第1章 专题强化3 带电粒子在有界匀强磁场中的运动-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（鲁科版）

专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 第1章 安培力与洛伦兹力   [学习目标]　1.掌握分析带电粒子在有界磁场中运动的基本方法。　2.会分析带电粒子在典型边界磁场中的运动问题。　3.能分析解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题。　4.能分析解决带电粒子在有界磁场中运动的多解问题。 课时作业 巩固提升 类型1　带电粒子在有界磁场中运动的分析方法 类型2　带电粒子在有界磁场中运动的多解问题 内容索引 类型1　带电粒子在有界磁场中运动的分析方法 一 4 1.圆心的确定 (1)基本思路:与速度方向垂直的直线和弦的中垂线一定过圆心。 (2)两种常见情形 Ⅰ.已知入射方向和出射方向时,可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图a所示,图中P为入射点,M为出射点)。 Ⅱ.已知入射点和出射点的位置时,可以先通过入射点作入射方向的垂线,再连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图b所示,图中P为入射点,M为出射点)。 2.半径的计算方法 (1)由物理方法求:半径r=。 (2)由几何方法求:一般由数学公式(勾股定理、三角函数等)计算来确定。 3.运动时间的确定 (1)粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α(速度偏转角与圆心角相等)时,其运动时间由下式表示: t=T(或t=·T)。 (2)用弧长与线速度的比t=。 角度1　直线边界磁场 从某一直线边界射入的粒子,再从这一边界射出时,射入和射出速度与直线边界的夹角相等,如图所示。 [例1]　(2024·天津河西期末)三个质量均为m,电荷量均为q的质子1、2和3分别以大小相等的初速度v经平板MN上的小孔O射入匀强磁场,各初速度的方向如图所示,磁场方向垂直纸面向里,磁感应强度大小为B,整个装置处在真空中,且不计质子重力。最终这三个质子打到平板MN上的位置到小孔的距离分别为s1、s2和s3,则以下正确的是(　　) A.s1<s2<s3 B.s2>s3>s1 C.s1=s3<s2= D.s1=s3<s2= C 三个质子速度大小相等,根据qvB=m可知,质子运动的半径相同;1和3与MN板的夹角相等,根据对称性可知这两个质子的轨迹恰好构成一个完整的圆,所以1和3打到MN板上的位置到小孔的距离相等,长度为圆弧的弦长(小于直径);2垂直入射,垂直出射,打到MN板上的位置到小孔的距离为直径:s2=2r=,所以s1=s3<s2=,故C正确,A、B、D错误。 角度2　平行边界磁场 [例2]　如图,一质量为m、电荷量为q的带负电粒子,从左边界射入磁感应强度为B的平行边界匀强磁场,粒子速度为v且与左边界夹角为30°,并垂直右边界射出。粒子的重力不计,求磁场宽度。   [答案]　 粒子运动轨迹如图,   粒子转过圆心角θ=60°, 由qvB=,d=rsin 60°, 得d=。 角度3　三角形边界磁场 如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图。粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。 [例3]　(多选)如图所示,直角三角形ABC中存在一匀强磁场,比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场,分别从AC边上的P、Q两点射出,不计粒子重力及粒子间的相互作用力,则(　　) A.从P射出的粒子速度大 B.从Q射出的粒子速度大 C.从P射出的粒子在磁场中运动的时间长 D.两粒子在磁场中运动的时间一样长 BD 作出两带电粒子各自的运动轨迹,如图所示, 根据圆周运动特点知,两粒子分别从P、Q点射出时, 速度方向与AC边的夹角相等,故可判定两粒子从P、Q 点射出时,半径rP<rQ,故由r=可知从Q点射出的粒子 速度大,A错误,B正确;由T==得,两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等,根据图示可知,两轨迹对应的圆心角相等,由t=T得两粒子在磁场中的运动时间相等,C错误,D正确。 角度4　圆形边界磁场 1.粒子沿径向对准磁场圆心射入 粒子一定沿径向射出,如图甲所示。磁场圆半径为R,粒子轨迹圆半径为r,带电粒子从P点对准磁场圆圆心O射入,由几何知识很容易证明粒子从Q点射出的速度方向的反向延长线必过磁场圆圆心O点。 2.粒子不沿径向射入 如图乙所示,处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆,并要注意区分轨迹圆的圆心和匀强磁场圆的边界的圆心。粒子进出磁场时速度与对应点所在磁场圆的半径的夹角相等。 [例4]　如图所示,半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,质量为m、电荷量为q的正电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场,从磁场中射出时速度方向改变了θ角。则磁场的磁感应强度大小为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. B 正电荷运动的轨迹如图所示,设电荷运动的轨迹半径为r,由几何关系可得tan =,洛伦兹力提供电荷在磁场中做匀速圆周运动的向心力,可得qvB=m,联立可得B=,故选B。 方法总结 “三步法”分析有界磁场问题 二 类型2　带电粒子在有界磁场中运动的多解问题 23 角度1　电性不确定形成双解 在相同的初速度和磁场的条件下,由于粒子的电性不同,在磁场中运动轨迹不同,导致形成双解。 (1)按粒子带正、负电荷分别讨论。 (2)画出粒子的可能轨迹,如图所示。   (3)根据牛顿运动定律建立动力学方程,再结合几何关系,解决有关问题。 [例5]　如图所示,在xOy平面内,y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,一质量为m、带电荷量的绝对值为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入,粒子的重力不计,求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。   [答案]　　(-,0)或　(,0) 由洛伦兹力提供向心力,有qv0B=m=mr 解得r=,T= 当带电粒子带正电时,轨迹如图中OAC所示, 故粒子在磁场中运动的时间t1=T= 粒子在C点离开磁场OC=2rsin 60°= 故离开磁场的位置为(-,0) 当带电粒子带负电时,轨迹如图中ODE所示,故粒子在磁场中的运动时间 t2=T= 粒子在E点离开磁场 OE=2rsin 60°= 故离开磁场时的位置为(,0)。 角度2　磁场方向不确定形成双解 题目只指明磁感应强度的大小,而未具体指出磁感应强度的方向,此时必须考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。解决此类问题的关键是审清题目,区别磁场方向,确定临界状态。 [例6]　如图所示,A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子,离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域,可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s,负离子的比荷为,速率为v,OP与OQ间的夹角为30°,则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　) A.B=,垂直纸面向里 B.B=,垂直纸面向里 C.B=,垂直纸面向外 D.B=,垂直纸面向外 B 当磁场方向垂直纸面向里时,离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示,切点为M,设轨迹半径为r1,由几何关系可知,sin 30°=,可得r1=s,由r1=可得B1=,故应满足B1'≥;当磁场方向垂直纸面向外时,其临界轨迹,即圆弧与OP相切于N点,如图乙所示,由几何关系s=+r2,得r2=,由r2=,可得B2=,故应满足B2'≥,综合上述分析可知,选项B正确,A、C、D错误。 角度3　运动的周期性形成多解 1.带电粒子在空间运动时往往具有周期性,从而形成多解,通过分析第一周期或前几个周期的运动规律,寻找运动周期的通解。 2.在有其他条件限制下,通解有可能变为有限个解或单一解。 [例7]　如图所示,直线MN与水平方向成60°角,MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场,左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点,能水平向右发射速率不同、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(重力不计,粒子间的相互作用不计),所有粒子均能通过MN上的b点,已知ab=L,则粒子的速度可能是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. B 由题意可知,粒子可能的运动轨迹如图所示,由几何知识知所有圆弧所对的圆心角均为120°,所以粒子运动的半径为r=·(n=1,2,3,…);粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,得qvB=m,则v==·(n=1,2,3,…),故选项B正确。 三 课时作业 巩固提升 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [A组　基础巩固练] 1.如图所示,在x>0,y>0的空间中有恒定的匀强磁场,磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里,大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力),在x轴上到原点的距离为x0的P点,以平行于y轴的初速度射入此磁场,在磁场力作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场,由这些条件可知(　　) A.带电粒子一定带正电 B.不能确定粒子速度的大小 C.不能确定粒子射出此磁场的位置 D.不能确定粒子在此磁场中运动所经历的时间 A 由题意知,粒子向左偏转,由左手定则可知,粒子带正电,且轨迹半径r=x0,故粒子射出磁场时的位置在y轴上距原点x0处,由半径r=可得速度v=,运动时间t==,故选项A正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2.如图所示,在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场,一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场,不计粒子重力,则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　)   A.1∶2　　　　　　　　 B.2∶1 C.1∶ D.1∶1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 B 由洛伦兹力提供向心力有qvB=,又T=,解得T=,则正、负粒子在磁场中的运动周期相等,正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°,负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°,故时间之比为2∶1,B正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3.