　竖直面内圆周运动的轻杆模型 一 4 1.模型概述 有支撑物(如球与杆连接,小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动,称为“轻杆模型”。 2.模型特点 情景图示   弹力特征 弹力可能向下,可能向上,也可能等于零 受力示意图   力学方程 mg±FN=m 临界特征 v=0,即F向=0,此时FN=mg v=的意义 FN表现为拉力还是支持力的临界点 [例1]　如图所示,一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动, 轨道半径为R,小球的直径略小于管道的直径,重力加速度为g,则小球 (　　)   A.可能做匀速圆周运动 B.通过最高点时的最小速度为 C.通过最低点时受到的弹力向上 D.在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力 C [解析]　由分析知,小球在运动过程中合力不可能一直指向圆心,所以不可能做匀速圆周运动,故A错误;因为在最高点圆形管道内壁能提供支持力,所以通过最高点时的最小速度为0,故B错误;小球通过最低点时由重力和弹力的合力提供向心力,向心力方向向上,则小球受到的弹力方向也向上,故C正确;在下半圆运动时,只受到外侧管壁的弹力,故D错误。 [例2]　有一轻质杆长L为0.5 m,一端固定一质量m为0.5 kg 的小球,杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。(g取10 m/s2) (1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力,求此时的速度大小; (2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时,求小球 对杆的作用力; (3)当小球运动到最低点时,小球受杆的拉力为41 N,求小球运动的速率。 [答案]　(1) m/s　(2)4 N,方向向下　11 N,方向向上　(3)6 m/s [解析]　(1)小球在最高点时刚好对杆无作用力,此时重力提供向心力,有mg=m,代入数据解得 v1== m/s。 (2)当小球运动到最高点速率为1 m/s时,此时小球受到杆向上的支持力。根据牛顿第二定律可得mg-F1=m,代入数据得F1=4 N,根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为4 N,方向向下;当小球运动到最高点速率为4 m/s时,此时小球受到杆向下的拉力,根据牛顿第二定律有F2+mg=m,代入数据解得F2=11 N,根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力为11 N,方向向上。 (3)当小球运动到最低点时,小球受杆的拉力为41 N,由牛顿第二定律有F-mg=m,代入数据解得v4=6 m/s。 方法总结 小球通过最高点时杆(或管)对小球的弹力情况 1.当v=时,mg=m,即重力恰好提供小球所需要的向心力,轻杆(或管道)与小球间无作用力。 2.当v<时,mg>m,即重力大于小球所需要的向心力,小球受到向上的支持力F,mg-F=m,即F=mg-m,v越大,F越小。 3.当v>时,mg<m,即重力小于小球所需要的向心力,小球还要受到向下的拉力(或压力)F。 二 类型2　竖直面内圆周运动的轻绳模型 12 1.模型概述 无支撑物(如球与绳连接,沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动,称为“轻绳模型”。 2.模型特点 情景图示   弹力特征 弹力可能向下,也可能等于零 受力示意图   力学方程 mg+F=m 临界特征 F=0,mg=m,得v= v=的意义 物体能否过最高点的临界点 [例3]　 (2024·吉林长春期末)如图是某游乐场的惯性列车(翻滚过山车)的轨道图,它由倾斜轨道和半径为R的圆轨道组成。一节车厢(连同人的质量为m,可视为质点)在圆轨道内侧做圆周运动,设这节车厢恰好能以最小安全速度通过圆轨道的最高点,则该车厢通过最高点时的最小速度和对圆轨道的压力分别为(不计运动中的一切阻力)(　　) A.0,0　　　　　　　　 B.0,mg C.,0 D.,0 D [解析]　这节车厢恰好能以最小安全速度通过圆轨道的最高点,此时轨道对车厢支持力为0,根据牛顿第三定律,车厢对圆轨道的压力为0,在最高点,车厢做圆周运动的向心力由重力提供,即mg=m,解得v=,故选D。 [例4]　杂技演员在做“水流星”表演时,用一根细绳系着盛水的杯子,抡起绳子,让杯子在竖直面内做圆周运动,如图所示。已知杯内水的质量m=0.5 kg,绳长l=60 cm,g取10 m/s2,求:   (1)在最高点水不流出的最小速率; (2)水在最高点速率v=3 m/s时,水对杯底的压力大小。 [答案]　(1) m/s　(2)10 N [解析]　(1)在最高点水不流出的临界条件是重力大小等于水做圆周运动的向心力大小,即 mg=m,其中r= 解得vmin= m/s。 (2)因为3 m/s> m/s,所以重力不足以提供水做圆周运动所需的向心力,所以对于水有FN+mg=m 解得FN=10 N 由牛顿第三定律可知,水对杯底的压力为FN'=FN=10 N。 