7.1条件概率与全概率公式四维限时练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1条件概率与全概率公式--四维限时练--原卷板 【1】训练目标 1．了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2．了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率． 3．会利用全概率公式计算概率． ******************************************************************************* 【2】限时练习 1.某医学院计划从4名男生和3名女生中选派2人分别到甲、乙两地参加义诊活动，则在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．从集合中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数，第二次取到的数作为个位数字，则所得的两位数能是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 4.设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 5.若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 6．第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．假设A，B是两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 8.盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．甲､乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则的取值范围为 . 10．对于随机事件，若，，，则 . 四、解答题 11．设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，. (1)现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； (2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率. 12.甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和.求： (1)甲在每轮比赛中获胜的概率； (2)甲前二轮累计得分恰为4分的概率. ******************************************************************************* 【3】核对解析 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B C A BCD BC 9. 【答案】 10.【答案】 11.【答案】(1) (2) 12.【答案】(1) (2) ******************************************************************************* 【4】反思总结 解题点睛 1求条件概率的常用方法 2.利用全概率公式解题的思路 (1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)． (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)． (3)代入全概率公式计算． 个人感悟： 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1条件概率与全概率公式--四维限时练--解析版 一、单选题 1.某医学院计划从4名男生和3名女生中选派2人分别到甲、乙两地参加义诊活动，则在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出事件（派往甲地是男生）的概率和事件AB（派往甲地是男生且派往乙地是女生）的概率，再代入公式计算在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率. 【详解】从名男生和名女生共人中选人分别到甲、乙两地，总的选派方法数为种. 派往甲地是男生的情况：先从名男生中选人派往甲地，有种选法；再从剩下的人中选人派往乙地，有种选法. 根据分步乘法计数原理，派往甲地是男生的选派方法数为种.所以. 派往甲地是男生且派往乙地是女生的情况：先从名男生中选人派往甲地，有种选法；再从名女生中选人派往乙地，有种选法. 根据分步乘法计数原理，派往甲地是男生且派往乙地是女生的选派方法数为种.所以. 根据条件概率公式，将，代入可得：. 在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是， 故选：D. 2．若，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】由即可求解 【详解】因为， 所以. 故选：B 3．从集合中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数，第二次取到的数作为个位数字，则所得的两位数能是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全概率公式即可知所得的两位数能是偶数的概率. 【详解】设“两位数的十位是奇数”为事件，“两位数的十位是偶数”为事件，“两位数是偶数”为事件； 则可得， 可得. 故选：A. 4.设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【答案】B 【分析】先根据全概率公式求出取到的产品是次品的概率，再代入贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品， 则, ； 则取到的产品是次品的概率为： ； 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： 故选：B. 5.若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【分析】转化，，根据充分性必要性的定义，以及条件概率公式，分析即得解. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 反之由能推出， 所以“”是“”的充分且必要条件. 故选：C 6．第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 二、多选题 7．假设A，B是两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合对立事件的概率公式，利用条件概率公式求解判断AC，根据独立事件概率乘法公式求解判断B，利用概率的基本性质求解判断D. 【详解】因为，，所以，， 对于选项A，因为，， 所以，错误； 对于选项B，因为，所以事件A与B相互独立， 所以A与相互独立，所以，正确； 对于选项C，因为，所以，正确； 对于选项D，，D正确. 故选：BCD. 8.盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用古典概型的概率公式及排列组合数，求出，，，，，，再利用条件概率公式即可判断各个选项. 【详解】对A，事件“第2次取球，取到正品”，，故A错误； 对B，，所以，故B正确； 对C，事件“第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”， 包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正）， 共有种情况，则， 又因为，故C正确； 对D，事件“第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”， 包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白）， 共有种情况，，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 9．甲､乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分别求得甲以获胜的概率，甲以获胜的概率为，列出不等式即可求得. 【详解】甲以获胜的概率，甲以获胜的概率为， 由题意，，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 10．对于随机事件，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据条件概率公式及概率的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 则， 所以， 又， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 11．设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，. (1)现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； (2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率. 【答案】(1) （2) 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是甲厂生产的概率为 . 12.甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和.求： (1)甲在每轮比赛中获胜的概率； (2)甲前二轮累计得分恰为4分的概率. 【答案】(1) （2) 【分析】（1）设甲在一轮比赛中获胜为事件，甲在一轮比赛中共抢到道题为事件，由求解即可； （2）设甲前二轮累计得分恰为4分的事件为，甲在一轮比赛中得分的事件为，由即可求解， 【详解】（1）设甲在一轮比赛中获胜为事件，甲在一轮比赛中共抢到道题为事件，则， 又，， 所以. （2）设甲前二轮累计得分恰为4分的事件为，甲在一轮比赛中得分的事件为，则 ， ， 所以 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$