第3章 专题强化6 圆周运动的临界问题-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理必修第二册同步导学案配套PPT课件（鲁科版）

专题强化6　圆周运动的临界问题 第3章　圆周运动 [学习目标]　1.进一步学会分析具体圆周运动中向心力的来源。2.能用牛顿第二定律分析解决生活中的圆周运动问题(重点)。3.熟练掌握水平面和竖直面内圆周运动的临界问题,并分析解决与之相关的实际问题(重难点)。 课时作业 巩固提升 类型1　水平面内圆周运动的临界问题 类型2　竖直面内圆周运动的临界问题 内容索引 类型1　水平面内圆周运动的临界问题 一 4 [思考与讨论] 如图所示,在竖直的转动轴上,a、b两点间距为40 cm,细线ac长50 cm,bc长30 cm,在c点系一质量为m的小球,重力加速度为g,转动轴带着小球转动。 (1)在细线bc拉直前,小球受到哪些力的作用? (2)细线bc刚好拉直时,细线ac中拉力为多少? (3)细线bc拉直后随着转速增大,细线ac拉力如何变化? 提示:(1)在细线bc拉直前,小球受到细线ac的拉力和重力作用。 (2)细线bc刚好拉直时,细线bc上还没有拉力,细线ac与竖直方向的夹角满足cos θ=,小球在竖直方向由平衡条件可得Tcos θ=mg,解得细线ac拉力为T=1.25mg。 (3)细线bc拉直后转速增大的过程,竖直方向始终满足Tcos θ=mg,故细线ac拉力不变。 1.与摩擦力有关的临界问题 (1)物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力,如果只是摩擦力提供向心力,则有f=,静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力外还有其他力,如绳两端连接物体,其中一个物体竖直悬挂,另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动,此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件(静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心)。 归纳 关键能力 合作探究 2.与弹力有关的临界问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为0。绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 3.解决圆周运动临界问题的一般思路 (1)要考虑达到临界条件时物体所处的状态。 (2)分析该状态下物体的受力特点。 (3)结合圆周运动知识,列出相应的动力学方程分析求解。 角度1　与摩擦力有关的临界问题 [例1]　(多选)(2024·四川绵阳高一期中)如图,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴OO'的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,则下列说法正确的是(　　) A.b一定比a先开始滑动 B.a、b所受的摩擦力始终相等 C.当ω=时,a所受摩擦力的大小为2kmg D.ω=是b开始滑动的临界角速度 AD [解析]　依题意,小木块随圆盘做匀速圆周运动时,静摩擦力提供向心力,根据f=mω2r可知,木块b转动的半径较大,则b所受的摩擦力较大,故B错误;小木块发生滑动的临界角速度满足kmg=mω2r,解得ω=,木块b转动的半径较大,则临界角速度较小,可知b先发生滑动,故A正确;根据A选项分析可知两木块的临界角速度分别为ωa= ,ωb= ,因为ωa< ,即当ω=时,a木块已经发生相对滑动,所受滑动摩擦力的大小不等于2kmg,故C错误,D正确。 角度2　与弹力有关的临界问题 [例2]　如图所示,两绳系一质量为m=0.1 kg的小球,上面绳长L=2 m,两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°,则球的角速度在什么范围内,两绳始终伸直?   [答案]　2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s [解析]　两绳都张紧时,小球受力如图所示,当ω由0逐渐增大时,ω可能出现两个临界值。BC恰好拉直,但F2仍然为0,设此时的角速度为ω1, 则有Fx=F1sin 30°=mLsin 30°, Fy=F1cos 30°-mg=0, 联立解得ω1≈2.40 rad/s。 AC由拉紧转为恰好拉直,则F1已为0,设此时的 角速度为ω2,则有 Fx=F2sin 45°=mLsin 30°, Fy=F2cos 45°-mg=0, 联立解得ω2≈3.16 rad/s。 可见,要使两绳始终伸直,ω必须满足 2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。 [针对训练]　1.如图所示,啮合传动的甲、乙两齿轮(齿轮未画出),半径分别为2r和r,一小物体与两轮盘面间的动摩擦因数相同。