方法总结 小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系 1.当v=时,mg=m,即重力恰好提供小球所需要的向心力,小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零。 2.当v<时,mg>m,即重力大于小球所需要的向心力,小球脱离圆轨道,不能到达最高点。 3.当v>时,mg<m,即重力小于小球所需要的向心力,小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力),重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力,mg+F=m。 三 巩固演练 举一反三 20 1. (2024·湖北荆州期末)飞飞老师心灵手巧,用生活中常见的细绳和塑料容器制作“水流星”模型。如图所示,塑料容器中盛有质量为m的清水,然后使其在竖直平面内做半径为L的圆周运动(不考虑细绳和容器质量,重力加速度为g),则下列说法正确的是(　　) A.“水流星”通过最高点时,绳子张力不可以为零 B.“水流星”通过最高点时,清水恰好不流出来的速度是0 C.假如“水流星”可在竖直面内做匀速圆周运动, 则“水流星”通过最低点和最高点,细绳的张力差为4mg D.假如“水流星”可在竖直面内做匀速圆周运动,则“水流星”通过最低点和最高点,细绳的张力差为2mg D 解析:“水流星”通过最高点,当绳的张力恰好为零时, 对水和容器整体,根据牛顿第二定律有mg=m,解得 v=,所以“水流星”通过最高点时,绳子张力可以为 零,清水恰好不流出来的速度是,故A、B错误;假如“水流星”可在竖直面内以速度v'做匀速圆周运动,在最低点,根据牛顿第二定律得T-mg=m,解得T=mg+m,在最高点,根据牛顿第二定律得mg+T0=m,解得T0=m-mg,则ΔT=T-T0=2mg,故C错误,D正确。 2.(2023·四川雅安高一期末)如图所示,质量为m的小球刚好静止在竖直放置的光滑圆管道内的最低点,管道的半径为R(不计内外径之差),水平线ab过轨道圆心。现给小球一水平向右的初速度,下列说法正确的是(　　) A.若小球刚好能做完整的圆周运动,则它通过最高点 时的速度为 B.若小球刚好能做完整的圆周运动,则它通过最高点 时的速度为零 C.当小球在水平线ab以下的管道中运动时,外侧管壁对小球一定无作用力 D.当小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力 B 解析:在最高点,由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用,当小球的速度等于0时,内管对小球产生弹力,大小为mg,故最小速度为0,A错误,B正确;当小球在水平线ab以下管道运动时,由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力,所以外侧管壁对小球一定有作用力,而内侧管壁对小球一定无作用力,C错误;当小球在水平线ab以上管道中运动时,当速度非常大时,内侧管壁对小球没有作用力,此时外侧管壁对小球有作用力,当速度比较小时,内侧管壁对小球有作用力,外侧管壁对小球没有作用力,D错误。 3.如图甲所示,轻杆一端固定一小球(视为质点),另一端套在光滑水平轴O上,O轴的正上方有一速度传感器,可以测量小球通过最高点时的速度大小v;O轴处有力传感器(传感器均未在图中画出),可以测量小球通过最高点时O轴受到杆的作用力F。若以竖直向下为力的正方向,得到F-v2图像如图乙所示。g取10 m/s2,求:   (1)小球的质量及做圆周运动的半径; (2)小球在最高点的速度大小为5 m/s时,杆受到球的作用力。 答案:(1)2 kg　1 m　(2)30 N,方向竖直向上 解析:(1)由题图乙可知,当小球通过最高点的速度是零时,杆上的作用力为20 N,可知小球的质量为2 kg。 小球通过最高点速度不是零时,若只有小球重力提供向心力,即杆对小球的作用力是零,可知O轴受到杆的作用力是零,此时速度的平方为 10 m2/s2,设轻杆的长度为L,则有mg=m 解得L=1 m 即小球做圆周运动的半径为1 m。 (2)小球在最高点的速度大小为5 m/s时,由牛顿第二定律可得mg+FN=m 解得FN=m-mg=30 N,方向竖直向下 由牛顿第三定律可知,杆受到球的作用力大小为30 N,方向竖直向上。 4. (2024·江苏南通期末)如图所示,长L的轻杆两端分别固定着小球A、B,杆中心O有水平方向的固定转轴,杆绕转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动。小球A的质量为m,重力加速度为g。 (1)当小球A运动到水平位置时,求杆对球A的作用力大小F1; (2)当小球A运动到最高点时,求杆对球A的作用力大小F2; (3)若轻杆角速度为2ω,当小球A运动到最低点时,杆对转轴的作用力刚好为零,求小球B的质量mB。 