6.1.1 空间向量的线性运算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

6.1　空间向量及其运算 6.1.1　空间向量的线性运算 第6章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.通过向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念.　2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.　3.掌握共线向量定理,会用共线向量定理解决相关问题. [素养目标]　水平一:1.空间向量加减运算及其几何意义.(数学运算)　2.应用共线定理解决共线问题.(数学抽象) 水平二:1.向量加减运算由平面向空间的推广.(直观想象)　2.证明线面平行.(数学建模) 学习引语 暑假期间,小明从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江,然后抵达东方明珠(B)游玩,如图1,小明的实际位移是什么?可以用什么数学概念来表示这个过程?如果小明还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景,如图2,那他实际发生的位移是什么?又如何表示呢? 探究活动1　空间向量的概念 内容索引 探究活动2　空间向量的线性运算 课时作业 巩固提升 探究活动3　共线向量(或平行向量) 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　空间向量的概念 问题　什么叫向量?向量有特定的位置吗? 提示　既有大小又有方向的量叫作向量,向量无特定的位置. 1.定义:在空间,把像位移、力、速度、加速度这样既有　　　又有 　　　的量,叫作空间向量.  2.几何表示法:空间向量用　　　　　表示.  知识生成 大小 方向 有向线段 3.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量称为 ,记作0 单位向量 的向量,叫作单位向量 相反向量 与向量a长度 ,方向 的向量,叫作a的相反向量,记作-a 相同的 向量 所有 相等且 的向量都看作相同的向量,向量a与b是相同的向量,也称a与b_____ 零向量 长度等于1个单位长度 相等 相反 长度 方向相同 相等 温馨提示　1.平面向量是一种特殊的空间向量. 2.向量不能比较大小. [例1]　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等,而方向相同或相反 C.若向量,满足||>||,则> D.相同的向量其方向必相同 知识应用 D (2)(多选)下列命题为真命题的是(　 　) A.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有= C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p D.任一向量与它的相反向量不相等 BC [解析]　(1)A中,单位向量长度相等,方向不确定; B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定; C中,向量不能比较大小. (2)A为假命题,根据向量相等的定义知,两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,而A中向量a与b的方向不一定相同;B为真命题,与的方向相同,模也相等,故=;C为真命题,向量的相等满足传递性;D为假命题,零向量的相反向量仍是零向量. 空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.　 反思感悟 1.如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中. (1)试写出与相等的所有向量; (2)试写出的相反向量; (3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模. 跟踪训练 解:(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及,共3个. (2)向量的相反向量为,,,. (3)||===3. 探究活动2　空间向量的线性运算 问题1　联想平面向量的线性运算,思考空间向量的线性运算包括哪些?平面向量的运算法则在空间向量中是否依然适用? 提示　易知空间向量的线性运算包括向量的加法、减法、数乘运算;线性运算法则在空间向量中仍适用,如:加法满足三角形法则和平行四边形法则;减法是加法的逆运算;数乘运算,分λ>0,λ<0和λ=0三种情况. 问题2　你能借助向量加法的几何意义证明等式:(a+b)+c=a+(b+c)吗? 提示　如图, 因为=+=(+)+=(a+b)+c, =+=+(+)=a+(b+c), 所以(a+b)+c=a+(b+c). 1.空间向量的加法、减法与数乘运算的意义,如图. (1)=+=a+b; (2)=-=a-b; (3)=λa(λ∈R). 知识生成 2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律: (1)a+b=　　　　　;  (2)(a+b)+c=　　　　　　　　;  (3)λ(a+b)=　　　　　　(λ∈R).  向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算. b+a a+(b+c) λa+λb 温馨提醒　1.向量减法是加法的逆运算,减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 2.首尾相连的若干向量构成封闭图形时,它们的和向量为零向量. [例2]　已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量. (1)++; (2)-+; (3)++(-). 知识应用 [解]　(1)++=++=. (2)-+=-(-)=-=. (3)++ =+(+)=+. 设M是线段CB'的中点, 则++(-)=+=. 向量,,如图所示. 解决空间向量线性运算问题的方法 进行向量的线性运算,实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和,即通过作出向量,运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.　 反思感悟 2.若本例条件不变,化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量. (1)++; (2)++. 跟踪训练 解:(1)++=-+=+. 设P是线段CC'的中点,则 ++=+=. (2)++=+(+)=+. 设Q是线段A'C'的中点, 则++=+=+=.向量,如图所示. 探究活动3　共线向量(或平行向量) 问题　平面向量共线的充要条件是什么?它适用于空间向量吗? 提示　对任意两个平面向量a,b(a≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使b=λa,由于空间向量共线的定义与平面向量相同,因此也适用于空间向量. 1.共线向量(平行向量) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相　　　或　　　,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行,记作　　　　　.规定零向量与　　　向量共线.  2.共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使 　 　　　.  知识生成 平行 重合 a∥b 任意 b=λa 温馨提醒　对向量共线的充要条件的理解,应从以下几个方面正确把握: 1.在此充要条件中,要特别注意a≠0,若不加a≠0,则该充要性不一定成立.例如,若b≠0,a=0,则a∥b,但λ不存在,该充要性也就不成立了. 2.该充要条件包含两个命题: (1)a∥b(a≠0)⇒存在唯一的实数λ,使b=λa; (2)存在唯一的实数λ,使b=λa(a≠0)⇒a∥b. [例3]　如图,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,求证:CE∥MN. 知识应用 [证明]　法一:∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,∴=++ =++.① 又=+++ =-+--,② ①+②得2=, ∴与共线. 