当甲轮匀速转动时,将该小物体放在甲轮边缘处时恰能相对静止,现保持转动情况不变,将小物体放在乙轮盘面上仍能相对静止,则小物体距乙轮圆心O2的距离r'应满足(　　) A.r'=r即可 B.r'≤r就能满足 C.必须满足r'≤r D.在r<r'<r区间才能满足 C 解析:设甲轮角速度为ω1,乙轮角速度为ω2,将小物体放在甲轮边缘处时恰能相对静止,有·2r=μg,又甲、乙两轮边缘线速度大小相等,则有ω1·2r=ω2·r,解得ω2=2ω1,将小物体放在乙轮盘面上仍能相对静止,则有·r'≤μg,联立解得r'≤r,故选C。 2.(2024·四川自贡高一期中)如图所示,水平转台上有一质量为m的小物块,用长为L的细绳连接在通过转台中心的竖直转轴上,细绳与转轴间的夹角为θ,系统静止时,细绳刚好伸直但绳中张力为零。已知物块与转台间动摩擦因数为μ,重力加速度用g表示,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当物块随转台由静止开始缓慢加速转动且未离开转台的过程中,求: (1)绳子刚好对物块有拉力时,转台的线速度大小; (2)转台对物块支持力刚好为零时,转台的周期。 答案:(1)　(2)2π 解析:(1)绳子刚有拉力时有μmg=m 物块做匀速圆周运动的半径r=Lsin θ 解得v=。 (2)转台对物块支持力恰好为零时,设绳子拉力大小为F, 对物块受力分析得Fcos θ=mg Fsin θ=m()2r 物块做匀速圆周运动的半径r=Lsin θ 解得T=2π 。 二 类型2　竖直面内圆周运动的临界问题 17 [思考与讨论] 如图所示,某公园里的过山车驶过轨道的最高点时,游客在座椅里面头朝下,人体颠倒,已知轨道半径为R,游客受到的重力为mg。 (1)要使游客经过轨道最高点时对座椅的压力等于零,则过山车在最高点时的速度是多大? (2)过山车和游客的总质量为M,过山车在圆轨道最低点时对轨道的压力为10Mg,此时过山车的速度是多大? 提示:(1)游客经过轨道最高点时对座椅的压力等于零,根据牛顿第二定律得mg=m,解得过山车在最高点时的速度大小为v=。 (2)根据牛顿第三定律得过山车在圆轨道最低点时轨道的支持力为N=10Mg,根据牛顿第二定律得N-Mg=M,联立解得此时过山车的速度大小为v'=3。 物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动,该类运动常有临界问题,并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语。常分为两种模型——“轻绳模型”和“轻杆模型”,分析比较如下: 归纳 关键能力 合作探究   轻绳模型 轻杆模型 常见 类型   均是没有支撑的小球   均是有支撑的小球   轻绳模型 轻杆模型 过最高 点的临 界条件 由mg=m 得v临= v临=0 讨论 分析 (1)过最高点时,v>, N+mg=m,绳、轨道对球产生弹力N (2)不能过最高点时,v<,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v=0时,N=mg,N为支持力,沿半径背离圆心 (2)当0<v<时,mg-N=m,N背离圆心,随v的增大而减小 (3)当v=时,N=0 (4)当v>时,N+mg=m,N指向圆心并随v的增大而增大 [例3]　如图所示,有一内壁光滑的试管装有质量为1 g的小球,试管的开口端封闭后安装在水平轴O上,转动轴到管底小球的距离为5 cm,让试管在竖直平面内做匀速转动(g取10 m/s2)。 (1)转动轴达到某一转速时,试管底部受到小球压力 的最大值为最小值的3倍,此时角速度多大? (2)当转动的角速度ω=10 rad/s时,管底对小球的作 用力的最大值和最小值各是多少? [答案]　(1)20 rad/s　(2)1.5×10-2 N　0 [解析]　(1)转至最低点时,小球对管底压力最大,转至最高点时,小球对管底压力最小,最低点时管底对小球的支持力F1是最高点时管底对小球支持力F2的3倍,即 F1=3F2 ① 根据牛顿第二定律有,最低点:F1-mg=mrω2 ② 最高点:F2+mg=mrω2 ③ 由①②③得ω== rad/s=20 rad/s。 ④ (2)在最高点时,设小球不掉下来的最小角速度为ω0,则mg=mr,ω0== rad/s≈14.1 rad/s 因为ω=10 rad/s<ω0≈14.1 rad/s,故管底转到最高点时,小球已离开管底,因此管底对小球作用力的最小值为F2'=0,当转到最低点时,管底对小球的作用力最大为F1',根据牛顿第二定律知F1'-mg=mrω2,则F1'=mg+mrω2=1.5×10-2 N。 [针对训练]　3.如图所示,质量为m的小球(视为质点)在竖直平面内绕O点做半径为L的圆周运动,重力加速度大小为g,下列说法正确的是(　　) A.若连接O点与小球的为轻绳,则小球过圆周最高点的临界速度为零 B.若连接O点与小球的为轻杆,则小球过圆周最高点的临界速度为 C.若连接O点与小球的为轻绳,则小球在圆周最高点时轻绳的作用力大小可能为mg D.