(多选)(2024·华南师大附中期末)如图所示,一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子(粒子的重力不计),带电粒子从x轴正方向上的P点以速度v沿与x轴成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并恰好垂直于y轴正方向射出第一象限。已知OP=a,则带电粒子在磁场中做匀速圆周的半径r及匀强磁场的磁感应强度B的大小分别为(　　) A.r= B.r= C.B= D.B= 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 AD 粒子的运动轨迹如图,由几何关系可知   r==,根据qvB=m得B=,故A、D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 4.空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷,它们的电荷量、质量均不同,但其比荷相同,且都包含不同速率的粒子,不计重力。下列说法正确的是(　　) A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C.在磁场中运动时间相同的粒子,其运动轨迹一定相同 D.在磁场中运动时间越长的粒子,其轨迹一定越长 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 B 根据qvB=m,周期T=,得r=,T=,这两种粒子带 同种电荷,比荷相同,则周期相同,若不同速度粒子都从 左边界离开磁场,圆心角均为180°,运动时间一定相同, 但运动轨迹不同,故A、C错误;根据qvB=m,在磁场中运动半径r=,运动轨迹对应的半径与速率成正比,入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同,故B正确;如图,运动轨迹为1的粒子的运动时间较长,但轨迹长度比2的短,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5.如图所示,在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场,ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场,速度大小为v1、方向与ab成30°角时,恰好从b点飞出磁场,且粒子在磁场中运动的时间为t;若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场,也经时间t飞出磁场,则其速度大小为(　　) A.v1 B.v1 C.v1 D.v1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 C 两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示,由题 意知,同一粒子在磁场中偏转时间同为t,则两种情 况下带电粒子的偏转角均为60°;设圆的半径为R, 由几何关系可知带电粒子在两种情况下做匀速圆 周运动的半径分别为r1=2R,r2=Rtan 60°=R,由洛 伦兹力提供向心力有qvB=m,则速度v=,则==,所以当粒子沿ab方向射入时,v2=v1,A、B、D错误,C正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 6.如图所示,在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以某一速度v进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°。若粒子在磁场中运动的过程中恰好与CB边相切,并从AB边穿出磁场,则v的大小为(　　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 C 粒子运动的轨迹如图所示。 轨迹圆恰好与BC边相切。粒子恰好从AB边穿出磁场的临界轨迹对应的半径为r=×(×)=a,根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,联立可得v=,故C正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 [B组　综合强化练] 7.(2024·浙江绍兴期末)如图所示,水平虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,竖直边ab、cd的长为L,水平边bc的长为3L。一束质量为m、电荷量为-q的带负电粒子,在纸面内从P点以不同速率垂直边界射入磁场,已知P点与a点之间距离为L。不计粒子之间的相互作用,粒子在磁场中运动的最长时间为(　　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 A 设带电粒子在匀强磁场中运动轨迹所对应 的圆心角为θ,则它在磁场中运动的时间为 t=T=,则运动时间与速度大小无关,与θ 有关,当粒子从P点以不同速率垂直边界射入磁场时,其轨迹圆心必在Pa直线上,将粒子的轨迹半径由0逐渐放大,由几何知识可知当粒子圆心在a点时,恰好从b点飞出时,轨迹所对应的圆心角最大,为θ=270°=π,故粒子在磁场中运动的最长时间为t=,故A正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 8.