专题04 平行四边形中的折叠问题（4大基础题+4大提升题，人教版）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题04 平行四边形中的折叠问题 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01平行四边形中的折叠问题 题型01平行四边形中的折叠综合问题 题型02矩形中的折叠问题 题型02矩形中的折叠综合问题 题型03菱形中的折叠问题 题型03菱形中的折叠综合问题 题型04正方形中的折叠问题 题型04正方形中的折叠综合问题 平行四边形中的折叠问题题型01 1．（23-24八年级下·天津南开·期中）在平行四边形中，，现将平行四边形沿折叠，使点与点重合，点落在处，则的度数（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河南新乡·期中）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的处，C点落在E处，连结．若恰有，则 ． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点．处，并得到折痕，小强测得长边，则四边形的周长为 ． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为 ． 矩形中的折叠问题题型02 1．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，将矩形沿折叠，使得点C落在点E处，若，则 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在矩形中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点和点重合于点，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 3．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E，与交于点F．若，则 ． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形中，是的中点，将折叠后得到，点在矩形内部．延长交于点，若，，则折痕的长为 ． 5．（23-24九年级上·北京顺义·期中）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 菱形中的折叠问题题型03 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，菱形的边，高，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，点的对应点为，当的长度最小时，的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（    ） A． B． C．2 D．1 3．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，折叠菱形纸片，使得的对应边过点B，为折痕．若，当时，的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图所示菱形为边上一点，将沿边折叠，恰好边与所在直线重合，A点落到延长线上F点，过点F作的垂线，垂足为G，若，则 ． 正方形中的折叠问题题型04 1．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，已知正方形的对角线长为，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）四边形是一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上．下列说法： ①   ②  ③是等边三角形  ④ 正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使得A点落在边上的E点，然后压平得折痕，若的长为，则线段的长为 ． 5．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）综合与实践课，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，并延长交于点Q，连接，． 根据以上操作 （1） °； （2）若正方形纸片的边长为，当时， ． 平行四边形中的折叠综合问题题型01 1．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求平行四边形的面积． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点到地面的距离． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在中，，，，以为边，在外作等边，D是的中点，连接并延长，交于点E． (1)求边的长； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)将图1中的四边形折叠，折痕为，F在上，G在上： ①如图2，若使点C点A重合，直接写出的长是________； ②若使点C与的一边中点重合，直接写出的长是________． 矩形中的折叠综合问题题型02 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，交于点F，且已知．    (1)求证：； (2)若点P为线段上一动点，求最小值． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，使点的对应点恰好落在上． (1)若，求的度数． (2)若，，且，求的长． 3．（23-24八年级下·云南昆明·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 4．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 5．（24-25八年级上·全国·期中）在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处． ​​ (1)如图1，若点落在对角线上，且，求的度数． (2)如图2，若点落在边上，且，，求的长． (3)如图3，若点是的中点，的延长线交于点，且，，求的长． 菱形中的折叠综合问题题型03 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，当四边形是正方形时，的长是________； (3)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 2．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 3．（23-24八年级下·吉林松原·期中）把一张矩形纸片如图1那样折一下，再翻过来压平，可判断四边形是______形； 【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，点B的对应点为F，折痕为，点E在边上． （1）求证：四边形是菱形． （2）连接，若，，，则的面积为______． 正方形中的折叠综合问题题型04 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，边与轴交于点G，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，求点E的坐标． 2．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，直角梯形中，，，交的延长线于点G，E是边上一点，将沿折叠，C点恰好落在上的F处． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证； (2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； (3)在（）的条件下求出的面积． 