若连接O点与小球的为轻杆,则小球在圆周 最高点时轻杆的作用力大小一定不为零 C 解析:若连接O点与小球的为轻绳,根据mg=m可得v=,则小球过圆周最高点的临界速度大小v=,选项A错误;若连接O点与小球的为轻杆,轻杆可以提供支持力,则小球过圆周最高点的临界速度为零,选项B错误;若连接O点与小球的为轻绳,当小球在圆周最高点的速度v=时,根据牛顿第二定律得F+mg=m,代入数据得F=mg,则小球在圆周最高点时轻绳的作用力大小可能为mg,选项C正确;若连接O点与小球的为轻杆,当小球在圆周最高点重力完全提供向心力时,小球在圆周最高点时轻杆的作用力为零,选项D错误。 4.如图所示,半径为R的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置,管内壁光滑,管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动,已知重力加速度为g,设小球经过最高点P时的速度为v,则(　　) A.v的最小值为 B.若v增大,则球所需的向心力增大 C.当v由逐渐减小时,轨道对球的弹力减小 D.当v由逐渐增大时,轨道对球的弹力减小 B 解析:由于小球在圆管中运动,在最高点速度可为零,A错误;根据向心力公式有F=m,v若增大,球所需的向心力一定增大,B正确;小球经过最高点时,因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力,当v=时,圆管受力为零,故v由逐渐减小时,轨道对球的弹力增大,C错误;当v由逐渐增大时,轨道对球的弹力也增大,D错误。 三 课时作业 巩固提升 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1.如图所示,A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上,物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍,三个物体的质量分别为2m、m、m,它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时,若A、B、C三个物体均相对圆盘静止,则下列说法正确的是(　　) A.A的向心加速度最大 B.B和C所受摩擦力大小相等 C.当圆盘转速缓慢增大时,C比A先滑动 D.当圆盘转速缓慢增大时,B比A先滑动 C 解析:A、B、C三个物体的角速度相同,因为向心加速度a=rω2,则物体C的向心加速度最大,选项A错误;摩擦力提供向心力,fB=mRω2,fC=m(2R)·ω2,物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力,选项B错误;物体恰好滑动时,kmg=mrω2,ω=,故滑动的临界角速度 与质量无关,r越大,临界角速度越小,故物体 C先滑动,物体A、B同时滑动,选项C正确,D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2.杂技演员表演“水流星”,在长为1.6 m的细绳的一端,系一个与水的总质量为m=0.5 kg的大小不计的盛水容器,以绳的另一端为圆心,在竖直平面内做圆周运动,如图所示。若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s,则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　) A.“水流星”通过最高点时,有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时,绳的张力及容器底部 受到的压力均为零 C.“水流星”通过最高点时,处于完全失重状态,不受力的作用 D.“水流星”通过最高点时,绳子的拉力大小为5 N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 B 解析:“水流星”在最高点的临界速度v==4 m/s,由此知绳的拉力恰好为零,“水流星”的重力提供向心力,则水恰好不流出,容器底部受到的压力为零,故选B。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 3.如图,一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上,硬币与竖直转轴OO'的距离为r,已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力),重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起绕OO'轴匀速转动,则圆盘转动的最大转速为(　　)  A. 　　　　　　　　 B. 　 C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 B 解析:硬币在圆盘上受重力、支持力和摩擦力三个力的作用,摩擦力提供向心力,当摩擦力达到最大静摩擦力时,角速度最大,由牛顿第二定律有μmg=mω2r,可得最大的角速度为ω= ,由角速度与转速的关系ω=2πn,得最大转速为n= ,故B正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 4.如图所示,两段长均为L的轻质细线共同系住一个质量为m的小球,另一端分别固定在等高的A、B两点,A、B两点间距也为L,今使小球在竖直平面内做圆周运动,当小球到达最高点的速率为v时,两段线中张力恰好均为零。