如图所示,△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形,比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射,欲使电子经过BC边,磁感应强度B的取值范围为(　　) A.B> B.B< C.B> D.B< 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 D 由题意可知,电子恰好经过C点时的运动轨迹如图所示,此时圆周运动的半径r==a,要想使电子从BC边经过,电子做圆周运动的半径要大于a,由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径公式r=,有a<,即B<,D项正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 9.如图所示的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,同一粒子先后以不同速率从同一点正对圆心O射入磁场,分别从a、b两点射出,下列说法正确的是(　　) A.b点射出时粒子运动半径较小 B.a点射出时粒子速率较大 C.b点射出时粒子运动时间较长 D.a点射出时粒子速度方向的反向延长线过O点 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 D 作出粒子的运动轨迹如图所示,则b点射出的粒子运 动半径较大,根据极限思想可知,速度越大粒子偏转 方向越接近入射方向,A、B错误;由粒子的运动轨迹 可知,速度越大,半径越大,但轨迹所对应的圆心角越 小,同一带电粒子在同磁场中运动,其周期与速度无 关,所以圆心角越小,运动时间越短,C错误;带电粒子在圆形边界磁场中做匀速圆周运动,沿径向射入,就会沿径向射出,所以a点射出的粒子速度方向的反向延长线过O点,D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10.(多选)(2024·江苏扬州期中)如图所示,左、右边界分别为PP'、QQ'的匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子,沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ'射出,粒子入射速度v0的最大值可能是(　　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 BC 粒子射入磁场后做匀速圆周运动,洛伦兹力 提供向心力,有qv0B=m,得r=,可知粒子 的入射速度v0越大,r越大,当粒子的运动轨迹 和边界QQ'相切时,粒子刚好不从边界QQ'射 出,此时其入射速度v0应为最大。若粒子带正 电,其运动轨迹如图甲所示(此时圆心为O点),由几何关系得r1sin 45°+d=r1,将r1=代入解得v0=,B项正确;若粒子带负电,其运动轨迹如图乙所示(此时圆心为O'点),由几何关系得r2+r2cos 45°=d,将r2=代入解得v0=,C项正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11.一个重力不计的带电粒子,以大小为v的速度从坐标(0,L)的a点,平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域,并从x轴上b点射出磁场,射出速度方向与x轴正方向的夹角为60°,如图所示,求: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)带电粒子在磁场中运动的轨迹半径; 答案:(1)2L　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)粒子的运动轨迹如图所示,由几何知识有rcos 60°+L=r,解得r=2L。 (2)带电粒子的比荷及粒子从a点运动到b点的时间; 答案: (2)　　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)由洛伦兹力提供向心力,得qvB= 所以== 粒子运动的周期T== 则粒子从a点运动到b点的时间t=T=。 (3)其他条件不变,要使该粒子恰从O点射出磁场,粒子的入射速度大小。 答案: (3)v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (3)该粒子恰从O点射出磁场, 则r'= 由qv'B=可得v'=v。 [C组　培优选做练] 12.在如图所示的平面直角坐标系xOy中,有一个圆形区域的匀强磁场(图中未画出),磁场方向垂直于xOy平面,O点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为m、带电荷量为+q的带电粒子(重力不计)从O点开始以初速度v沿+x方向进入磁场,粒子经过y轴上P点时速度方向与+y方向夹角为θ=30°,已知OP=L,求: (1)磁感应强度的大小和粒子从O点到P点的运动时间; 答案:(1)　(2π+3)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)依题意,粒子运动轨迹如图所示, 圆心为O1,轨迹半径为r,则r+=L qvB=m 解得B= 粒子在磁场中和磁场外运动时间分别为t1、t2,圆心角为,则t1= t2= 粒子从O到P的时间 t=t1+t2=(2π+3)。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)该圆形区域的最小面积。 答案: (2)L2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)磁场面积最小时应满足 R=rsin 60° S=πR2 解得S=L2。 $$