4．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）[特例感知]如图1，在正方形中，点分别为的中点，、交于点． (1)证明：． (2)[初步探究]如图2，在正方形中，点为边上一点，分别交、于、，垂足为．求证：． (3)[基本应用]如图3，将边长为8的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、边上，求出折痕的长． 5．（23-24八年级下·广东广州·期中）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作： (1)如图1，矩形中，，，点P是边上的一个动点，将沿进行翻折到，当Q点折叠到上时，求和的长； (2)如图2，矩形中，，，若点P、O分别为是边的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿PH折叠，得到四边形，连接，求长度的最小值．（直接写出结果） (3)如图3，当矩形变成正方形，且正方形的边长为10，在P点移动的过程中， ①当时，求的长； ②当为等腰三角形时，请在备用图中探究并直接写出线段的长． 6．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）（1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数； （2）如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则 ① ； ②若 线段 ； （3）如图3，在矩形中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．    14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行四边形中的折叠问题 题型概览 经典基础题 优选提升题 题型01平行四边形中的折叠问题 题型01平行四边形中的折叠综合问题 题型02矩形中的折叠问题 题型02矩形中的折叠综合问题 题型03菱形中的折叠问题 题型03菱形中的折叠综合问题 题型04正方形中的折叠问题 题型04正方形中的折叠综合问题 平行四边形中的折叠问题题型01 1．（23-24八年级下·天津南开·期中）在平行四边形中，，现将平行四边形沿折叠，使点与点重合，点落在处，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行四边形的性质以及折叠变换，首先根据折叠找到对应相等的角，，然后根据三角形内角和可算出，进而可得的度数，再根据平行四边形的性质可得．解题的关键是找准折叠后哪些角是对应相等的． 【详解】解：∵将平行四边形沿折叠，使点与点重合，点落在处，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴． 故选：C． 3．（23-24八年级下·河南新乡·期中）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的处，C点落在E处，连结．若恰有，则 ． 【答案】#126度 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及垂线定义，熟练掌握平行四边形的性质、折叠的性质是解题的关键．由平行四边形的性质得，再结合折叠的性质可得，从而得到，进而得到，则°，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点．处，并得到折痕，小强测得长边，则四边形的周长为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，根据折叠的性质，得到，，结合平行四边形的性质，得到，代入计算即可． 【详解】根据折叠的性质，得到，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴． 故答案为：． 矩形中的折叠问题题型02 1．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，将矩形沿折叠，使得点C落在点E处，若，则 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，由此可得，，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， 由折叠可知，， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在矩形中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点和点重合于点，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，过点作于点，则于点，由勾股定理可求，，设，则，由勾股定理求出，从而进一步可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠得，，，，， ， ， ， ， 过点作于点，则于点，如图，则， ， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在直角中，， ， 解得，， ， 即， ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E，与交于点F．若，则 ． 【答案】25 【知识点】矩形与折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形中，是的中点，将折叠后得到，点在矩形内部．延长交于点，若，，则折痕的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，先证明，得到，设，则有，，在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可得到的长，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∵将折叠后得到， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·北京顺义·期中）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 【答案】1 【知识点】矩形与折叠问题、根据等角对等边求边长 【分析】由矩形的性质可知，，由折叠可知，故，，可得，可知．本题考查了折叠的性质．折叠前后对应角相等，对应线段相等，关键是推出特殊三角形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴由折叠的性质可知：第二幅图中，，， ∴，， 则第三幅图中，， ． 故答案为：1． 菱形中的折叠问题题型03 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，菱形的边，高，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，点的对应点为，当的长度最小时，的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】折叠问题、两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】由菱形的边，高，易求得，进而得到,由折叠得，进而得到，即可得当点在上时，取最小值， 此时易得到，利用等腰三角形的性质求解．题的答案. 【详解】解：如图1，菱形的边，高， ， ， ． 将四边形沿直线折叠，点的对应点为， ． ， ， ， 当点在上时，取最小值． 如图2，点在上时，由折叠的性质可知 , ， ， , , ， 即当的长度最小时，的长为8． 故选：D． 