答案:(1)　(2)|-mg| (3)m 解析:(1)当小球A运动到水平位置时,杆对球的竖直方向分力Fy=mg 杆对球的水平方向分力Fx=mω2 杆对球A的作用力大小F1= 解得F1=。 (2)当小球A运动到最高点时,根据牛顿第二定律有 mg±F2=mω2 解得F2=|-mg| 即杆对球A的作用力大小为|-mg|。 (3)小球A运动到最低点时,根据牛顿第二定律有 F3-mg=m·(2ω)2· 由于杆对转轴的作用力刚好为零,则小球B对杆的力与小球A的力等大反向,则对小球B有 F3+mBg=mB·(2ω)2· 解得 mB=m。 四 课时作业 巩固提升 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1.如图所示,用细绳拴着质量为m的小球,在竖直平面内做半径为R的圆周运动,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　) A.小球过最高点时,绳子张力可以为零 B.小球过最高点时的速度是0 C.小球做圆周运动过最高点时的最小速度是 D.小球过最高点时,绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反 A 解析:小球过最高点绳子的拉力为零时,速度最小,根据mg=m得v=,可知在最高点的最小速度为,故A正确,B、C错误;绳子只能表现为拉力,在最高点时,绳子的拉力不可能与重力方向相反,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2.如图所示,半径为1 m的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置,管内壁光滑,管内有一个质量为0.5 kg的小球(小球直径略小于管内径)做圆周运动。小球经过圆管最高点P时的速度大小为3 m/s,重力加速度g取10 m/s2,则小球在P点时(　　) A.受到外轨道0.5 N的压力 B.受到内轨道0.5 N的支持力 C.受到外轨道9.5 N的压力 D.受到内轨道5.0 N的支持力 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 B 解析:小球在P点时,根据牛顿第二定律有 F+mg= 其中r=1 m,m=0.5 kg,v=3 m/s 代入解得F=-0.5 N 故小球受到内轨道竖直向上的支持力,大小为0.5 N,故选B。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 3.如图所示,长均为L的两根轻绳,一端共同系住质量为m的 小球,另一端分别固定在等高的A、B两点,A、B两点间的距 离也为L,重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以 A、B连线为轴做圆周运动,当小球在最高点的线速度大小 为v时,两根轻绳的拉力恰好均为零。若小球在最高点时两 根轻绳的拉力大小均为,则此时小球的线速度大小为(　　) A.2v　　　　　　　　　　 B.3v C.4v D.5v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 B 解析:根据几何关系可知,小球做圆周运动的半径为r=L,小球在最高点的速率为v时,两根绳的拉力恰好均为零,有mg=m 当小球在最高点两根轻绳的拉力大小均为时, 小球受到的合外力F合=mg+2Fcos 30°=9mg 根据牛顿第二定律有9mg= 联立解得v'=3v,故B正确,A、C、D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 4.如图所示,水平地面上放一质量为M的落地电风扇,一质量为m的小球固定在叶片的边缘,启动电风扇小球随叶片在竖直平面内做半径为r的圆周运动。已知小球运动到最高点时速度大小为v,重力加速度大小为g,则小球在最高点时地面受到的压力大小为(　　) A.Mg B.(M+m)g C.(M+m)g-m D.(M+m)g+m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 C 解析:当小球在最高点受到叶片向上的支持力时,根据牛 顿第二定律有mg-FN=m,解得FN=mg-m,根据牛顿第 三定律小球在最高点时对风扇的压力大小FN'=mg-m, 对电风扇由平衡条件得Mg+FN'=,解得地面对电风扇的支持力大小=(M+m)g-m,根据牛顿第三定律小球在最高点时地面受到的压力大小为(M+m)g-m,同理,小球受到叶片向下的拉力时结果相同,故选C。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 5.“太极球”运动是一项较流行的健身运动,做该项运动时,健身者半马步站立,手持太极球拍,拍上放一橡胶太极球,健身者舞动球拍时,太极球却不会掉落地上。现将太极球简化成如图所示的平板和小球,熟练的健身者让小球在竖直面内始终不脱离平板且做匀速圆周运动,则(　　) A.在B、D两处小球运动的加速度一定相同 B.只要平板与水平面的夹角合适,小球在B、D两 处可能不受平板的摩擦力作用 C.平板对小球的作用力在A处最大,在C处最小 D.