若小球到达最高点时速率为4v,则此时每段线中张力大小为(重力加速度为g)(　　) A.mg B.2mg　 C.5mg D.5mg 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 C 解析:当小球到达最高点时速率为v,由题意可得mg=m,若小球到达最高点时速率为4v时,则有mg+F=m,联立解得F=15mg,设每段线中张力大小为T,则有2Tcos 30°=F,解得T===5mg,A、B、D错误,C正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 5.(多选)如图所示,长为L的轻杆,一端固定一个小球,另一端固定在轴上, 使小球在竖直平面内做圆周运动。重力加速度为g。下列叙述正确的是 (　　) A.小球在最高点时,杆对球的作用力可能为支持力 B.小球在最高点时的最小速度vmin= C.小球在最高点v=时,杆对球的作用力为mg D.小球在最低点v= 时,杆对小球的作用力为mg 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 AC 解析:设小球在最高点处,杆对球的作用力为零时,根据 mg=m得v0=,若小球的速度v>v0,杆给球向下的 拉力,若v<v0,杆给球向上的支持力,故A正确;由于杆的 作用,小球在最高点时的最小速度可以为零,故B错误;小球在最高点v=时,设杆对球的作用力为F,方向向上,根据mg-F=m得F=mg,故C正确;小球在最低点时,根据F-mg=m得F=mg,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 6.(多选)如图所示,两个可视为质点的相同物体a和b放在水平圆转盘上,且物体a、b与转盘中心在同一条水平直线上,物体a、b用细线连接,它们与转盘间的动摩擦因数相同。当圆盘转动到两物体刚好还未发生滑动时,烧断细线,两物体的运动情况是(　　) A.物体b仍随圆盘一起做匀速圆周运动 B.物体a发生滑动,离圆盘圆心越来越远 C.两物体仍随圆盘一起做圆周运动,不发生滑动 D.两物体均沿半径方向滑动,离圆盘圆心越来越远 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 AB 解析:设两个物体刚好还未发生滑动时细线的弹力为F,则对b物体由牛顿第二定律可得fm-F=mrω2,对a物体由牛顿第二定律方程可得F+fm=mRω2,当烧断细线瞬间,拉力下瞬间变为零,而物体的速度不会突变,故物体b所受的静摩擦力立即由最大静摩擦力减小且为b物体提供向心力,而a所受静摩擦力小于其所需的向心力,故b仍随圆盘做匀速圆周运动,a做离心运动,故选A、B。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 7.(2024·四川眉山高一期中)中国“八一”飞行表演队在某次为外宾做专场飞行表演时,飞机向上拉升做后空翻动作的一段轨迹可看成一段圆弧(如图)。设飞机做后空翻动作时,在最高点附近做半径r=160 m的圆周运动。如果飞行员质量m=70 kg,g取10 m/s2,求:   2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (1)飞机经过最高点P时的速度v=360 km/h,则这时飞行员对座椅的压力是多少? (2)若要使飞行员对座椅恰好无作用力,则飞机经过P点的速度应该为多少? 答案:(1)3 675 N　(2)40 m/s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析:(1)飞机经过最高点时,v=360 km/h=100 m/s。 对飞行员进行受力分析,飞行员在竖直方向一定受到重力mg,设座椅对飞行员有向下支持力N, 由牛顿第二定律得N+mg=m 所以N=m-mg=3 675 N 与假设相符合,由牛顿第三定律得,飞行员对座椅的压力为3 675 N。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (2)若飞行员对座椅恰好无作用力,则在最高点飞行员只受重力,由牛顿第二定律得 mg=m 所以v== m/s=40 m/s。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 8.如图所示,在匀速转动的水平圆盘上,沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B,它们分居圆心两侧,质量均为m,与圆心距离分别为RA=r,RB=2r,与盘间的动摩擦因数μ相同,重力加速度为g,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时,下列说法正确的是(　　) A.此时细线张力为T=4μmg B.此时圆盘的角速度为ω= C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内 D.