【点睛】本题重点考查菱形的性质、勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明点在上时，取得最小值是解题的关键． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键；由题意易得是等腰直角三角形，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选A． 3．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，折叠菱形纸片，使得的对应边过点B，为折痕．若，当时，的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】折叠问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的折叠问题，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形等知识点，延长、交于点G，利用等角对等边及菱形的性质先证，设，，再利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理解求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点G， 四边形是菱形，， ， 由折叠得， 又， ， ， ， 设，，则， ， 中， ， 由，得， 解得（负值舍去）， ， 故选D． 4．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 【答案】 60 75 【知识点】利用菱形的性质求角度、折叠问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义． （1）直接根据菱形的对角相等即可求解； （2）如图，由垂直平分线的定义得到，从而，由菱形的性质得到，从而由折叠有，因此，再根据菱形的对边平行即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：60 （2）如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 故答案为：75 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图所示菱形为边上一点，将沿边折叠，恰好边与所在直线重合，A点落到延长线上F点，过点F作的垂线，垂足为G，若，则 ． 【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用菱形的性质是解题关键． 连接，交于点O，根据折叠的性质及菱形的性质得出，，再由等量代换确定，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： 将沿边折叠，恰好边与所在直线重合，A点落到延长线上F点， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：1． 正方形中的折叠问题题型04 1．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，已知正方形的对角线长为，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查的是翻折变换质，即折叠是一种对称变换，先设正方形的边长为，再根据对角线长为求出的值，由图形翻折变换的性质可知，，，由阴影部分的周长即可得出结论，解题的关键是熟记轴对称图形的性质． 【详解】如图：    设正方形的边长为，则， 解得， 由翻折变换的性质可知：，，， ∴阴影部分的周长， ， ， ， ， 故选：． 2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）四边形是一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上．下列说法： ①   ②  ③是等边三角形  ④ 正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】正方形折叠问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、含度角的直角三角形性质、等边三角形的判定，折叠可知，，在中，，，可得，即②正确，可得到，故①不正确，可证明，故是等边三角形，即③正确，由，可得到故④正确. 【详解】解：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ，， 沿折叠，使点落在上的点处， ，， ， 在中，， ∴， ；故②正确 在中 ∵, ∴, ∴故①不正确 ∵ ∴, ∴ ∴是等边三角形，故③正确； ∴ 而 ∴ 故④正确 故选：C 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 【答案】或 【知识点】折叠问题、根据正方形的性质求线段长、勾股定理与折叠问题、全等三角形综合问题 【分析】当点M在边上时，连结，过点F作于点H，证明，得到，然后根据勾股定理列方程，解得，即可进一步求得答案；点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L，同理求得，，即可进一步求得另一个答案． 【详解】解：如图1，点M在边上时，连结，过点F作于点H， 四边形沿折叠得到四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， 四边形时矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， ， ， ； 如图2，点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L， 同理可得，， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ； 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地分类及作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使得A点落在边上的E点，然后压平得折痕，若的长为，则线段的长为 ． 【答案】/7厘米 【知识点】勾股定理与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、正方形折叠问题 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，过点作交于点，再根据折叠的性质可知，可证，再由勾股定理可求出的长，由正方形的性质即可求解．解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 【详解】解：过点作交于点，交于点，由折叠的性质可知， ， ，四边形为平行四边形， ，在中，， ，， ， 在与中， ， ， ． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）综合与实践课，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，并延长交于点Q，连接，． 根据以上操作 （1） °； （2）若正方形纸片的边长为，当时， ． 【答案】 /45度 或 【知识点】正方形折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由折叠的性质，全等三角形的判定和性质可求解； （2）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，，由折叠的性质知，，，∴，，∵，∴，∴，∴， 故答案为：； （3）由折叠的性质可得，， ， ， 当点在线段上时，， ，， ， ， ； 当点在线段上时， ， ，， ， ， ， 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 平行四边形中的折叠综合问题题型01 1．