小球运动过程中速度不变 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 B 解析:加速度是矢量,在B、D两处小球运动的加速度方向都指向圆心,方向不同,所以加速度不相同,故A错误;只要平板与水平面的夹角合适,使得小球在B、D两处时重力和平板的弹力的合力充当向心力,则此时平板不受摩擦力作用,故B正确;在A处满足mg+FA=m,在C处满足FC-mg=m,可知平板对小球的作用力在A处最小,在C处最大,故C错误;速度是矢量,小球做匀速圆周运动,速度大小不变,但方向不断变化,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 6.(2024·安徽六安阶段检测)如图甲所示,竖直面内的圆形管道半径R远大于横截面的半径,有一小球直径比管横截面直径略小,在管道内做圆周运动。小球过最高点时,小球对管壁的弹力大小用F表示、速度大小用v表示,当小球以不同速度经过管道最高点时,其F-v2图像如图乙所示,则(　　) A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C.v2=b时,小球对管壁的弹力方向竖直向下 D.v2=3b时,小球受到的弹力大小是重力大小的5倍 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 D 解析:在最高点,若v=0,则F=mg=c,若F=0,重力提供向心力,则mg=m,解得g=、m=,故A、B错误;当v2=b时,小球所受的弹力方向向下,所以小球对管壁的弹力方向竖直向上,故C错误;当v2=b时,根据mg+F=m,F=c=mg,解得b=2gR,当v2=3b时,根据mg+F'=m,解得F'=5mg,故D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 7.如图所示,质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内,小球A和B的直径略小于细圆管的内径。它们的质量分别为mA=1 kg、mB=2 kg。某时刻,小球A、B分别位于圆管最低点和最高点,且A的速度大小为vA=3 m/s,此时杆对圆管的弹力为零,则B球的速度大小vB为(g取10 m/s2)(　　) A.2 m/s B.4 m/s C.6 m/s D.8 m/s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 B 解析:对A球,合外力提供向心力,设管对A的支持力为FA,由牛顿第二定律有FA-mAg=mA,代入数据解得FA=28 N,由牛顿第三定律可得,A球对管的力FA'=28 N,方向竖直向下。设B球对管的力为FB',由管受力平衡可得FB'+FA'+m管g=0,解得FB'=-44 N,负号表示和重力方向相反,由牛顿第三定律可得,管对B球的力FB为44 N,方向竖直向下,对B球,由牛顿第二定律有FB+mBg=mB,解得vB=4 m/s,故B正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 8.(2023·黑龙江哈尔滨期中)如图所示,质量为M的物体内有光滑圆形轨道,现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动,A、C为圆周的最高点和最低点,B、D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动时,物体保持静止。关于物体对地面的压力N和地面对物体的摩擦力,下列说法正确的是(　　) A.滑块运动到A点时,N>Mg,摩擦力方向向左 B.滑块运动到B点时,N=Mg,摩擦力方向向右 C.滑块运动到C点时,N>(M+m)g,摩擦力方向向左 D.滑块运动到D点时,N=(M+m)g,摩擦力方向向左 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 B 解析:滑块运动到A点时,若恰好由重力作为向心力,则 滑块与物体间没有相互作用力,则N=Mg,若滑块速度 较大,则滑块对物体的作用力竖直向上,则N<Mg,由于 系统在水平方向上不受外力,故地面对物体没有摩擦 力,A错误;滑块运动到C点时,对滑块满足F-mg=m,故 滑块对物体的作用力竖直向下且大于mg,则N>(M+m)g,由于系统在水平方向上不受外力,故地面对物体没有摩擦力,C错误;滑块运动到B点时,滑块与物体在竖直方向没有相互作用,则N=Mg,滑块对物体有向左的作用力,故物体受到的摩擦力方向向右,B正确;滑块运动到D点时,滑块与物体在竖直方向没有相互作用,则N=Mg,滑块对物体有向右的作用力,故物体受到的摩擦力方向向左,D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 9.(2024·湖南长沙期末)如图,轻杆长为3L,在杆的两端分别固定质量均为m的球A和球B,杆上距球A为L处的点O位于光滑的水平转动轴上,杆和球可在竖直面内绕轴转动,已知球B运动到最高点时,球B对杆恰好无作用力,重力加速度为g。 (1)当球B在最高点时,球B的速度为多大? (2)当球B在最高点时,杆对球A的作用力为多大? (3)若球B转到最低点时的速度大小为 ,求此时杆对球A的作用力。 答案:(1)　(2)1.5mg　(3)0.3mg,方向竖直向下 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析:(1)球B在最高点时只受重力作用,根据牛顿第二定律有mg=m 解得vB1=。 (2)A、B两球的角速度大小相等,设球B在最高点时的角速度为ω,由向心力公式有mg=mω2·2L 此时球A在最低点,由向心力公式有F-mg=mω2L 解得F=1.5mg。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (3)设球B在最低点时的角速度为ω1,对A、B分别有 vB2=ω1·2L,vA=ω1L 则vA=vB2 此时球A在最高点,由向心力公式有FA+mg=m 解得FA=0.3mg,方向竖直向下。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 10.如图所示,某电机质量为M,在距轴O为r处固定一质量为m的铁球,电机启动后,铁球以角速度ω绕轴O匀速转动,已知重力加速度为g,求:   (1)电机对地面的最大压力和最小压力之差; (2)当铁球的角速度为何值时,电机对地面的压力可能等于0。 答案:(1)2mω2r　(2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析:(1)在铁球运动到最低点时,根据牛顿第二定律得 F-mg=mrω2 解得F=mg+mrω2 此时电机对地面的压力最大 FN=Mg+F=Mg+mg+mrω2 在铁球运动到最高点时,根据牛顿第二定律得 mg+F'=mrω2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解得F'=mrω2-mg 此时电机对地面的压力最小 FN'=Mg-F'=Mg+mg-mrω2 则电机对地面的最大压力和最小压力之差 ΔF=FN-FN'=2mω2r。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (2)当铁球运动到最高点时,若铁球对转轴的拉力恰好为电机的重力,此时电机对地面的压力等于0,对小球受力分析,由牛顿第二定律得mg+Mg=mr 所以,铁球的角速度为ω0=。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 11.如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具,其结构可简化为图乙所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内,陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m,其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向,大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力,重力加速度为g。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时 的速度为,求此时轨道对陀螺的 弹力大小; (2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道,求陀螺通过最低点时的最大速度大小; (3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为,求固定支架对轨道的作用力大小。 答案:(1)10mg　(2)　(3)g 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析:(1)当陀螺在轨道内侧最高点时,设轨道对陀螺的吸引力为F1,轨道对陀螺的支持力为FN1,陀螺所受的重力为mg,最高点的速度为v1,由受力分析可知 mg+FN1-F1=m 解得FN1=10mg。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (2)设陀螺在轨道外侧运动到最低点时,轨道对陀螺的吸引力为F2,轨道对陀螺的支持力为FN2,陀螺所受的重力为mg,最低点的速度为v2,由受力分析可知 F2-FN2-mg=m   当FN2=0时,陀螺通过最低点时的速度最大,解得vmax=。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (3)设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时,轨道对陀螺的吸引力为F3,轨道对陀螺的支持力为FN3,陀螺所受的重力为mg,则Fn=F3-FN3=m 解得FN3=4mg 由牛顿第三定律可知FN3'=FN3,F3'=F3 固定支架对轨道的作用力为 F= 解得F=g。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 $$