若此时烧断细线,A仍相对圆盘静止,B将做离心运动 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 B 解析:A和B随着圆盘转动时,合外力提供向心力,则F=mω2R,B的运动半径比A的运动半径大,所以B所需向心力大,细线拉力相等,所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时,B的静摩擦力方向沿半径指向圆心,A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外,对物体A、B,根据牛顿第二定律分别得T-μmg=mω2r,T+μmg=mω2·2r,解得T=3μmg,ω= ,此时A所需的向心力大小为FA=mω2r=2μmg,B所需的向心力大小为FB=mω2·2r=4μmg,若此时烧断细线,A、B的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力,则A、B均做离心运动,故B正确,A、C、D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 9.如图所示,在竖直面内,一半径为R的光滑半圆轨道和水平轨道在B点相切,PB为圆弧轨道的直径。一小滑块从A点沿水平轨道向右运动经B点沿圆弧轨道恰好通过P点,最后落在A点。小滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5,重力加速度为g,不计空气阻力,则小滑块从A点运动时的初速度大小为(　　) A. B. C. D.2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 C 解析:小滑块沿圆弧轨道恰好通过P点,此时重力提供向心力,即mg=m,解得v=,从P点到A点小滑块做平抛运动,竖直方向有2R=gt2,水平方向有x=vt,联立得x=2R,小滑块从A点到P点过程中,由动能定理得-μmgx-mg·2R=mv2-m,解得v0=,故选C。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 10.如图所示,质量为m=2 kg的小球在竖直平面内的光滑圆形轨道内侧运动,小球经过最高点时恰好不脱离轨道的速度v0=2 m/s,取重力加速度大小为g=10 m/s2。 (1)求圆形轨道半径r; (2)若小球经过轨道最高点时对轨道的压力大 小为60 N,求此时小球的速度大小; (3)若小球以2 m/s的速度经过轨道最低点,求此时小球对轨道的压力。 答案:(1)0.4 m　(2)4 m/s　(3)120 N,方向竖直向下 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析:(1)小球经过最高点时恰好不脱离轨道,重力提供向心力,根据牛顿第二定律有 mg=m 代入数据解得r=0.4 m。 (2)若小球经过轨道最高点时对轨道的压力大小为60 N,根据牛顿第三定律可知轨道对小球的压力F=60 N,根据牛顿第二定律有F+mg=m 代入数据解得v1=4 m/s。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (3)若小球以2 m/s的速度经过轨道最低点,根据牛顿第二定律有F'-mg=m 代入数据解得F'=120 N 根据牛顿第三定律可知小球对轨道的压力大小为120 N,方向竖直向下。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 11.如图所示,一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角θ=60°,一条长度为L的绳(质量不计),一端固定在圆锥体的顶点O处,另一端拴着一个质量为m的小球(可看成质点),小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动,重力加速度为g。求: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (1)小球静止时所受拉力和支持力大小; (2)小球刚要离开锥面时的角速度; (3)小球以ω1=的角速度转动时所受拉力和支持力的大小。 答案:(1)mg　mg　(2)　(3)3mg　0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析:(1)小球静止时,对小球受力分析可知T=mgcos θ=mg N=mgsin θ=mg。 (2)小球刚要离开锥面时N=0,由重力和拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律,有mgtan θ=mr 其中r=Lsin θ 解得ω0== 。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (3)因为ω1=>ω0= 则说明小球已离开锥面,N=0 设绳与竖直方向的夹角为α,如图所示,   则有T1sin α=mLsin α, 解得T1=3mg。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 $$