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形性质和判定证明、利用二次根式的性质化简、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）利用翻折的性质和平行线的性质可得，即可证明结论； （2）利用含角的直角三角形的性质得，，再利用勾股定理列方程求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：作于，    ，， ， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 平行四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，翻折变换，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点到地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，理并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长交于， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则， ∵， ∴， 即：椅子最高点到地面的距离为． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在中，，，，以为边，在外作等边，D是的中点，连接并延长，交于点E． (1)求边的长； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)将图1中的四边形折叠，折痕为，F在上，G在上： ①如图2，若使点C点A重合，直接写出的长是________； ②若使点C与的一边中点重合，直接写出的长是________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) ；满足条件的的长为2或或； 【知识点】勾股定理与折叠问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可求解； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再结合为等边三角形可证明，即可证明； （3）设，由折叠性质和等边三角形的性质可得，在中，由勾股定理可求出，在中，用勾股定理即可求解；分三种情况：当点C与的中点D重合时，当点C与的中点重合时，连接，当点C与的中点重合时，连接，过点作，分别用勾股定理求解即可． 【详解】（1）在中，，，， ∴ ∴ （2）证明：在中，D是的中点， ∴ ∴ ∴， ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形； （3）①设， 由（2）可得：， ∵为等边三角形， 由折叠可得： 在中，，， ∴ 在中， 即，解得： ∴； ②当点C与的中点D重合时，如图 ∵为等边三角形， ∴ 当点C与的中点重合时，连接，如图 设， 由（2）可得：， ∵为等边三角形， ∴ 由①得： ∴ 则 ∴； 当点C与的中点重合时，连接，过点作，如图， ∵，由①得： 则 ∴ 由折叠可得： ∴ ∴； 综上：满足条件的的长为2或或； 【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定． 矩形中的折叠综合问题题型02 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，交于点F，且已知．    (1)求证：； (2)若点P为线段上一动点，求最小值． 【答案】(1)见解析 (2)最小值为 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、折叠问题、根据等角对等边证明等腰三角形、利用矩形的性质证明 【分析】（1）根据折叠的性质可得：，再由矩形的性质，可得，从而得到，即可求解； （2）设，则，再由勾股定理，可得，从而得到，连接，根据折叠的性质可得，从而得到，进而得到当点三点共线时，最小，最小值为的长，再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，    由折叠可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵四边形是矩形且， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得  ，即， ∴， 如图，连接，    根据折叠得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点F、P、B三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴ ， 即最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠问题、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的判定，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，使点的对应点恰好落在上． (1)若，求的度数． (2)若，，且，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（）由四边形是矩形，得，得，由折叠得，则； （）设，则，，由，，则，，然后由勾股定理得，求出即可； 此题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理等知识，正确地根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质，可得， ∴； （2）解：设，则，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴． 3．（23-24八年级下·云南昆明·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【知识点】矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）由折叠的性质可得，再证明，易得，即可证明； （2）由折叠的性质可得，，，设，易得，在中，由勾股定理解得的值，易知，同理可证明，然后计算的长即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 同理可证明， ∴． 4．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】（1）利用矩形的性质和得到，，再由折叠的性质，，过点作于，可求得、，进而可求得点坐标； （2）过点作并延长交于点，连接，交于点，利用全等三角形的判定与性质得到点与点关于对称，由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为；利用直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得，即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法解答：当点在点的下方时，①时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；②时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；存在的情形；当点在点的上方时，此种情况不存在；当点在点的上方时，同样也不存在为等腰三角形． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点， ， ， ，，， 长方形沿折叠，使得点落在点处， ，， ， 如图1，过点作于， ，， ，， ， 点坐标； （2）在直线上存在点，使得的周长最小． 过点作并延长交于点，连接，交于点，如图2， 将长方形沿折叠，使得点落在点处， ， 在和中， ， ，， 点与点关于对称， ． 