又直线CE与MN不重合,∴CE∥MN. 法二:∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形, ∴=-=(+)- =(+)-(+) =(-)=(-)=, ∴与共线. 又直线CE与MN不重合, ∴CE∥MN. 1.要判定空间图形中的两向量共线,往往寻找图形中的三角形或平行四边形,并利用向量运算法则进行转化,从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系,即可证得这两向量共线. 2.证明空间三点P,A,B共线的方法 (1)=λ(λ∈R). (2)对空间任一点O,=+t(t∈R). (3)对空间任一点O,=x+y(x+y=1).　 反思感悟 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为A1C上一点,且=,BD与AC交于点M,求证:C1,O,M三点共线. 跟踪训练 证明:如图,连接AO,AC1,A1C1. ∵=, ∴=+=+=+(+)=+. ∵=2,=+=-=-2, ∴=(-2)+=+. ∵+=1,∴C1,O,M三点共线. 课堂小结 1.熟记多个空间向量的基本概念 空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等都可以结合平面向量理解. 2.熟用两个运算法则 向量可以平移，故任意两个向量都是共面向量.因此空间两个向量的线性运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算. 〈课堂达标·素养提升〉 1.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 解析:∵=,∴||=||,AB∥DC,即四边形ABCD为平行四边形,由平行四边形的性质知,=. D 2.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则++=(　　) A. B. C. D. 解析:++=++=. A 3.已知四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　) A.平行四边形　　　　　 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 A 解析:∵+=+, ∴=. ∴∥且||=||. ∴四边形ABCD为平行四边形. 4.若空间非零向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为　　　　.  解析:由题意知,存在实数λ使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2]=λe1+2λ(k+1)e2, 即解得 - 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.下列说法正确的是(　　) A.若|a|<|b|,则a<b B.若a,b为相反向量,则a+b=0 C.空间内两平行向量相等 D.四边形ABCD中,-= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,A错;相反向量的和为0,不是0,B错;相等向量满足模相等,方向相同两个条件,平行向量不一定具备,C错;D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是(　　) A.+= B.-= C.= D.||=|| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:对于空间中的任意向量,都有+=,选项A错误;若-=,则+=,据此可知=,即B,C两点重合,选项B错误;=,则A,B,C三点共线,选项C正确;||=||,则线段AB的长度与线段BC的长度相等,不一定有A,B,C三点共线,选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.与共线是直线AB∥CD的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:根据向量共线的定义,可知若与共线,则它们所在的直线可能平行,也可能重合;若AB∥CD,则与共线;根据充分条件和必要条件的概念,可知与共线是直线AB∥CD的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则(　　) A.x=1,y=　　　　　 B.x=,y=1 C.x=1,y= D.x=1,y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:因为=+=+=+(+),所以x=1,y=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为的是(　 　) A.(-)- B.(+)- C.(-)+ D.(-)- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 解析:对于选项A,(-)-=-=;对于选项B,(+)-=+=;对于选项C,(-)+=+=;对于选项D,(-)-=(-)-=+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,与是　　　　向量,与是　　　　向量.(填“相等”或“相反”)  解析:由相等向量与相反向量的定义知:与是相等向量,与是相反向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 相等 相反 7.在空间四边形ABCD中,连接AC,BD.若△BCD是正三角形,且E为其中心,则+--的化简结果为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 解析:如图,取BC的中点F,连接DF,则=. ∴+--=+-+=++=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量. (1)+; (2)++; (3)--. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)+=. (2)因为M是BB1的中点, 所以=. 又=, 所以++=+=. (3)--=-=. 向量,,如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则(　　) A.P∈AB B.P∉AB C.点P可能在直线AB上 D.以上都不对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:因为m+n=1, 所以m=1-n, 所以=(1-n)+n, 即-=n(-), 即=n,所以与共线. 又,有公共起点A, 所以P,A,B三点在同一直线上, 即P∈AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与共线的向量是(　　) A.-a+b+c B.a+b+c C.a-b-c D.-a-b+c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 解析:因为=+=+(+)=c+(-a+b)=-a+b+c,a-b-c=-,所以与共线的向量是-a+b+c和a-b-c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.如图,已知空间四边形ABCD中,F为BC的中点,E为AD的中点,若 =λ(+),则λ=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由=++,=++,且=-,=-,得2=+,即=(+),故λ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点,化简下列向量表达式: (1)+; (2)+-; (3)++++. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)+=. (2)+-=. (3)++++=0. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且=,=.求证:四边形EFGH是梯形. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明:∵E,H分别是边AB,AD的中点, ∴=,=, ∴=-=-=. 又=-=-=(-) =, ∴=,∴∥,||=||. 又点F不在线段EH上, ∴四边形EFGH是梯形. 13 $$