此时的周长最小．最小值为． 点为的中点， ， ， 折叠， ， 在中，， ， ，， ， 的周长最小值为； （3）存在点使得为等腰三角形， ， ， ①若，如图3， ，， ， ， ②若时，如图4， ， ， ； ③若，当点在点的下方时如图5， ， ，且， 不存在这样的点， 当点在点的上方时，如图6， 同样也不存在为等腰三角形， 综上，存在点使得为等腰三角形，的度数为或． 综上，满足条件的点存在，并且或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，对称性求最值、勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 5．（24-25八年级上·全国·期中）在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处． ​​ (1)如图1，若点落在对角线上，且，求的度数． (2)如图2，若点落在边上，且，，求的长． (3)如图3，若点是的中点，的延长线交于点，且，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】矩形与折叠问题、全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据折叠的性质的； （2）根据矩形的性质得，，，由折叠的性质得：，，根据勾股定理得，则，设，则，根据勾股定理可得，解得，即的长为； （3）连接，由题意可得，由折叠的性质得：，，，则，通过证明，则，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， 沿所在的直线折叠，使点落在点处， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为； （3）解：连接，如图所示： 点是的中点， ， 由折叠的性质得：，，， ， 在和中， ， ， ， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 菱形中的折叠综合问题题型03 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，当四边形是正方形时，的长是________； (3)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】矩形与折叠问题、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断； （2）矩形的性质和勾股定理求解； （3）作于Q，交于P，由折叠的性质得出，得出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 与相等且互相平分， 关于的对称图形为， ， 四边形是菱形； （2）四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ； （3）作于Q，交于P， 沿所在直线折叠，得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形综合题，综合运用了翻折、变换的性质、矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、勾股定理以及垂线段最短等知识，熟练掌握翻折变换的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)． 【知识点】矩形与折叠问题、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】（）四边形是菱形．根据题意和翻折的性质，可以得到，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （）根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积； 本题考查了翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形中，， ，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 3．（23-24八年级下·吉林松原·期中）把一张矩形纸片如图1那样折一下，再翻过来压平，可判断四边形是______形； 【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，点B的对应点为F，折痕为，点E在边上． （1）求证：四边形是菱形． （2）连接，若，，，则的面积为______． 【答案】正方形，（1）见解析：（2） 【知识点】矩形与折叠问题、利用菱形的性质求面积、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查菱形的判定、平行四边形面积的计算、菱形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线以及等面积法的灵活应用成为解题的关键． 根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可解答； （1）先证明是平行四边形，再根据平行四边形邻边相等证明是菱形即可证明结论； (2)由①知，四边形是菱形，根据勾股定理求出的长，在菱形中利用等面积法表示出，然后根据面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠后为一组邻边相等的矩形，即正方形； 故答案为正方形； （1）由折叠，得， ∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）如图，过点A作于点H，交于点O，若，，， 由（1）知四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 正方形中的折叠综合问题题型04 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，边与轴交于点G，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，求点E的坐标． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、折叠问题、坐标与图形综合 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、坐标与图形，由正方形的性质可得，轴，轴，由折叠得，，设，则，由勾股定理求出，再由勾股定理计算得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形，边在x轴上， ∴，轴，轴， 由折叠得，， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴． 2．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，直角梯形中，，，交的延长线于点G，E是边上一点，将沿折叠，C点恰好落在上的F处． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明四边形是矩形、全等的性质和HL综合（HL）、证明四边形是正方形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查正方形的判定，矩形的判定以及勾股定理等知识： （1）先证明，得出四边形为矩形，再由可得出四边形为正方形； （2）由折叠得，证明得出，设正方形的边长为a，可得出，在中，根据勾股定理可列出方程求出的值即可得出结论 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴四边形为矩形， 又， ∴四边形为正方形； （2）解：由折叠得， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为a，则， ∵ ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，， ∴的长为12 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证； (2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； (3)在（）的条件下求出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、全等三角形的性质、用HL证全等（HL） 【分析】（）由正方形得，，由折叠的性质得，，即可得，，进而利用即可求证； （）由正方形的边长为得，进而由折叠得，又由得，设，则，，在中，利用勾股定理求出即可求解； （）求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∴，， 在和， ， ∴； （2）解：∵正方形边长为， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，掌握正方形和折叠的性质是解题的关键． 4．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）[特例感知]如图1，在正方形中，点分别为的中点，、交于点． (1)证明：． (2)[初步探究]如图2，在正方形中，点为边上一点，分别交、于、，垂足为．求证：． (3)[基本应用]如图3，将边长为8的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、边上，求出折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）过点作交于点，交于点，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得证； （3）连接，由（2）可知：，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 又点分别为的中点， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， ， 即； （2）证明：过点作交于点，交于点． 四边形是平行四边形 ， ， ； （3）连接，由折叠可知 由（2）可知 点是的中点， 在Rt中，由勾股定理得 的长为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，折叠问题，以及勾股定理，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 5．（23-24八年级下·广东广州·期中）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作： (1)如图1，矩形中，，，点P是边上的一个动点，将沿进行翻折到，当Q点折叠到上时，求和的长； (2)如图2，矩形中，，，若点P、O分别为是边的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿PH折叠，得到四边形，连接，求长度的最小值．（直接写出结果） (3)如图3，当矩形变成正方形，且正方形的边长为10，在P点移动的过程中， ①当时，求的长； ②当为等腰三角形时，请在备用图中探究并直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)长度的最小值是； (3)①；②线段的长为或． 【知识点】矩形与折叠问题、二次根式的混合运算、正方形折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）设，则，由折叠的性质可得，，由勾股定理可得，，即可求解； （2）连接、，根据矩形和折叠性质，结合勾股定理求得，，再根据三角形的三边关系求解即可； （3）①过作交于，交于，取的中点，连接，可证，从而可得，，设，则有，设，则，设，则，由勾股定理可得，，，即可求解； ②分三种情况讨论，当时，在的垂直平分线上，过作交于，交于，由勾股定理可得，设，则，再由，即可求解；当时，过作交于，交于，同理可求解，当时，与重合，不符合题意． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 由折叠得：，， 在中： ， ， 在中： ， 即：， 解得：， ； 故：，； （2）解：连接、， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵点、分别是边、的中点， ∴，， ∴， 由折叠性质得，，， ∴， ∵， 当点O、P、E共线时取等号，长度的最小值是； （3）解：①如图，过作交于，交于，取的中点，连接， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，， ，， 由折叠得：， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， 设，则有， ， 在中： 即：， 解得：， ，， 设，则， 在中： ， 在中： 解得：， ，， ， ， ， 设，则，， 在中： 即：， 解得：； 故的长为； ②当时， 在的垂直平分线上， 如图，过作交于，交于， ， 由（2）同理可证： 四边形是矩形， ，，， ， 在中：， ， ， 设，则， ， 在中：， 即：， 解得：， 故； 当时， 如图，如图，过作交于，交于， ， ， ， 在中：， ， 设，则， ， 同理可得：， 解得：， 故； 当时， 与重合，不符合题意； 综上所述：当为等腰三角形时，的长为或时． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，掌握相关的性质及判定方法，能根据折叠性质将已知条件转化到直角三角形中用勾股定理求解的典型解法，根据等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． 6．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）（1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数； （2）如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则 ① ； ②若 线段 ； （3）如图3，在矩形中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．    【答案】（4）45度；（2）①60度；②；（3） 【知识点】勾股定理与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得，再说明点F在的角平分线上，即，最后根据角的和差即可解答； （2）①由折叠的性质和平角的定义即可解答；②先根据①可得，由直角三角形含的性质可得和的长，进而可得和的长，由三角函数可得的长即可； （3）由可得，再证是的中位线可得，然后再证是正方形，可得、，再利用勾股定理可求的长，进而求得，最后再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 由折叠得： ，， ∴， ∴点F在的角平分线上，即， ∴； （2）①如图2，由折叠得：，， ∴， ∵， ． 故答案为：60． ②∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． （3）如图3，延长交于点P，过点P作于N，    ∵， ∴， ∵将矩形纸片沿、折叠，点B落在M处，点D 落在G处， ，，，， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ，， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ， ， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、三角中位线等知识，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$